II

Egalant cet denx valeurs de a , on a :

{«p-i)(4*»+(<-r)«)±(»*-f-*-(l-r)(lp-i))V4*'+(*-r)>=*.

difinnt par V^4 *'"♦-(' — '•)" *

Élevant au carr^ pour faire disparaltie le radical , et rédaisant^ on pariicntà r^TJttion (7) :

(n — j» ) P" rrr ( r-*- <) p + I = o.

petite conrburc ; elle est encore égale à la portion de la normale comprise entre la surface et le point de rencontre de cette normale j et d'une autre normale qui en est infiniment voisine. M. Monge est le premier qui a démontré cette propriété générale des surfaces (*) j qu'une normale quelconque n'est rencontrée qao par deux autres normales , qui en soient infiniment voisines; les portions de normale comprises entre les points de rencontre et la surface, sont égales aux ravons des sections normales de plus petite et de plus grande courbure. Pour le démontrer , soit :

ou a:* 4- r' + -8* = a p« j

l'équation d'ane sphère du rayon f qui touche le plan des xfy à l'origine des coordonnées. Les équations de la normale au point X , jTj z d'une surface ds = pdx -[- gdy , sont:

r'— J^ + ^ (*' — «) = o- Pour que la normale passe par le centre de la sphère , dont les coordonnées sont x' = o , 7^ = o , z' = f y on doit avoir :

Pour une normale infiniment voisine 9 assujétie à passer par le même centre (x' =0 , j^ = o , z' = p ) , les équations (n) deviendront:

— {x + dx)^{p+dp){f~{z+dz))=Oy

— (T +4r) + {q + dq)if^iz + dz))=o, retranchons-en les équations (n) , et on a :

— dx + dp {f—z)— pdz=io, 1 j^,j

^ djr + dq { f — z) — i}dz = o i S

les deux systèmes d'équations (n) et (/i') expriment que deux «or^ maies consécutives se coupent au point (ar'nro, j^ = o,^ = f)* Mais lorsaue le point de la surface qae l'on considère ^ est à l'origine des coordonnées , on a :

x = o, jr = Oy zz=o, p^o, V = o; donc les quatre équations (n) et (/t^ se réduisent à ces deux ci : — dx + fdpz=zOf -^djr + fd^irzoj

{*) Ce théorie est une oomé^pence d'oue proposition plui géo^rsle , qui ^^ déniOQUrée page i52.

d'où l'on tire:

dx djr . ,

,= — , ou ,= -^,

et dxdg — dydp = o.

Mettant dans cette équation pour dp et dq, leurs valeurs rdx+sdjr,

et sdx -|- <4r 9 o^ ^^l'A *

rfa: ( 5^0? + /^ ) — 4r ( '•^^ + *<r ) = <>^;

ou

dr* f r^t\ dy

équation identiipie à l'équation (4) trouvée page i55y dans laquelle '^

^jr , A^ 1 — r •

L'ëqnation • = -r-f donne -;^ = ^; mettant celte va-

^ ^ dp dx sp

leur dans l'équation (4) ^ on obtient l'ëquation ( 7 , pag. 135),

(r/ — 5*)^' — (r + Of+i=o- (7)

Le rayon p qui a pour valeurs les racines de cette équation, est ce qu'on nomme le rayon de courbure de la surface ; il est en même tems le rayon de la section normale de plus grande ou plus petite courbure.

L'équation (5) établit la relation -qm eiiiste entre les rayons de courbure d'une surface et les rayons de courbure des sections normalet. L'angle A qui entre dans cette équation, est la différence de deux angles , dont on connaîtra les tangentes par les équations (3) et (4^). Nous allons maintenant chercher la relation qui eiiste entre les rayons de courbure d'une section normale et d'une section oblique qui ont une tangente commune^ et pour simplifier le Calcul , nous supposerons que cette tangente est l'axe des x ; que le point de contact est à l'origine des coordonnées , et enfin que le plan des xy touche la surface. Dans cette hypothèse , le plan des x£ contient la section normale, le rayon

de coorbure de cette section est —-r , et le rayon de cour-.

\dlO

bure de la section oblique , est ■ . , en supposant *'= '^^jy>

\d^W et ê étant l'angle dt$ plana des sections . normale et oblique.

Cette valeur de z' donne :

dx^ dx^cosê

Nommant R et R' les rayons de courbure des deux sections y on a:

R=—^ • R'=:coB$X -—r :

donc R'=:R cos é. (S)

Ce rapport entre les deux rayons R et R', fait voir eue les cercles oscalateurs de toutes les courbes d'une surface y dont les plans passent par une tangente de cette surface , appartiennent à une sphère dont le rayon est égal au rayon de courbure de la section normale qui passe par la même tangente. ( Théorème de Meusnier,)

Des tangentes réciproques (*).

Pour définir ces tangentes , il faut supposer qu'un plan tangent à une surface j passe d'une position quelconque , à une position infiniment voisine. Des deux tangentes réciproques j Tune est l'intersection de deux plans tangens consécutifs y et l'autre est le prolongement de la droite menée sur la surface par les deux points de contact infiniment voisins.

Soit comme précédemment :

de = pdx + qdjr,

réqnation différentielle d'une surface. Lorsqu^on suppose que le plan des xjr touche la surface à l'origine des coordonnées , on a:

dz:=io^ pdx + qdjr = o.

Ayant mené par le point de contact , une droite de l'équation jr^=êiX y on aura pour le point de contact de la droite et de la sur&ce :

(*) Ce para^phe est extrait det Mémoiru de M* Dvpin.

( i39 ) Si l'on passe du premier plan tangent ( celui des xy) à un second plan tangent infiniment voisin , qui coupe le premier suivant la droite j' = • x , on a pour le point de contact de ce second plan :

ip+ àp) + a,{q+ di])z=zo, on dp + ad<j =: o ^ et «n mettant pour dp et dq , leurs valeurs :

Celte équation contient la quanlitë -- — y qui détermine la direo~

lion de la droite menée sur la surface , par les points des contact des deux plans tangens consécutifs. Désignant cette quantité par«% la droite 7^=«'x est la tangente réciproque de celle dont Téqaalioa donnée , est j* z= ax. Cette réciprocité consiste en ce que les constantes rt, et' qui déterminent ces Ungentes^ sont liées entre elles par une équation réciproque (*), dans laquelle on peut cbanger ft en «% ou «' en «. Cette équation est : .

r + Sm' + m{S + ia') = o, (ç)

ou — 4- — ( M + *' ) + «a' = O •

Lorsque les tangentes réciproques sont rectao^laires , on * «a' =— I ) et l'équation (9) devient

elle ne diffère pas de l'éqnation f4) trouvée page 157; ce ^ prouve que dans ce cas , les tangentes réciproques appartienaent aux sectionis normales de plus petite et plus grande courbure.

r*) M. Monge a-rait déjà remarqué oeUc propriété des ungeDtes j^sa^wmgaa , par rapport aux deux courbe» d'une surface , qu*il anoramces caractéji^ifm^ et traieetoire des caractéristiques. Il «[prime cette propriété de la manière sanme : ( vo/^ ***" ouvrage d'Analyse appliquée k la géométrie , édition 1809, pag*^*) (i La surface déreloppable qui touche une surface enveloppe dans h CHadécc ristique , et celle qm touche Tenveloppe dans la trajectoire , sont réciproqnei et «n cela , que la première est le lieu des Utngentes aux difïérentes tnqcctoïKa^ <t dont les a»inU de conUct sont pris sur la même caractérisii^e, tandfis qna Ci la seconde est le lieu des tangentes aux différentes caractéristiques, dootlea (( points de ooiVtact sont pris sur une même trajectoire* »

tt Cette propriété mente une grande attention , parce que c'est son upuaoa « qui nous {vodoiia le» 4ci^ équations aux diCfér^ooca ordinaires de la cnactf» ¥• nsûqiic. }>

!Dw rayons de courbure des sections normales, menées par tes tangenêes réciproques»

Les sections normales , menées par les tangentes réciproques^ jouissent de celte propriété , que la somme des rayons de courbure de ces deux sections menées par la même normale de la surface « est une quantité consUnte ; et comme les tangentes des sections de plus petite et de plus grande courbure sont réciproques, ceUe quantité est égale à la somme des rayons de courbure de la surface, qui correspondent au point d'intersection de ces tangentes.

Nommons p^ et f^, les deux rayons de courbure des sections normales, menées par les tangentes conjuguées j^ssiur^j'rzr^'x j

on aura:

et les quantités « , a' sont liées entre elles par l'équation :

Tirant de cette équation la valeur de «', et la substituant dans l'expreseion (3) de p^, , on a :

^àf {rt — s-){r+:is» + U^} '

d'où il suit :

L'équation (7) fait voir que le coefficient — -IL-.de p , pag. 157,

^t la somme des deux rayons de courbure f' et p de la surface.

On a vu (page i52 ) qu'en prenant les plans des sections normales de plus grande et de plus petite courbure , pour plan des xz et des^-z , les rayons de courbure de la surface p' et ^, avaient pour

expressions — et — . Dans cette hypothèse, on a 5 = 0, et l'équation (9) se réduit à :

Prenons pour exemple l'ellipsoïde qui a pour sommçt l'ongioc

des coordonnées i et dont les diamètres principaux sont parallclef aux axes des coordonnées ; Téqualion de cet ellipsoïde sera :

Prenant les différences partielles de cette équation, on trouve dans l'bjrpothèse de :cz=:o^zz=io,p:=^o^q:s^O^

donc f' = — > ^ = "7^

ce qui signifie que les rayons de courbure tu sommet de Tellipsoïde j sont égaux aux rayons de courbure des deux sections pria*» cipales qui passent par ce sommet*

f L^équation des tangentes réciproques — • 4~ ^^' s= o ^ devient

— + *#*' = o j ce qui apprend que les tangentes réciproques se

confondent en direction avec les diamètres conjugués de la section principale de l'ellipsoïde,

section dont le plan est parallèle à celui des pcy ^ tangent à b surface.

Cette dernière propriété étant le sujet principal du Mémoire de M. Dupin sur les tangentes réciproques, il les a nommées par cette raison tangentes conjuguées»

Des courbes à double courbure.

De Vêlement dune courbe à double courbure.

Une courbe à double courbure étant projetée sur les plant rectangulaires des xz et des jrz , les équations des projections de cette courbe, sont:

ç et 4 étont des fonctions dont la forme dépend de la nature de la courbe.

L'élément d'une courbe à double courbure correspondant au pointa: ,j^^ z , a pour expression ^[dx* + dy* -f. dz^)\ et a cause de dysTidx^'x y dz = dx^'x , et écrivant pour abréger ^' el -4^', au lieu de ^'x et '^'x y on a pour l'expression de L'élément dt Je

la courbe ,

df =zdx\/ï + (p'* + •^'\

Des tangentes et des plans normaux d'une courbe à double

courbure.

La tangente en nn point de cette courbe dont les coordonnées sont x'y ^x' y -^x', a pour équations de ses projections :

Le plan normal à la courbe au point j:', ip , >{/ , est perpendiculaire à la tangente au même point : il a donc pour équation :

équation d^un plan dont les traces sont perpendiculaires aux projections de la tangente.

Des plans osculateurs d'une courbe à double courbure*

Les tangentes d'une courbe à double courbure , prolongées in* définimcnt , forment une surface développable à deux nappes séparées par la courbe même ^ un plan tangent à cette surface passe par deux tangentes consécutives y ou par deux éléniens consécutifs de la courbe. On nomme ce plan y plan osculateur de la courbe. Cet équation est de la forme

Différentiant deux fois de suite par rapport à x' seulement , on obtient deux équations ; d'oii l'on tire les valeurs suivantes de A et dt B:

Mettant pour ^ et ^ leurs valeurs y Téquation du plan osculateur est :

( i45 ) Des angles de contingence et de flexion^

L'angle de contingence d'une courbe à double courbure , est formé par deux tatîgentes consécutives , comprises dans le même plan osculateur ; il est égal à l'angle de deux plans normaux consécutifs , menés par les points de contact. L'angle de flexion désignera l'angle compris entre deux plans osculatours consécutifs.

Soient u , u'^ uff les cosinus des angles qu'un premier plan P fait avec les trois plans coordonnés ; en supposant que ces angle» varient infiniment peu, leurs cosinus deviendront u + duj i/'-f- du' y u'^^du^ j le second plan P' déterminé par les nouveaux angles, fera avec le premier un angle infiniment petit } nommant ds le sinus de cet angle , je dis qu'on aura :

ds* = du* + du'* + duH* ;

car les différentielles du, du' y du^ des cosinus Uj n'y »^, sont les projections de l'arc ds sur les trois plans rectangulaires. En effet , négligeant les infmimens petits du seconde ordre , la droite sur laquelle on compte l'arc as est perpendicilaire a-la- fois aux deux plans P ei P' z le plan mené par cette droite et par une perpendiculaire à l'un des plans coordonnés , contient les deux angles que le plan des coordonnées fait avec les plans P et P' ', d'oii il suit qoe l'arc ds a pour projection sur ce même plan des coordonnées, la différence des cosinus m-j-c/m et u} c'est-à-dire la différentielle du. On prouve de la même 'manière que les différentielles du' et du^^ sont les projections du petit arc ds sur les deux antres plans des coordonnées : donc on a l'équation très-simple :

ds = \/du* + du'* + duH*.

ÉUnt donnée l'équation d'un plan :

on sait qu'il fait avec les trois plans des coordonnées , des angles dont les cosinus u , u'y «", ont pour expression i

\/L* + M*+N* ]/L* + Af» -h ^'" V^' + ^"+ A' I>ifférentiant ces quantités , en aura les valeurs des trois différentielles du , du' y du^j et par conséquent le sinus de l'angle formé par les deux plans qui ont pour équation ;

)e premier, ux + u'jr + ""-^ = o y

le «ccond , (u + rftf )» + («'+ A') j* + (u^+ du") z=o. 3. lo

Prenons pour exemple, les plans normal et osculatear delà courbe à double courbure (page 14^}; on a pour le premier:

Tirant de ces équations les valeurs de du , du'y du^, et les substituant dans Téqualion ds = yda^-^du'* -f- ^«^, on a pour le cinus de l'angle de contingence dC :

L'équation du plan osculateur ( page 142 ) donne:

w=ç'4* — ^^4' ; \/^ff^ -f. ^ft* -|- ((p'4^ — f '/^z ;■ , 1*' = — 4.^ : |/<p//» + +//• + ((p'4»— 9*4' )• r

fct faisant pour abréger :

on a :

En diUférentiant

£!L — ^lflll!Ù!L ài^ —^A^"''^-^''^' du^ k(^ff'—k^p^ éx'~' k- ^ dx'~ h- ^ dx''" k^ '

du*-\^du^*'\'du''* \ , , . , .^. , f ,.«.,« ! .,..!,.

l'expression de k donne:

Substituant les valeurs de A* et de A'*, on a : du^+du'*+duf/* f4^^/<py^4//(pW)»^,(,w^//-^//^w)».t.(yW4//,y<f^/A).

Mettant pour «^ la quantité qu'elle représente, et observant que

»'''=(p'4"' — 4'9"S on a pour l'expression du sinus de l'angto àt flexion :

<^F étant Tangîc de flexion (*]•

J9e5 rayons osculateurs d'une courbe à double courbure*

Le plan osculateur contient deux élémens consécutifs de la courbe ^ si Ton conçoit dans ce même plan la circonférence qui passe par ces élémens ou par trois points consécutifs de la courbe, le rayon de ce cercle est ce qu'on nomme le rayon de courbure de la courbe , ou le rayon du cercle osculateur* L'élément de la courbe^ et les deux rayons du cercle osculateur qui passent par les extrémités de cet élément, forment un triangle isocèle , dans lequel nommant d^ l'élément de la courbe ou du cercle osculateur ^ et R le

rajron de ce cercle , on a é// = RdC , et par conséquent R = — ^.

Mettant pour df sa valeur dj/ v/r+V^+"4^ , et pour dC sinus de l'angle de contingence^ l'expression trouvée ci-dessus (page 144) » on a :

Rayon de courbure, /l= — \ \ ^ ^ ^ )

M. Lacroix a donné dans son Traité de calcul différentiel, in-4^, 2*. édition; page 627^ cette formule plus coniplette qu^on déduirait facilement de ce qui précède :

df

{dyd^z — dzd'^xY + ( dzd*x — dxd^zY ■+ {dxd^y — djd*xy '

{*) On doit h M. Fourier, cette remarque ineénieusc , que les plans normaux à une courbe à double courbure , forment par leurs interseclions succesivcs , une sur&oe déTclop(»able , dont farétc de rebrouAseraent n des angles de contingence et de flexion égaux aux angles de flexion et de contingence de la courbe à double courbure doont^c ; chaque plan normal à cette courbe contenant les points des deux oonrbes, pour lesquels ces angles sont réciproquement égaux.

Cette proposition est une conséquence de la propriété de la pyramide supplémentaire. U suffit de considérer la pyramide triangulaire , dont les arêtes seraient parallèles à trois tangentes consécutives d'une courbe à double coarbure,et les trois |>ians perpendiculaires h ces tangentes , qui comprennent une seconde pyiamlUe ) sufpfemeotaire de la première.

t)es formules par lesquelles on trouve les points singuliers des Courbes à double courbure^

Les points singuliers des courbes à double courbure sont ceux pour lesquels les angles de contingence ou de flexion deviennent nuls. L'angle de contingence ne peut devenir nul que dans le cas où l'on a ç" = o , 4^" = o ; ces formules sont aussi celles par Ics-

3uelles on trouverait les points de rcbroussement des projections e la courbe , et ce qui doit être en effet ; car s'il y a rebrousse— ment dans une courbe à double courbure , ce rebroussement affecte ses projections*

Quand aux points singuliers pour lesquels l'angle de flexion est nul ) on les détermine par la formule ( page i45 ) dFzzzo^ on

Four que la courbe soit plane, il faut que cette ^uation de condition soit satisfaite par les valeurs des coordonnées d^un point quelconque de la courbe proposée.

Sur les développoïdes dês courbes planes, et des courbes à double courbure.

Extrait d'un lUmoire lu k riastikBt, k is dëocoibrt 1806, par M. Lahcxbt, imprimé en i8ix , vom. II d«i SaTuw éovDgen de lliutiiat.

Si par tous les points d'une courbe plane ou à double courbure , on mène des lignes droites qui se rencontrent deux à deux consécutivement , en coupant la courbe sous un angle constant | ces droites sont les tangentes de la courbe que M. Lancret nomme développoïde.

Les développoïdes d'une courbe à double courbure , qui correspondent a l'angle sous lequel les tangentes de développoïdes coupent la courbe , sont d'autres courbes à double courbure , tracées sur une même surface. Cette surface est l'enveloppe de l'espace

3ue parcourt un cône droit, dont le sommet se meut sur la courbe ounée, et dont l'axe s'applique* successivement sur les tangentes tle cette courbe. Lorsque la courbe donnée est plane, elle à un système de développoïdes situées dans le même plan que la courbe* Ces développoïdes planes jouissent d'une propriété remarquable y démontrée par IVédumur ; Mémoires de l'Acadéime des scietices de

(i47) Paris y année 1 709. Ce savant 6uppose qu'on ait mené deux droites infiniment voisines qui coupent une courbe plane sous un angle donné ; elles se rencontrent sur le plan de cette courbe en un point -y la portion de l'une ou l'autre sécante y comprise entre ce point et le point de la courbe d'où elles partent, est ce qu'on nomme rayon de la développoîde, Réaumur a prouvé qu en faisant varier l'angle sous lequel deux droites consécutives coupent la courbe , les rayons de developpoîdes correspondans à Van^le variable , sont les cordes d'une circonférence , dont le diamètre est égal au rayon du cercle, qui est osculateur de la courbe aux points infiniment voisins , par lesquels on a mené les sécantes (^)« Pour démontrer cette proposition, soit (fig. i, pi. 1 )AMNB la courbe proposée; MTy NT les tangentes aux points M eiN} MO y NO les droites qui coupent les. tangentes sous les angles égaux tMO^TNO, Les trois points A/, TV, O, etle point 7* d'intersection des deux tangentes sont situés sur un cercle MNOTy tel que deux autres cordes quelconques MO* y NO' de ce cercle , feront avec les tangentes AfT'yTW des angles égaux. Mais lorsque les points MelN seront infiniment voisins , le diamètre MR du cercle AI NO T sera le rajron de courbure de la courbe AMNB au point A/; dona tous les rayons de développoïdes planes de cette courbe, et qui partent de l'un de ses points M ^ sont des cordes d'une circonférence , qui a pour diamètre le rayon du cercle osculateur de 1« courbe au même point M.

Pc la surface des développoïdes et une courbe plane.

Soit y^mfx l'équation de la courbe, l'équation de sa tangente «n un point a^ftf; sera:

Le cône droit dont le sommet est au point de la courbe a ) fp* , et qui a pour axe la tangente au même point , peut être considéré comme une surface de révolution composée de cercles, résultant de l'intersection de deux sphères variables y la première du rajon arbitraire r , a pour équation 2

(*) Lonqutt la courbe e»t k double courbure , le cercle osculateur suivant un dément de cette ^courbe , a pour rayon , le diamètre d^ine circonfcrence qi^est le lien des exu^mitcs des rayons de développoïdes , menés par les eitrémiiéi dt cet éléo)^ dans le plan du cercle osculateur. ^* Q

la seconde , du rayon r sin « , (« étant l'angle de Taxe et de la génératrice du cône), sera:

(rcosm \« , / r(p'cos»\* .

a;— a ) +(r— <P« ■ 1 +2'=r»sin'#. (a)

Développant l'équation (a) , la réduisant ^ et éliminant le rayon atbitraire r, on a pour l'équation du cône droit:

;|a:— tf+(,/(7— <f«)}»=cos**((x— 4«)*+( r—<9^y+z^) (i+9'*). (3)

Différentiant par rapport à « j seulement :

= — cos' ^ ( 1 + <p'* ) I X — <t + (^ — (p ) 9' f > (4)

+ cos» «, ( ( a: — a)» + ( j- — (pa )* + z» ) ^'(p^/. /

I. 'élimination de « entre les équations (3) et (4) donne réquation de la surface des. développoïdes qui correspondent à l'angle «.

Si l'on veut discuter la courbe qui résulte de l'intersection de deux cônes droits consécutifs , on pourra supposer dans les équa* tions (3J et (4) :

ce = O ^ <p« = O f ^'« = O f

ce qui revient à placer le sommet du premier cône a l'origine des coordonnées y et l'axe de ce cône ^ ou la tangente à la courbe au point ( « f <p« ) sur Taxe des x. Cette hypothèse réduit ces équa-» lions (3) et (4) aux suivantes :

C x*sin*m =1 cos'<» (j-" + -2') , >

pu

( x-siû»* = COS-* (z^ + 7^)' \

( yç//« = sin'*»j j

d'où il suit que deux cônes consécutifs se coupent suivant une hyperbole dont le plan est perpendiculaire au plan de la courbe donnée , et parallèle à la tangente de cette courbe , qui sert d'axe au premier cône. Les demi-axes de cet hyperbole sont 2

sin'tf sin « cos #

et

ç^^a étant la valeur de cette fonction qui correspond à ei = o*

Pour appliquer les équations (5) et (4) au cas particulier dit cercle , supposons que ce cercle ait pour équalion :

ce qui donne :

Substituant ces valeurs dans l'équation (3) , elle devient :

la diffërentiant par rapport à m , seulement :

[x V/p*— «'— «r) (*^ +r V^p'— *'— P' cos'») = o. 'Des deux facteurs qui forment cette équation , le premier égalé à zéro exprimerait que le cercle donné se réduit au point <3r = le , jr = (p« , z = o. Le second facteur égalé à xéro appartient à la surface des développoïdes du cercle qui correspondent à l'angle #. On a donc pour cette surface :

«c jr 4- / V^p* — »* — p' cos»« = o. (6)

Développant Téquation (5) , on a :

= p»COS'# {X* + J-*+ «•+ P*— 2 aX — ar V/p' — a*}. (5)

L'équation (6) donne :

— 2-x — 2JK V/?»^^ = — 2p'co8»«

«» a:» + 2 *xr V^p* — «• = P^cos4*, — jr* ( p* «» ). Substituant ces valeurs dans réquaUon (5) 5 elle devient;

( X* + J-' ) sin'âr = cos'« ( ^' + f' ) — P'c^*^* f ^^)

( ar* + ^' ) taug*« = z' + p'sin'** (*)

Celte équation appartient à un hyperboloïde de révolution , engendré par une droite faisant un angle m avec le plan des xjr, cl distante de Taxe des z d'une quantité p cos-r. rayon du pluM^eUt cercle de la surface, concentrique air cercle donne x^+y —f • ( Finde l'extrait du Mémoire de M. LancreU)

En rechercliant ce que devient dans la géoméine aux trois dimensions, la propriété des dévoloppoïdps, analogue a celle que'Réaumur a déiiionlrée pour les courbes planes , on trouvera le théorème suivant:

<( Si par une droite tangente à une surface ; on conçoit toutes « les sections dont les plans passent par celte tangente, le Heu des « extrémités de tous les rajrons de développoïdes , qui correspondent c( dans chaque section au point de contact de la droite et de la sur* (( lace, est une sphère , et le diamètre de cette sphère, est égal aa « rajr'on du cercle osculateur de la section normale y dont le plan f( passe par la tangente à la surface ».

Démonstration. D'après Réaumur , la circonférence qui a pour diamètre 7 le rajon du cercle osculateur d'une courbe plane, est Je lieu des extrémités des rayons de développoïdes ; correspondans au point de contact de la courbe et du cercle ; or ^ tous les cercles osculateurs des sections planes d'une surface passant par une tan» gente à cette surface, appaitiennent à la sphère dont le grand cercle est osculateur de la section normale menée par la tangente , ( voyez page i38 , équat. 8 ). Donc , etc.

Sur la ligne la plus courte entre deux points ctune surface*

Si par chacun des points de cette ligne , on conçoit le plan tangent à la surface , ce plan engendre une surface développable , circonscrite à la surface proposée , et en la développant , la ligne la plus courte devient évidemment une ligne droite sur le développement. C'est par celte raison que dans un Mémoire sur k'S courbes à double courbure (26 avril 180a, tom. I*'^. des Savans étrangers de l'Institut, an\iée iSoS), M Lancret nomme cette surface développable, surface rectifiante de la ligne la plus courte. Il suppose dans ce Mémoire que les plans osculateurs de la ligne la plus courte d'une surface , sont perpendiculaires aux plans tangens de cette surface. Il suit évidemment de cette hypothèse , qu'en menant par \ts tangentes d'une courbe donnée , une suite de plans perpendiculaires aux plans osculateurs de la courbe, les intersections successives de ces plans ^ forment la surface recti fiante de la courbe proposée.

On démontre par la synthèse , dans le Dictionnaire de l'Encyclopédie , à l'article Courbe à double courbure^ cette proposition : (( les plans osculateurs de la ligne la plus courte d'une surface sont perpendiculaires aux plans tangens de cette sm*face» , la proposition est vraie , mais la démonstration n'est pas satisfaisante.

Sur une sphère , dit-on , la ligne la plus courte est un grand cercle , doot le plan est perpendiculaire au plan tangent ; or , tout élément de surface infininient petit se confond avec 4a surface d'une sphère: donc , etc. On sait qu^une sphère ne peut avoirde contact du second ordre que suivant une ligne déterminée de cette surface; on ne peut donc pas supposer que les élémcus de la sphère et de la surface se confondent.

J'ai cherché une autre démonstration synthétique , fondée sur le mode de génération de la ligne la plus courte entre deux points d*ane surface développable. Désignons , pour abréger, cette surface par la lettre S, Menons-lui un plan tangent, et tirons dans ce plan une droite quelconque D ; supposons que ce plan se meuve en touchant continuellement la surface 4^. Dans ce mouvement la droite D prolongée indéfiniment dans toutes ses positions, engendre une autre surface développable »S', dont Parête de rebroussenient est formée par les points de contact de la droite mobile D et de la surface S. Il est évident que cette arête de rcbrousscment a pour surface rectifiante la surface développable «S, et quelle est la ligne la plus courte entre deux points quelconques de cette surface ; il s'agit de démontrer que les plans osculateurs de cette ligne sont perpendiculaires aux plans tan^ens de la surface développable S. En effet , lorsque la droite D passe d'une position à la position infiniment voisine , elle engendre une portion de cône droit , dont l'axe est une droite de la surface 5; or, le plan tangent à cette surface passe par cette droite: donc il est perpendiculaire à ce petit cône droit , engendré par la droite D ^ mais ce petit cône est touché par le plan osculateur de l'arête de rebronssement , ou de la ligne la plus courte, puisque ce plan passe par deux tangentes infiniment voisines de cette ligne 9 qui sont en même tems des arêtes du petit cône : donc le plan tangent de la surface S est pcrpeudiculaire à ce même plan osculateur.*

Il est donc démontré que la ligne la plus courte d'une surface développable, a des plans osculateurs perpendiculaires aux plans tangens de cette surface. Considérons maintenant une surface auelconque , et sa ligne la plus courte entre deux de ses points. Cette ligne sera aussi la plus courte sur la surface développable passant par cette ligne , et circonscrite à la surface proposée. Donc les plan5 osculateurs de la ligne la plus courte entre deux points d'une surface quelconque, sont perpendiculaires aux plans tangens de cette surface

Il est à remarquer que deux surfaces dévcloppebles , dont la première a pour arc te de rebronssement , une des lignes les plus courtes entre deux points de la seconde, se coupent à angle droit dans tous les points de la ligne qui leur est commune. H. G.

Démonstration d'un thcorêmede Géométrie analytique; par M. MoifGE.

Le théorème qu^on a démontré , page 1 36 , « Une normale quel* conqae d^une surface , n'est rencontrée que par deux autres normales qui en soient infiniment voisines » , est une conséquence d'une proposition plus générale que M. Monge a donnée dans les Mémoires de l'académie de Paris ^ année 1781. Voici comme il l'énonce : « Si par tous les points d'un plan, ou d'une surface courbe, « dont la forme et la position sont données ; on conçoit des droites K menées dans l'espace^ suivant une loi quelconque; de toutes celles « qui l'environnent , et qui en sont infiniment proches , il n'y en a tf généralement que deux qui la coupent ^ et qui, par conséquent, (f soient dans le même plan avec elle »»

(( On suppose dans cet énoncé que, pour chaque point de la sur- <c face , la loi ne donne qu'une droite , ou que si elle en donne « plusieurs , on ne considère que la suite de celles qui sont données « par la même solution ».

Pour démontrer cette proposition , prenons u.n point ( * >^ ) ^ ) sur la surface dz=^ pdx -f- fjdjr ^ et menons par ce point une droite dont les équations soient :

x' ^ y' y z* sont les coordonnées d'un point quelconque de la droite > et L^ M des fonctions connues des coordonnées x ^y à\x point de la surface \ ensorte qu'on ait :

dLx=.ldx-\'Vdy^ et dM ^=: mdx + m^dY ^ l^V^ m ,m' étant des fonctions quelconques ; mais déterminées en

xt\.jr.

Lorsque la droite des équations (1) et (2) passera du point { a: , ^, 2 ) de la surface au point {x'\' dx y J* + ^T^ z -3^ dz) de cette même surface ; on exprimera que la seconde droite correspondant à cette nouvelle position , rencontre la première , en diuérentiant les équations (i) et (2), et en regardant les coordonnées x' j y\ z' conmie constantes*

Les cquatipns différentielles qu'on obtient , sont :

^dx = {,z''^z)dL^Ldz^ '^djr = {z''^z)dM+Mdz.

Éliminant ( r' — z ) , on a :

dM[Ldz + dx)r=idL{ Mdz + dj) , ou :

dz ( LdM — MdL) + dxdM — dxdL=o.

Substituant dans cette équation , pour dz , dL , dM leurs valeurs en dx et djr^ elle devient :

C {pdx + qdr) {L{mdx + m'dr) — M {ldx + Vdj\ \ + dx{ mdx +m'dy ) — drildx + tdy = o , ou :

+ p(. Lm - Ml) -(- m = o.

Cette équation étant du second degré en —- y on voit qu'il n'j

a que deux directions sur la surface , pour passer de la droite des équations (i) et {2.}^ à une droite infiniment voisine^ qui la rencontre.

Si l'on suppose dans Téqualion (3) que les quantités p et q sont constantes , toutes les droites représentées par les équations (1) et (a^ aboutiront à un plan. Lorsque ce plan se confond avec celui aes xxy onaf?==:o,^ = o, et l'équation (3) se réduit à :

dx^ ^ dx ^ '

11 résulte de la proposition de M. Monge , que les rajons de Inmière qui partent d'un corps lumineux quelconque , et qui subissent un nombre quelconque de réflexions et de réfractions sur des surfaces polies ou transparentes , forment dans l'espace des séries de surfaces developpables , dont les arêtes de rebroussement déterminent les caustiques de réflexion et de réfraction. On voit de très-belles applications de ce principe j dans le traité d'optique de Malus ^ qui précède son Mémoire sur la théorie de la double réfraction de la lumière dans les substances cristallisées. ( Voje% les Mémoires présentés à l'Institut | tome II ^ janvier 181 1. )

Extrait d'un Mémoire sur les surfaces élastiques / par M. Poisson (*).

(Lu à rinstitac , le i«'. août i8i4« )

Ce Mémoire est divisé en deux parties. La première est relative aux surfaces flexibles et non élastiques , dont M. Lagrange a déjà donné l'équation d'équilibre , dans la nouvelle édition de la Mécanique analytique , tom. I^^'., page i49* Je parviens à la même équation par un mojren différent, qui a l'avantage de montrer à quelle restriction particulière elle est subordonnée. Elle suppose , en effet , chaque élément de la surface également tendu en tous sens \ condition qui n.'cst pas remplie dans un grand nombre de cas ^ et qui serait , par exemple , impossible dans le cas d'une surface pesante el inégalement épaisse. Pour résoudre complètement la question , il a fallu avoir égard k la différence des tensions qu'éprouve un même élément dans deux sens difPérens ; on trouve alors des équations d'équilibre qui comprennent celles de la mécanique analytique , mais qui sont beaucoup plus générales, et aussi plus compliquées.

La surface flexible présente , dans un cas particulier, un résultat digne d'être remarque. Si l'on suppose tous ces points pressés par nn fluide pesant , on obtient pour son équation celle que M. Laplace a trouvée pour la surface capillaire , concave ou convexe ; d'où il résulte que quand un liquide s'élève ou s'abaisse dans un tube capillaire , il prend la même forme qu'un linge flexible et imperméable qui serait rempli d'un fluide pesant.

Après avoir trouvé l'équation d'équilibre d'une surface flexible dont tous les points sont tirés ou poussés par des forces quelconques , il ne reste plus, pour en conclure l'équation de la surface élastique , qu'à comprendre au nombre de ces forces celles qui proviennent de l'élasticité : la détermination de cette espèce particulière de forces fait l'objet de la seconde partie de mon Mémoire ^ el voici sur quel principe elle est fondée.

Quelle que soit la cause de l'élasticité des corps , il est certain qu'elle consiste en une tendance de leurs molécules à se repousser

* ' " ■ ' Il y ii I I ■ ■■ ^^mmmm

(i) La classe des Sciences physlqaes ec mathématiques de riostitut , a remis an concours pour l'année i8i5, la théorie des oscillalions des lames élastiques. Cet extrait du Mémoire de M. Poisson , sur les surfaces élastiques , sera très-utile aux jennes géomètres qui concourent pour le prix ; c'est ce motif qui m*a déterminé k Tinsérer dans notre Correspondance , quoiqu'il ait déjà para dans un Bulletin de la société philomatique. — Le Mémoire eaiicr paraîtra dans le volume de Hnstilut , année iSia , a*, partie^ H. C

matoellement j et qa'on pent Tattribuer à une force répulsive qui sVxerce entre elles suivant une certaine ^nction de leurs distances. I>'ailleurs il est naturel de penser que cette force ^ ainsi que toutes les autres actions moléculaires , n'est sensible que jusqu'à des distances imperceptibles ) la fonction qui en exprime la loi doit donc être regardée comme nulle dès que la variable qui représente la distance n'est plus extrêmement petite : or on sait que de semblables fonctions disparaissent en général dans le calcul , et ne laissent dans les résultats définitifs que des intégrales totales ou des constantes arbitraires qui sont des données de l'observation. C'est^ en effet , ce qui arrive dans la théorie des réfractions, et mieux encore dans la théorie de l'action capillaire , Tune des plus belles applications de l'anal jrse à la physique qui soient dues aux géomètres. Il en est de même dans la question présente^ et c'est ce qui a permis d'exprimer les forces qui proviennent de l'élasticité de la surface en quantités dépendantes uniquement de sa figure , telles que ses rayons de courbure principaux et leurs différences partielles. Substituant donc ces expressions à la place des forces ^ dans les équations générales de l'équilibre des surfaces , données dans la première partie du Mémoire y on parvient enfin à l'équation de la surface élastique qu'il s'agissait de trouver. Il serait impossible de donner dans cet extrait le détail des calculs qui conduisent à cette équation ; nous nous contenterons donc de la faire connaître , en renvoyant | pour sa démonstration | au Mémoire même.

Soient x^y^ z les coordonnées d'un point quelconque de la surface , point que nous appellerons m \ considérons z comme fonction de a: et j^ y et faisons , pour abréger:

Soient aussi f et f' les deux rayons de courbure principaux de celle surface , qui répondent au point m \ désignons par P et Q deux fonctions de ces rayons , savoir :

Aa aorte que Ton ait , d'après les formules connues :

I + ^* d^z %p(i itz ^ I + p* <^s

Représentons par X ^ V^ Z les forces données qai agissent sar le point quelconque m, parallèlement aux axes des x ,jr ^ z'y supposons ces forces telles que la formule Xdx -|- Vdy -{- Ziiz soif la différentielle exacte d'une fonction de x ^ y , z j et désignons son intégrale par n. £nfin , supposons la surface élastique également épaisse dans toute son étendue | et soit t son épaisseur constante; son équation d'équilibre sera :

'i^q^ €hP apq d^P i + p^ d'P ^ dP dP

"^ le '//'»'» le ' Af.i^ * /. *f/r* dx dy

4 Q n = Z —pX — qY— kPn.

Le coefRcient n représente ici une constante qui dépend de l'élasticité naturelle de la surface ; il est nul dans le cas des suriàces flexibles et non élastiques , ce qui réduit leur équation d'équilibre à

Z — pX— çF— APnt=o;

résultat qui coïncide avec celui de la mécanique analjtique que }'ai cité plus haut.

Non-seulement l'équation (a) suppose l'épaisseur constante ; mais elle ne convient aussi qu'à une surface élastique naturellement plane , et elle ne comprend pas les surfaces , telles que les cloches et autres , dont la figure naturelle est courbe. Si l'on y supprime tout ce qui est relalii à l'une des deux coordonnées xeiy^ par exemple a^*, la surface se changera en un cylindre parallèle à l'axe des X y et l'équation {a) devra alors coïncider avec l'équation ordinaire de la lame élastique^ c'est, en «ffet , ce qu'il est aisé de vérifier après quelques transformations faciles à imaginer.

J'ai donné, à la fin de ce Mémoire, la démonstration d'une propriété de la surface élastique, analogue à celle de la lame que Daniel Bernouilli a lait connaître. Suivant ce géoniètrc , si l'on désigne par ds l'élément de la courbe élastique, et par p son rayon

/ds —^ prise dans toute son étendue , est

nn minimum , entre tontes les courbes de même longueur. Cette propriété suppose que l'on fait abstraction de la pesanteur et de toute autre force donnée ^ or , dans la mruie hypothèse , on trouve relativement à la surface élastique , que l'intégrale double :

jyij +7)' "'"■"'■

est pareillement un minimum \ f^ / ti k représentant les mêmes quantités que ci-dessus , et l'intégrale devant s'étendre à la surface entière. J'ai aussi remarqué que la variation de Tintégrale :

^phdxdy

Jj IT'

ne renferme que des termes relatifs aux limites ; d'où il suit que la même propriété du minimum a également lieu pour toute intégrale formée de la précédente^ augmentée ou diminuée d'un multiple quelconque de cette dernière.

La recherche des équations d'équilibre des surfaces élastiques appartient à la mécanique générale ; c'est uniquement sous ce rapport que je l'ai considérée daus ce Mémoire } mais cette théorie comprend comme application une des branches les plus étendues et les plus curieuses de l'acoustique. Je veux parler des lois que suivent les vibrations des plaques élastiques y des figures qu'elles présentent, et des sons qu'elles font entendre pendant leur mouvement* En effet , l'équation fondamentale qui doit servir à déterminer les petites oscillations d'une plaque sonore , se déduit de son équation d'équilibre , par les principes ordinaires de la mécanique, supposons donc que la plaque s'écarte très-peu d'un plan fixe qui sera celui de jr 9 ^ ^ et négligeons , en conséquence , toutes les quantités de seconde dimension, par rapport à r et à ses différences partielles : l'équation (a) se réduira d'ai>€»:d k

De plus j faisons abstraction du poids de la plaque y et supposons , conmie dans les problèmes des cordes et des lames vibrantes , que chaque point de la plaque reste , pendant le mouvement , dans une même perpendiculaire au plan fixe \ t étant la variable qui représente le tems , il faudra faire alors

X = Oy rc=o, Z= — I— J

Vînlégrale n se réduira a une constante arbitraire , que j'appellerai c ; et l'équation du mouvement sera enfin

J'ai démontré , dans mon Mémoire , que celte constante c dépend des forces qui tirent la surface à ses extrémités ; et qui pro-

duisent ce qu'on appelle la tension. Elle est nalle quand ces forces n'existent pas ; ce qui réduit notre équation à

Mais si l'on voulait considérer les surfaces tendues , telles que les tambours ^ par eieniple , il faudrait ^ au contraire y conserver la constante c , et supposer n = o f ce qui donne , eu changeant le •igné de c :

d^z /"d^z à'zy.^

*'dF~^\d^'^'^)^

équation' dcja trouvée par Euler , et oui est aussi celle dont MM. Biot et Brisson se sont servis pour aé terminer quelques propriétés des vibrations des surfaces tendues.

II y a environ cinq ans , la première classe de Tfnstitut a proposé, comme sujet de prix , la théorie mathématique des vibrations des plaques sonores y vérifiée par la comparaison avec l'expérience ; mais, depuis cette époque , on n'a reçu qu'une seule pièce di;^ne de l'attention de la classe. Au commencement de ce Mémoire , Tauteur anonyme pose y sans preuve suffisante , ou même tout-à-fait sans démonstration y une équation qui est précisément notre équation (b). Il y satisfait par des intégrales particulières , composées d'exponentielles y de sinus et de cosinus ; et en cela il suit l'exemple qu'Ëuler a donné en plusieurs endroits y relativement à l'équation des lames vibrantes. A chacune de ces intégrales , répond une figure particulière de la pla(jue sonore, et le son qu'elle rend dépend en général du nombre de lignes nodales qui se forment pendant ses vibrations. L'auteur calcule le ton relatif à chaque figure^ puis il compare le ton calculé à celui que donne l'expérience pour une figure semblable : il trouve un accord satisfaisant entre ces deux résultats 'y de sorte que l'équation des plaques vibrantes , quoiqu'elle ne lût pas jusqu'ici démontrée à priori y était du moins suffisamment justifiée par l'expérience. Cette comparaison est la partie de son travail qui a motivé la mention honorable de la classe : elle porte sur un grand nombre des expériences de M. Chladni , et sur beaucoup d'autres qui sont propres à Tingénîeux auteur du Mémoire dont nous parlons. Il y aurait une autre espèce de comparaison bien plus difficile à entreprendre , qui serait relative à la ligure produite d'après une manière donnée de mettre la plaque en vibration. On pourrait aussi désirer que les résultats du calcul fussent déduits de l'intégrale générale , et non pas de quelques intégrales particulières de l'équation {b). Malheureusement cette équa-

lion ne peut s'intégrer sous forme finie que par des intégrafei définies qui contiennent des imaginaires sous les fonctions arbitraires \ et si on les fait disparaître^ ainsi que M. Plana y est parvenu dans un cas pareil ( celui des lames vibrantes ) , on tombe sur une équation si compliquée^ qu'il parait très-difiicile d'en faire aucun usage.

Pour indiquer ici tout ce qui a été fait jusqu'à présent sur les surfaces élastiques ^ je dois aussi faire mention d'un Mémoire sur les vibrations des plaques sonores , qui se trouve dans le volume de Pétersbourg pour Tannée 17B7. En partant d'une hvpothèse trop précaire, l'auteur est conduit à une équation différentielle , qui n'est point exacte , et qui revient à Téquation (Jj) , en y supprimant

le ternie multiplié par -— — . Il y satisfait aussi par des intégrales

particulières , composées d'exponentielles , de sinus et de cosinus ; mais il remarque lui-même que les conclusions qui s'en déduisent ne sont pas d'accord avec les expériences de M. Chlndni ; et maintenant , que nous connaissons la véritable équation du mouvement des plaques^ nous voyons clairement la cause de cette discordance.

De la manière d'emplojer le principe de la moindre action, pour obtenir les équations du moui^ementy rapportées aux variables indépendantes ; par M. RoDiviGUES , licencié ès-sciences.

On sait que le principe de la moindre action se réduit proprement à ce que dans un système de corps soumis à des forces atiractivea ou répulsives , dans lequel , généralement , le principe deà forces vives a lieu, la somme des forces vives instantanées acguises par tous les corps en passant d*urie position donnée à une autre position aussi donnée. ^ soit un maximum ou un minimum.

Ce principe combiné avec celui des forces vives , peut servie à trouver les équations du mouvement du système dans chaque cas particulier ; mais on n'avait pas encore pensé , ce ûie semble , à employer dans ces solutions l'équation que donne le principe de» forces vives, purement et simplement conmie une équation de condition , et à la traiter comme telle par la méthode des multi-

Ïklicatcurs. Je suis parvenu ainsi , et en employant immédiatement . es variables indépendantes du système , quelles qu'elles puissent être, aux équations générales du mouvement données dans lu Mécanique analytique^ (a*, part. , sect. 4) ; et auxquelles M. La-

grange est arrivé y soit par des transformations directes de coor* données , soit en employant pour ces transformations , des formules générales déduites du calcul des variations.

La méthode que j'expose offre un exemple assez remarquable de la théorie des multiplicateurs dans la méthode de maximUt et minimis , et de la manière de dctenniner entièrement ces muiti* plicateurs par les équations aux limites. Elle a aussi l'avantage d'introduire immédiatement dans le calcul^ les deux fonctions jT et F qui représentent , l'une la demi-somme des forces vives du système , et l'autre l'intégrale de la somme des luomens.

Celte fonction T*, quelles que soient les variables qu'on emploie , est toujours une fonction homogène du second degré par rapport à leurs dérivées , en sorte que i , ^) , 4^ , etc. étant ces .variables , i% qp% ^' leurs déi-ivées \ on aura Péqualion identique :

^ dT ,, dT ,, , dT ,

Cela DOsé, le principe de la moindre action exige que l'intégrale fTdt , soit un maximum ou un minimum j pourvu qu'on regarde la première et la dernière position du système comme données ] en sorte que les variations des coordonnées soient nulles aux deux limites de cette intégrale. La variation i'jTdi , ou J J^. Xdi doit donc être égale à z.éro. Mais le principe des forces vives donne l'équation de condition T^Fz=zH ^ H étant une constante arbitraire*

Suivant l'esprit de la méthode des variations , il faut ajouter à l'intégrale fl. Tdt , celle-ci f>.dt{f T+i V) , A éUnt un multiplicateur variable et indéterminé , et regarder ensuite les variations comme indépendantes de l'équation ae condition.

Alors l'équation du minimum, est :

p.Tdi + Kdt{tT+iV)^o.

Il est nécessaire de faire varier aussi le tems ) car y les coor^ données seulement ont des variations déterminées aux limites , tandis aue celles du tems restent tout-à-fait arbitraires. Mais on peut d'abord ne pas le faire varier , avant soin de substituer ensuite^ ftu lieu des variations J'S 7 ^4 ) ^9 > ^^^ expressions :

H — Vit, l^—:^^lt, lif — ^'lt^ et d'ajouter à la partie hors du signe , le terme Ti't (*).

(*) Voyo le fupplcment aux Lteom sur k cakui des fonctions. (2a»«. Leçon. J

( i6i ) rfoos aurons donc ainsi :

o e=/^ ( ( A + I ) ^ T-f- A<^r) • Or,

^^—-dï^^ + d^^'^ + 'd^^f*

di'^^di' dt ^d9^^^d<f'di ^t/4^^^rfv^*

Faisant disparaître par l'intégratioa, par partie, les doubles signes Ji-^ et ayant égard maintenant à la variation du tcms ^ on aura cette transformée :

dans laquelle :

/dT \