AT* AT* AT

ton bien: £/= ^{+__^4 + __ J>ç(2 a + i ) 7^^/,

ï = -7j-+(A+.)-^ — —Ji

etc....

On aura doue les ëauations indéfinies s = o, >p = o,^ = o^ auxquelles on joindra réquaticn Z*+ V-=H^ afin d'éliminer ;^^ et l'équation aux limites c/» — Z7| = o ; mais aux limites , les variations /{) /*4 j i^f sont nulles y Téqualion se réduit donc à

(âA + i),;*/. — {2A+I ),^/. = o.

Et comme les variations //i ; i't^ sent indépendantes , on aura lel équations :

(aA4.i),=o, (aA+i)a = o,

auxquelles la valeur de A devra satisfaire. Maintenant si Ton mul-> tiplie les équations Zz=o fir = o y = o» par J{ , d^ y àÇy etc.y qu'on les ajoute | on trouvera , toutes réduclious laites , et en observant que

dT+dFz=:0,

{zx+i)dT+Td{2X+i ) = o.

On tire de cette ëquation 2A + 1 s: -7^9 /Celant une consûtn te

( ife)

firbitraîre ; on voit que pour satisfaire aux équations aux limites , il faudra faire A^ = o. On a donc simplement 2A-f-i=:o, A=^ — j. Substituant cette valeur dans les équations du mouvement ^ on aura les équations suivantes :

dT àT . dV ^

dT dT dV

d. — dt 4- di = Ot

JV J4 ^d^ '

etc....

qui sont , comme on voit , celles de la Mécanique anafylique.

Si les variables n'étaient pas indépendantes y et qu'il y eût par

conséquent entre elles des équations de condition Af=o, /V=o, etc.,

il est évident que les précédentes seraient respectivement aug-

, , dM ^ dN ^ . ^» » j

mentees des termes fi -j— dt ^ w -^— di , etc. ,ftff^ etc. étant aes al ai

coefHciens indéterminés.

Recherches sur la théorie analytique des lignes et des

rayons de courbure des surfaces ^ et sur la trans-

jormation d^une classe d'intégrales doubles , qui

ont un rapport direct avec les formules de cette

théorie ; par M. Rodrigues.

Équations des lignes de courbure.

On appelle ligne de courbure sur une surface , une ligne telle que les normales à la surface menées par deux de ses points consécutifs , se coupent. Le point d'intersection est le centre de courbure , el la distance de ce point à la surface , le rayon de courbure.

Cela posé , soit ds un arc infiniment petit de cette ligne de courbure, dr^dy^dz seront les projections de cet élément sut les axes des coordonnées. Considérons les normales à la surfisice menées aux deux extrémités de Tare ds 5 appelons X, F, ^ , les cosinus des angles que la première normale fait avec les coordoniiées ; X-j^dX^ Y^dY, Z -{• dZ seront les cosinus des angles formés par la seconde normale. Ces deux droites devant se rencontrer , si de leur point de rencontre comme centre et d'un rajon égal à l'unité ^ nous décrivons entre ces droites un petit arc de

cercle ,. il sera la mesure de l'angle qu'elles comprennent, et 11 eut facile de voir que les projections de cet arc seront respectivement dXj dY y dZ, On voit aussi que ces projections seront à celles de Félément ds , dans le rapport de Tunitë au rajon de courbure* Désignons ce rayon par jR , et nous aurons les trois équations suivantes , qui serviront à déterminer à-la-fois le rayon de courbure , et la ligne de courbure :

dx~ R^ ' dj— R' dz ~'R" ^*^

I^es deux équations de la ligne de courbure seront :

dXdy — drdx = o, dXdz — dZdx = 0} entre les cosinus Xj V, Z ,on a la relation :

et par suite ;

XdX + YdY + ZdZ = 0.

Cette dernière équation combinée avec les deux ci-dessus ^ sert à éliminer dX , dY, dZ , et Ton arrive à l'équation :

Xdx + Ydy + Zdz = o.

Celte équation appartient à la surface que Ton considère ) il suffit donc pour la connaissance de la ligne de courbure y d'avoir égard à l'une de ses deux équations \ prenons Téquation:

dXdj- — dYdx ^ o , on a:

l'équation définitive sera donc

Cette équation différentielle du premier ordre y montant au second degré ^ la constante introduite par l'intégration , entrera au même degré dans l'équation finie. Cette constante aura donc deux valeurs, lorsqu'on voudra la déterminer par la condition que la courbe passe par un point donné. Il existe donc^ en général^ sur une surface deux lignes de courbure pour un point quelconque. Les

valeurs de --y— correspondantes à ces deux lignes sont les racines dx

de réqnalîon (2) , résolue par rapport au coefHcient diflPérentiel. Il est même clair que ces valeurs sont liées par une équation du pre^ mier degré à celles de la constante arbitraire ; d'oii il résulte que 81 pour un point singulier ^ l'équation (a) devient identique > ou ce qui revient au même , si les racines de cette équation ae présentent sous une forme indéterminée, il en sera de même pour les valeurs de la constante arbitraire , qui pourra dans ce cas avoir plus ou moins de deux valeurs réelles. Il peut donc y avoir plusieurs lignes de courbure pour cette classe de points singuliers y que M. Monge a considérés le premier , et qu'il a nommés ombilics. ( Voyez, l'analyse appliquée à la géométrie, page 127, édition 1809.] On peut en voir une théorie complette dans l'ouvrage de M. Dupin, développemens de géométrie.

Je reviens maintenant à Péquatîon (a). Désignons , comme M. Monge , par p, q, r^ s y t les cinq premiers coefficicns différentiels partiels de l'ordonnce z, on aura:

V^ + P'^+r' Vi+p^+q^' puis

\dxj'^ {i+p-+q-)l ' \dyj (i+p^ + ç»)! '

\dxj :, + p^+q')l ' KdjrJ {i+p^ + r)i '

Substituant ces valeurs dans l'équation (a), on trouve:

lii+q')s''pgqdy+[{i+q-)r--{i+p>)tyjdx^ii+p*)s+pqr==o.(^^

Sous cette forme , notre équation coïncide avec celle que donne W. Monge dans VAnafyse appliquée^ page 109.

Si l'on écrit ainsi cette équation:

Mr"" + Bdjdx — Cdx"^ = o,

on aura entre A , B , C ^Vd relation :

jir=:Ds+ Cl. (4)

M. Monge démontre que les deux lignes de courbure sont per-

Eendiculaires , en rendant le plan tangent parallèle au plan des xy. )n peut s'en dispenser de la manière suivante.

Soient j^, jr^ et 2', z^ les deux valeurs de —-y^ei de -r— pour

dx dx

les deux courbes j la condition pour qu'elles sorent perpendScu*-* laircs^ est

or y on ^ z'=zp + 4jy, zff^=p + ^^''j l'cqualion devient :

^ +/>•+{« + ^^)yy'' + P9 {y + y'' ) — o ',

or, on aura: ^'jr/y =-—-, y-|-y«r— ^

•t par suite: A{i +p*) — pqB — Ç(i 4-9»)=ror

^ B$+Ct or -tf = ; on a donc :

{i+p-){Bs+Ct)'^pqrB — C{i+q-)r:=zo, ou bien: -5 ((i+p*)^— P?r)— C((i + 7')r— .(i4.;>»)/) = o, équation identique par les valeurs de B et de C,

Formules qui établissent une correspondance très-^simple entre les deux lignes de courbure*

Désignons par d les différentielles relatives à Tune des lignes de courbure, et par ^les différentiellefs relatives à l'autre ; en sorte que

^ dx' ^ Ix' L'équation Ari=Bs+ Ct, donne :

r — s(y+y^)+tyyfz=zo, ou substituant pour y, y^ les expressions ci-niessus s

ri-xdz + s{ dx^y + dyi^x ) + tlydy = o , ou bien :

dx{rix Jr siy>^J^dy i^six^tiy)', or , dpt=. rdx + sdy j dq t= sdx + tdy :

donc cette équation se change en

dxfp + dyfq:=zo) (S)

équation d'une simplicité remarquable | et qui| je crois ^ n'avait pas encore été donnée*

(i66) L'cqualion qai exprime la pcrpendicularilë est!

pu dx^x + djr^y + dzi'z = o j

03a*s on a : dz ■= pdx -}- qdy.

Substituant , on trouve :

dx {^x + p^z) -j- fl?^ ( ^ j- -}- g^z) = o.

dr ÉlimÎDant -j^ par l'équation (5) , on a celte nouvelle équation

des lignes de courbure 9 en changeant ^ en ^ ^

dp (djr '{' qdz ) :=z dq [ dx <+ pdz ).

On trouve cette équation dans V Analyse appliquée j page 11 5.

ÏV.

Si l'on compare Téquation :

à réquation des tangentes conjuguées, donnée par M. Du pin , on les trouve identiques à la notation près ^ il s'ensuit donc que les tangentes aux deux lignes de courbure , sont deux tangentes conjuguées. C'est «n parlant de cette propriété que M. Dupin , après avoir donné Téquation des tangentes conjuguées , arrive à l'équation des lignes de courbure. L'équation (5j est celle des tangentes conjuguées ramenée à une forme plus simple^ et telle qu'on peut la trouver ainsi qu'il suit. On sait que si l'on considère deux points infinîment voisins sur une surface, la tangente qui passe par ces deux points, et la ligne d'intersection des deux plans tangene, form nt un système de tangentes conjuguées , d'après la définition de M. Dupin : or, soit

z' == px' + qy+ z — px — ^',

Téquation du plan tangent, celle de l'intersection avec un plan

înRniment voisin dans la direction -r^ 9 sera:

Faisons

x' = x + dx, y =y + dr ,

les différentielles marquées par d, étant prises sur rintersection des deux piaiis , et nous aurons la relation ;

dx^p '{' drt'q i=i o.

( 1^7 ) Si roB met pour tp j ^q les valeurs

^q zzzrtx + s^y j

on retrouve Péqnation e

pu bien : • '' + ^ ( 7"' + .^''^ ) + O'O^^^ = <>•

Formules relatives aux rajrons de courbure* L'ëqoalion -=- = •- — , développée devient :

R ~\dxj^\(fyj dx'

dy Si Ton élimioe -^ , entre cette équation etl'éqnation (a), on aura;

[( g)(f)-(gXg)>--[(g)+(f)]^"'" - <«

(*) Substicuani dam IV^ation (6) poor T-T" J> ( J' T "7"" J ' V"T"y

]«ars valeurs -, et faisant pour abréger :

elle deviens : . ^/l» 4- Ait/Ï -h ** = o.

Bésolvant cette équation , on parvient à rexprewion des deux rayons KtxK y donnée par M. Mooge, page ii3 de son analyse,

Dans rhypothèse de;7 = o, ^^o, g^=n — **, A = r-*-t, A:=i,et II Taleur de Jt devient , comme on Ta trouvé dans Particle précédent, pgc i35 , a

- » N^ayant eu pour objet dans cet article , que. de r-h t± v'4j» 4- (r-^ « )>

démontrer les théorèmes relatifs k la conrbore d'aune surface ou d^une courbe « ie n'avais employé que cette dernière expression , qui est un cas particulier de Tes pression générale du rayon de la sphère osculatrice en un point détermina

de la sur&ce dz =r pjx + (jd/. Cette expression , R = - donne

k ±V'A» — ^hg la loo^eur du rayon de courbure , au point ( ar , ^ , 2 ) , quelques soient les plans rectangulaires auxquels on ait rapporté là surface. H. C.

Soient RyR'y\e$ deux racines de cette équation^ on aura ees cApressioDS Irès-sjmétriques :

i /^\ /àr\ CdX\ fdY\

RR' ^\dx)\dy) KdjjKdx/

application des foi mules et des équations précédentes à la recherche des équations de plusieurs surfaces*

Nous allons montrer par plusieurs exemples^ l'utilitë des for* mules et des équations que nous avons établies ci*des8us ^ dans la solution de plusieurs problèmes de V Analyse appliquée deM.Mongey relatifs à la courbure des surfaces.

Cherchons d'abord l'équation de la surface dans laquelle un des rajons serait infini , les équations :

JL — ^ 1 dY^ 1 dZ

R ~d^' 'W~lfy' 'r7~ dz^

donneraient alors dX = o , dYz=. o , dZ^srz o, La troisième de ces équations est une conséquence des deux premières.

Les équations dXz=z o, dV=io y intégrées deviennent :

;? = tt , q = fi.

Ce sont les équations de la ligne de courbure pour laquelle le rayon de courbure de la surface est infini. Elles inarquent que pour tous les points de cette ligne de courbure , le plan tangent est le même , ce qui est le caractère distinctif des surfaces développables. Le& équations /? = «> ? = 18 y diffërentiées donnent :

rdx + sdy = o , sdx -f- tdy = o.

Eliminant -p-y entre ces deux équations^ on aura un caractère dx

indépendant de la direction particulière de la ligne de courbure*

On trouve ainsi : *

ce qui est l'équation des surfaces développables. Pes équations pz=z a, qz=/B , on conclut :

dz :^adx + ^4y >

('69) équation intégrable et qui donne :

z = 0tx + fir + Y*

On voit donc que la ligne de courbure est plane. Pour une même Hgne de courbure , »j fi^y sont constans ; on a donc , en général • /S = 9« ^ y = 4« , ce qui donne les deux intégrales premières :

Nous renvoyons pour de plus longs détails à V Analyse ap* pliquée.

Si Pon demande la surface dont un des rayons de courbure serait donné et é^al à a y son équation aux différences partielles du second ordre s*obtiendra en mettant a au lieu de R dans l'équation (6). Mais on aura immédiatement les deux intégrales premières de cette équation , par la considération des lignes de cour-* bure. En effet , les équations (i) s'intègrent dans ce cas , et donnent : V

y — aYz=z0,

z — aZ = y ,

« , /8 , y sont constans et variables en même tems , on a donc alors

a: — û-X'=^(r — ûZ), ^— ay = 4(je — aZ).

Les trois équations ci-dessus combinées- avec celle-ci :

donnent : ( a: — <py )• + (y — (py)* + (z — y)* = «•;

ce qui montre que la surface cherchée est l'enveloppe de l'espace parcouru par une sphère , dont le rayon serait constant et égal à A , et dont le centre décrirait une courbe arbitraire dans ses deux projections.

SI une des lignes de courbure devait toujours être parallèle à un plan donné , dont l'équation fut par exemple y = ax , ce qui est toujours permis y alors pour cette ligne on aurait les équations ;

dy — - aàx = o , àXdr — dYdx = o^ *

( »ro )

qoi s^întégrcralent ainsi:

Y — ax = Mj Y—aXz=fi^

ce qui donnerait une des intégrales premières j'—aJir=:f(7*— «a:) 5 ensuite l'équation (5) :

•Intégrerait aussi j et l'on aurait pour la seconde ligne de courbure , l'équation :

on bien : X -j- aY^ yZ = o.

Cette équation différentiée de nouveau donne :

dX + adr+ydZ = o.

On peut chasser dXj dYj dZ^ar les équations (0> ^^ ^^^^ trouve alors :

dx + ady -f- y d!z = o ; intégrant x + ajr + yt^ = 9,

équation d'un plan 9^ la seconde ligne de courbure est donc plane comme la première.

On aura : ^z=:F(y).

Substituant pour y la valeur /" + ^? 9 ^° obtient cette seconde intégrale première :

La recherche de l'intégrale fi nie ^ exige des développemens étrangers à mon sujet, et qui ne peuvent trouver place ici.

Une surface très-remarquable est celle dont les deux rayons de courbure sont égaux et de signe contraire , c'est-à-dire directement opposés. Pour une pareille surface , on doit avoir :

son équation aux différences partielles sera donc :

. ( 171 ) Sous cetle forme, on reconnaît sur-Ic-champ que celte surface est celle dont l'aire est un minimum. En effet , puisque

on a: X= ^ , r

Or , l'équation de la surface qui rend minimum la double intégrale fjVd^cdY y V ne contenant que p eOf ^ est comme on sait s

dr J

Si f^= V^ 1 + p* + V* > ®* ^^°* ^® ^^> ^* double intégrale ffVdxdy , représente l'aire de la surface ; l'équation du minimum sera:

ydX\ . /(/r\

n me reste enfin à parler de la surface dont les deux rayons de courbure sont égaux et dirigés dans le même sens.

Pour trouver son équation aux différences partielles , il £nit exprimer que l'équation (6) a ses deux racines égales. On aura ainsi:

ou mettant pour les différences partielles indiquées leurs valeurs :

l{i+g')r—2pqs + {i+p*)iy—^li + p'+rKrt-'''i=o. (?)

Telle estréqualionqueM.Monge intègre danssonouvragejpag.i/i^ et qu'il parvient à représenter par le système de trois équations, entre lesquels un seul paramètre doit être éliminé.

Nous pouvons lui donner une autre forme j en effet , la première équation ci-dessus peut s'écrire ainsi :

OQ bien:

Si comme dans le §. Il, page 164 de ce cahier 9 on représente les quantités comprises entre les crochets dans c^tte équation , respectivement par 5 , u^, C , 1 équation deviendra :

or, la relation Ar z=z Bs -{• Cl , donne C= ^ ; l'équatioa

£* -|- 4 AC^=. o , peut donc se transformer en celle-ci :

1 kA"

OU [/?/ — 2>^5P+ --^- [rt— .5>] = o.

D'ailleurs l'équation (7) montre que rt — 5* est une quantité essen* tiellement positive. On ne peut donc satisfaire à cette équation qu'en posant ^ = 0,^ = 0, ou bien ri — 5* = o. Nous examinerons ce dernier cas particulier plus bas.

Les équations >^= o , ^ = , sont celles que M. Monge intègre d'abord , comme une solution particulière de Péquatiou (7) ^ et il trouve que la sphère seule satisfait à ces deux équations.

Si nous posons r/ — ^ * = o , l'équation se réduit à :

r + / + (9\/T-/.t/T)* = os or ^ je dis que ces deux équations :

n'ont de solutions réelles que rs=0| <=:0y 5 = 0; équations qui ne conviennent qu'à un plan.

Car l'équation rt := ^'* exige que r et / soient de mêmes signes ; or , si r et / sont tous deux positifs , la seconde équation ne sera pas satisfaite , puisqu'elle sera la somme de trois quantités positives :

ai au contraire , r et / sont négatifs , le carré ( ^ V^ r — p V*^}* devient négatif; l'équation n'est pas plus sa ti faite : il faut donc poser r = o , / = o , et par suite f = o. Nous voyons donc aue la sphère et le plan sont les seules surfaces dont les deux couroures soient égales dans tout leurs points y et encore peut-on ne parler que de la sphère , puisque le plan peut-être considéré comme une splicre d'un raj^on infini.

Les équations /4=o , jB=ro, reviennent évidemment à celles-ci :

f —7— J = o , f -r— j = o. Or, il est très-facile de démontrer que

ces équations sont celles qui expriment que la surface cherchée a dans tous ses points une sphère osculatrice : on sait , en effet, que pour qu'une sphère soit osculatrice d'une surface donnée, il faut que les quatre élémens de cette sphère remplissent six condition» qui résultent de l'égalité des cooraonnées , et de leurs premières et secondes différences dans les deux surfaces. On pourra donc éliminer ces quatre élémens, et l'on aura deux équations pour exprimer la possibilité qu'une surface soit osculée par une sphère. It s'agit d'arriver directement à ces deux équations : pour cela y soient a j b ^ c, r les coordonnées du cfntre et le rayon de la sphère osculatrice y la normale étant commune aux deux surfaces , on aurac

et comme ces équations ne contiennent que les premières différences p etqj on peut les différeatier une fois, sans que Tégalité soit troublée ^ on aura donc :

Ces deux équations indépendantes des élémens a^ b^ c , r, sont les deux équations de condition cherchées.

Tliéorêmcs relatas à la transformation des intégrales doubles. L'expression que nous avons trouvée plus haut :

RR' \dxJ\drJ \drJ\dxJ'

«on rapport manifeste avec la formule qui sert à transformer les intégrales doubles. En effet, si dans ViulégYale Jj^Fdxdy y on veut changer les variables x y x ^^^^ ^^^ variables uetty on effectue d'abord la transformation algébrique dans la fonction F, puis on substitue à l'élément différentiel dxdjr, celui-ci :

\du dt at du/

Or les cosinus X et F qui soat fonctions des variables indépen-^ dantes a: et ^ , peuvent eux-mêmes être considérés comme deux variables indépendantes , dont x et j- seraient fonctions; mais alors une double intégrale telle que JjFdXdY , relatives aux variaiblès X et K, équivaut à celle-ci :

et réciproquement.

Or l'expression : (g) (^) - (^) (g^) , développée

donne : ■ -,„, = -r — ; ; > en sorte que la double inte-

RR' (i +/'* + <i*T

grale // / i , i , a — » équivaut à celle-ci 2 //Xi^^ F.

Faisons Vz=^U{x -f-p»4-ç*)» j nous aurons alors le théorème suivant :

L'intégrale double ffV{^rl — s^^dxày^ prise sur une surface

quelconque est égale à celle-ci : // --j — - , prise entre

les limites correspondantes à celles de la première.

— Jt — Y

Comme on a /? = — =z=^=zr > ^ = « ^ il

\^Y — X- — Y- Vy — X^ — Y^

est clair que si V dans la première intégrale ne contient que p^tÇj la transformation s'effectuera de même , quelle que soit réquation de la surface sur laquelle on prend l'intégrale : on trouve ainsi ce second théorème.

L'intégrale double ffU{rt — s*)dxdyy V ne contenant que et a , est indépendante de l'équation qui peut exister entre les

, . 1. . 1 ^ rr UdXdY coordonnées x , jr > -z > elle est égale a // ^ y U ne

contenant alors que X, F.

L'intégrale JjU {rt^^ s"^) dxdy ne doit donc varier que par ses limites. La variation de cette intégrale ne doit donc pas contenir de termes affectés du double signe , c'est ce que nous allons vérifier.

Faisons T=l U{rt'^ s*). On sait que dans le développemeai de la variation S^ffTdxdy^ la quantité qui se trouve sous le double signe , multipliée par dxdjriz , est :

<diJ\dxJ \ dy J

Ici 7* ne contient que p}Çfr,s,t. Cette quantitë peut doue s'écrire ainsi t

iwm-©]

J>rf\ . /dB\

en repr^entant par A j la quantité entre les crochets , difFërentiée par rapport à ^ , et par B celle que Toa diffërentie par rapport à r* OtjU n'étant fonction que de p et de 9 , ou aura :

(f)=0'■^(f)"d^)=0•Hf)'

Substituant ces valeurs dans ^ et £ ^ on les trouve identiquement nulles , quel que soit U.

Il s'ensuit donc que la variation i'ffU(rt'^s*)d3i:df, ne contient que les termes relatifs aux limites de l'intégrale. Ainsi l'intégrale sera la même pour deux surfaces dans lesquelles les limites i de cette intégrale seront les mêmes* Il ne résulte pas delà que dans i

tous les cas, la somme des élémens U(rt*^s*) eLtày, sera aussi la même pour les surfaces* Car cette somme cesse d'être représentée par riiitëgrale//'l/( r/ — s* ) dxdy, si la surface sur laquelle on la prend n'a pas une courbure uniforme , de manière que l'é— lëment de l'intégrale devienne nul , indéterminé y ou même infini en certains points. Cette observation est importante^ et empêche de tomber dans des paradoxes frappans. Ainsi ^ pour en donner un exemple très-général y concevons qu'une portion de surface fermée y telle qu'une calotte sphérique ^ soit circonscrite par une surface développable ; les limites de l'intégrale pour ces deux surfaces seront bien les mêmes 9 et pourtant il est clair que l'intégrale

JT^i ^^ — ^') d^^X appliquée à une portion quelconque d'une sur* face développable est nulle 9 puisqu'on a alors r< — 5* = o ; tandis qu'elle ne le sera pas pour la surface inscrite à la surface dévelop-

{>able. Mais examinons attentivemment la marche de l'intégrale sur es deux surfaces. Sur la surface inscrite ^ par une direction quelconque y on arrive toujours d'une limite à Tautre tans discontinuité : au contraire, sur la surface développable, si l'on se dirige sur une génératrice de cette surface pour passer d'une limite à l'autre y on n'y arrive jamais. La seule manière de lier les deux limites entre elles , pour une direction quelconque de la surlace , serait de concevoir la surface terminée à riunni par une autre portion de surface qui lui serait aussi inscrite ; mais alors la double intégrale passe éviaemment par une indétermination complette, lorsqu'on rapplique aux points de cette seconde surface. Cette considération me parait d'autant plus exacte ^ que si l'on conçoit la surface développable circonscrite à une autre calotte^ ayant sa courbure dans le même sens que la première , l'intégrale appliquée à-la-fois à la surface développable et à cette seconde calotte sera la même que pour la première calotte. Car par la propriété connue des surfaces développables , les normales qui terminent la première surface inscrite , seront parallèles à celles qui terminent la seconde^ les limites des intégrales pour ces deux calottes seront les mêmes ^ et comme je suppose leur courbure uniforme . les valeurs de ces intégrales seront rigoureusement les mêmes ; d'ailleurs l'intégrale sera nulle pour tonte la portion de surface développable qui sépare les deux calottes.

Si l'on fait Z/= ( 1 -{- ;?> + 9* }**> , la double intégrde

JTU{rt^^)dxdr, ^^y^^^^J/j^^f^^^'^ ellereppésente la somme des élémens d'une surface divisés par le produit

( «77 ) des rayons de courbure corrcspondans (*)• Par notre thëoréme^ on

peut la remplacer par la double intégrale // -— — — - , qui

• /V* àXâY

devient alors // — . — - « Celle dernière exprime Taire

JJ \/i — x-—r-

d'une sphère y dont réquation serait :

Si l'on observe maintenant qu'à chaque élément pris sur la surface générale , correspond un élément de cette sphère , dont les coordonnées sont les cosinus des angles formés par la normale à la première surface avec les axes des coordonnées 9 on est conduit à la construction suivante.

Concevons une sphère d'un rayon égal à l'unité ^ puis faisons mouvoir le rayon de cette sphère , de manière qu'il soit successivement parallèle à toutes les normales de la portion de surface sur laquelle on veut prendre l'intégrale ^ l'aire sphérique décrite par ^extrémité de ce rayon mobile , sera la valeur de l'intégrale cher^ chée (♦*).

Cette construction qui est fort simple , montre d'une manière très«satisfaisante la marche de Tintégrale sur la surfiice. En effet , ai dans toute l'étendue de surface que l'on considère , la courbure Tarie uniformément , en sorte que U normale ne passe jamais deux fois par la même direction y le rayon mobile ne rebroussera donc jamais dans sa marche, et alors la valeur de l'intégrale sera précisément l'aire sphérique comprise entre le deux courbes que tracerait le rayon mobile , si dans son mouvement il n'était parallèle

(*} M. Poitton apnt xeconnu qae la yariatioD de cette ÎDt^rale ëuit nulle , m'engagea h en calculer la yaleur pour un ellipuoïde entier; je la trouvai égale h 4 fr« Depuu je me suis occupé d'en trouter la Taleur générale , et j^ai été conduit alors aux' théorèmes que f expoae ici.

(**) M. Binet démontre ce tbéorène de M. Rodriauei , par une considération géométrique fort simple. Déngnant par ds et ds' , les élémens des deux lignes de courbure principales , qui se coupent au même point k angle droit ( ibéoxtee de M. Monse ) ; reli&ncnt de la surface peut être représenté par dsds ,

prd9 da ds ds

et la double int^^e •^JJ'^''-jr' ^» ^ fractions —et — sont

les âémens de deux cercles décrits d'un rayon égal & Tnnité et perpendicolairea entre eux; leur produit est donc l'élément de la sphère du même rajon , et par cooféqucnt rini^rale représente l'air d'une poruon de ceue sphère. ( Extrait Ju Bulletin di la société philomatique ^ pag. i6 , année i8i5. }

qu'aux normales ^aî passent par les deux courbes limites sur la surfiice. Dans ce cas y il est bien vrai de dire que si pour deux surfaces , les limites de l'intégrale sont les mêmes , l'intégrale sera aussi la méme^ parce qu'alors la courbure des deux surfaces est uniforme. Si, au contraire, la courbure de l'une de ces deux surfaces éprouve des changemens brusques , si deux normales différentes peuvent avoir la même direction absolue • alors le rajon mobile rebroussant chemin , aura décrit une aire spnérique plus grande €|ne celle comprise entre les deux courbes sphériques , dont ]e viens de parler plus haut , la valeur de l'intégrale ne sera donc pas la même pour les deux surfaces. Si l'une de ces deux surfaces Cbt développable, le ra^ou mobile conservera la même position pour tous les points de la même génératrice. Cette position ne changera qu'en passant d'une génératrice à celle qui lui est consécutive ; de sorte que le rayon mobile décrira simplement une courbe , au lieu de décrire une portion de sphère y si petite qu'elle soit. La valeur de l'intégrale sera donc nulle.

Tout ceci s'accorde parfaitement avec ce que nous avons dit , §• XIII.

Veut-on avoir la valeur de l'intégrale pour toute une surface fermée et d'une courbure uniforme j comme un ellipsoïde y par exemple } il est évident qu'alors le rayon mobile décrit la sphère entière , dont le rayon est l'unité. On a donc dans ce cas :

Si la surface , semblable à celle d'un anneau j est doublement convexe et fermée, le rayon mobile décrit deux fois la sphère :

ri — 8^)dxdy

S'il s'agit d'une surface de révolution , et qu'on veuille prendre l'intégrale entre deux plans perpendiculaires a l'axe. Il est clair que l'aire sphérique qui en est la valeur j sera une zone d'une hauteur égale à la duférencc des cosinus des angles que font avec l'axe de révolution, les normales menées à la surface aux deux sections limites : soient a et a' ces deux cosinus , on aura :

(rt*^s*)dxdr

fJi

Consîdërons séparément les surfaces du second degré , les intégrales étant prises dans toute leur étendue. Pour Pellipsoïde entier la valeur de l'intégrale sera 4 sr j pour les deux paraboloi'des, l'intégrale n'est que 2 ir , car il est évident que si le plan tangent à ces surfaces peut prendre toutes les directions y il ne prend jamaia deux fois la même ; l'angle de la normale avec l'axe ne varie que de 100®^ et le rayon mobile ne décrit donc que la moitié de la sphère.

Pour les deux hjperboloïdes « on est ramené à évaluer une aire sphérique ^ dont la quadrature dépend de la rectification des sections coniques. Mais s'ils sont de révolution , l'intégrale s'obtient aisément par ce que nous avons démontré ; en général , pour les surfaces de révolution.

Considérons l'hyperboloïde à une nappe , et cherchons l'intégrale seulement pour la moitié de cette surface, l'hyperboloïde étant censé coupé par le plan perdiculaire à l'axe passant par le centre. Les deux plans limites sont ici, 1*. ce plan y qui partage l'hyperboloïde en deux parties égales et symétriques ; a^. un plan parallèle à celui*là y mais à l'infini y et qui coupe suivant une même courbe, l'hyperboloïde et le cône asymptote, ooit e l'excentricité, on

aura pour les valeurs des deux cosinus a et a^, a=:;=o, â^ = — r.

La valeur de l'intégrale sera donc et pour l'byperbo-

loïde entier.

Pour l'hyperboloïde de révolution à deux nappes , on a :

la forme de la surface montre qu'au lieu de la formule 2v(a^ — a)^ c'est la formule 2 ir (a — af ) qu'il faut employer 'y on aura ainsi pour le demi-hyperboloïde :

pour l'hyperboloïde entier.

J'ai vérifié tous ces divers résultats relatifs aux surfaces du second degré y par l'intégration directe de la formule

'*( ri — s*) dxrfy

ytddition aux recherches précédentes ; par M. RoDRiGUES.

Le théorème de calcal intégral j auquel nous ont conduite les formules relatives aux lignes de courbure, peut être démontré directement de la manière suirante.

L'intégrale double ffU^rt-^s^) dxdjr , peut s'écrire ainsi :

Sous cette forme on voit sur-le-champ qu'elle équivaut à l'intégrale double JfUdpdq , relative aux variables p y ?; et que si U^ n'est fonction que àt p tX q ^ cette intégrale ne dépend que de ses limites.

Maintenant on peut changer les variables p ^ q^en d'autres oui en soient des fonctions données* Ainsi on peut leur substituer les variables X, Y, qui sont les cosinus des angles que la normale fait avec les axes des x et des j^.

On aura dans ce cas :

on troave ainsi | comme nous y sommes déjà parvenus :

rTTT, ,N ^ j rr VàXdY

ffVi,n-s^)d.dr^ff--^—^^.

Dépareilles considérations s'appliquent aux intégrales doubles , composées d'une manière analogue' en différences partielles d'ordres supérieurs. Si nous posons , comme M. Monge ,

dr = udx + vidj , ds = vAdx + wdjr f dt = wdx + pdx 9 nous trouverons que l'intégrale double :

/Trrr . ^ ^ /Y* VdX' dY'

JTu{usv^^^)dxdr^J J^^^,^^,^^^ .

Les variables X', P étant données par ces éqoationa: — r ^r, — s

X'er.

et que si 17 ne contient que r^ Sj l'intégrale j7'l/(ww — m*j dxdy ne Tarie que par ses limites : ce que Ton peut aussi Térifier par le calcul des variaitions.

D'ailleurs , tous ces dirers théorèmes , ainsi que les vérifications' aîi'on en pourrait faire par le calcul des variations ^ sont renfermés dans l'analyse suivante.

Soient P, Q, deux fonctions quelconques des variables ss ^y, faisons :

dP = Rdx + Sdy , dQ=S'dx+Tdx.

S et S^ seront égaux y si Pdx -f- Qdjr est une différentielle exacte* Cela posé , il est évident que l'intégrale /?^t/( TIT— SS' ) dxdXf revient à celle-ci iffUdPdQ -y et que si V ne contient que JP et Q^ cette intégrale ne varie que par ses limites»

II suffit pour vérifier la seconde partie de ce théorème , d'attribuer à une des deux fonctions JP. Q , à P par exemple , une variation arbitraire f'P , et de voir la variation de l'intégrale double ffU{RT — SS'\dxdyy ne contient que des termes relatifs au& limites. Or il est nicile de voir par la méthode des variations, que

la partie de la variation i'ff^i ^^ — ^^^ ) ^^4^> contenue sous le double signe intégral , se réduit à r

Or, si l'on développe cette expression y on la trouve iden^quement nulle 9 en d)senrant que :

-dr-^^\dp'^-^dQ^)+^dr>

dT âS' dx~ dy' Prenons de nouvelles variables u > < > <[ai soient des fonctioaa

( »8a ) 'donnée» itP,Q, on anra t

si Ton fait :

ou trouve ce résultat très-général:

r r^RT-^SS'^dx dy __^ à^ p dudt JJ (i4.P» + Q»)f ''JJ x/i^u--i-^

Si Pdx + Qdy est une différentielle exacte , soit Z l'intégrale de cette différentielle \ alors l'intégrale ci-dessus, devient ;.

'^{RT^SS')dxdr

Sf\

elle exprime la somme des élémens de la surface , dont l'ordonnée est Z f divisés par le produit des deux rayons de courbure } u, t sont les cosinus des angles formés par la normale à cette surface , avec les axes des x et des y.

Par conséquent toutes les intégrales doubles , telles que : ^ r^niri — s*)dxdy pp'uw — m'^dxdY p/^[mv — w^)dxdy

expriment au fond la même chose , et se ramènent tontes à la quadrature de la sphère.

Si l'on fait l/= — , 11 = P , /s=: O on trouve:

Vi — />» — y-

p p(RT—SS')dxdy y y> dudt

JJ V/ 1 — />» — ()« ~JJ v/i— tt*— X» '

ce qui fournit une nouvelle classe d'intégrales doubles qui se ramènent à la quadrature de la sphère.

Les c.oml>inaisons de différences partielles, telle que RT — SS*^ jouissent de propriétés très-importantes dans le calcul des équations aux différences partielles. Il est singulier, qu'on n'ait pas encore aperçu l'analogie qu'elles ont avec les formules par lesquelles on transforme fes intégrales doubles , et les théorèmes qu'on peut ea Réduire relativement à la courbure des surfaces.

Îi83)

Problème sur le pendule simple ; par M. Deflehs f licencié ès-sciences.

Supposons un pendule simple à Tëtat de repos ) donnons an point de suspension , assujëti d'ailleurs à se mouvoir sur une ligne horisontaie, une impulsion qui lui communique suivant cette droite une vitesse connue, et proposons-nous de dfé terminer le mouvement que prendra le pendule.

Il est évident que ce mouvement aura lieu dans le plan vertical qui comprend la direction de la vitesse initiale , et qu'il revient à celui du système de deux points dont Pun , astreint à rester sur une ligne horisontale , n'est d'ailleurs soumis à aucune force accélératrice, et dont l'autre, animé par la pesanteur^ doit en outre rester à une distance constante du premier. Pour le déterminer, rapportons ces points à deux axes rectangulaires des x et des y ) le pre— mier étant pris sur la droite même que décrit le point de suspension, le second , dirigé dans le seps de la pesanteur , coïncidera avec la direction initiale du pendule. Cela posé y soient x et a:% jr' les coordonnées de ces points au bout du tems / : conformément à l'énoncé du principe de d'Alembert , cherchons les vitesses perdues par chaque point , en vertu de la liaison du système. Elles sont , pour le premier ^

— , pourlesecond, ^ > ëài f-,

et le principe des vitesses virtuelles donne pour équation d'équilibre:

de plus y la distance des points proposés étant constante et égale à la longueur du pendule que je représente par /, on a :

ce qui donne :

{x^x') (fx'^i^x')+yi'y=:o.

Éliminant entre celte équation et celle d'équilibre l'une quelconque des yariations ^x , fx'y i^f^ l'équation se parugera dans les deux

snivantes :

qui jointes à (i) completteront la solution du problème , puisque ces trois équations comprennent les Quatre quantités x, x'/jr' et /, et qu'on connaît d^ailleurs la trajectoire du premier point.

A joutaat (a) et (5) , on a : — f- -^— = o , équation qui a^i^

tc^e et donae x 4- ^' == <^^ + c'i i^^s à Torigine :

dx' êx

< = o, a' = o, ar = o, -5^=0, ";^ = «> *

a représentant la vitesse imprimée au point de suspension : l'équation finie devient donc x -^ 2' = a/. Pour obtenir une nouvelle intégrale, retranchons (3) de (2) , nous aurons :

équation que nous ramènerons à ne contenir que deux variables j^ en cbangeant de coordonnées et déterminant le second des points proposés j par Tangle 4 que la direction du pendule fait avec la verticale menée par le point de suspension y et l'abscisse x de ce point. £n effet, cette transformation donne :

jr^ =zlcos f a: — a/ = / sin é ,

et change Téquation précédente en

/cos0(/cos«^'l— /sinlA*)+ ^'sîn^ (gàl* + lcos$iH^+lsinêd*é)=LO,

ou , divisant tout par / , développant et réduisant :

l{i + sin'O ^^ + / sin cosédé^ + 2^sin $di^=: 01 («)

posant dê=ê^dt, d'où d'é^zdê'di^ — , il vient:

C / (i + sin'é ) yd$f + / sin tf cos é.y*d0

\ + 2ér«né^« = ^^.{/(i + sin»0*'* — 4^cofié}=a*

Cette dernière équation a pour intégrale :

/(i + 8in»é)é'»— 4gco«f = c,

on remettant pour I' sa valeur, /(i+sm»é){fé*— 4 éfcos^ A* =ccrf/«. Déterminons la constante c : pour cela remarquons que des équa« tions :

ar + a/csû/, et x^^x^ = lsiiié ,

résultent les suivantes :

dx^ d$

aâ:=a<-f*/sîn0, aâ/=:€zl— /sine, 2-^=a— /co8é--r*;

a— 1> vos 9 — 7— • I longine é == o, --7- == —

dû A

qui donnent à l'origine é s= o, --7- == — - J d'où l'on tire ,

Nous avons donc pour remplacer les équation^

(i) ^ (a) et (3; , le système suivant 2

jr'sr/cos^, (4) 2a:' = û/— /sin^, (5)

2ar = ii«+/sin^, (6) ^(^+sin»OA'=(a»— 4É^/-f-4^/cosé)A». (7)

En éliminant t entre les équations (5) et (7} , on a , pour l'équation difïérentieile de la trajectoire du point inférieur ^ rapportée aux coordonnées af t\i y

j / aZj/T-ï-sïn^ .^ - ...

Ka*— 4^+4^/co80

Son intégration dépend de la même quadrature que celle de l'équation (7} , mais on peut sans le secours de ces intégrales discuter plusieurs circonstances du mouvement , en suivant Ta marche des quantités é , a:' et Xj et cherchant y k cet effet, leurs maximums

et minimums» Pour cela, l'expression de -^ égalée à zéro, donne :

,. * a* — 4 /?^ a*— .4^/4- 4^/cos«:=o^ d'où cos0r=: — 7° >

Les valeurs de é , tirées de cette éqnation sont donc impossiblet pour a* — 4^/ > 4 g!/ on a* >• Sgl } il n'en est pas de même pour a*<^6gl'y et en désignant la plus petite d'entre elles pare, it

vient e = )r, > — , = — , < — ^ suivant qu'on a :

«•*:8ff/, >4gl, z=Ael, <A8t' daninons si ces Yaleors correspondent en effet à un maximum.

( i86 ) Pour celai faisons dans l'ëquation («) -^ nul; elle donnera : d*ê ^gsinê

Cette expression I nulle pour la première valeur de 0| est essentiellement négative pour les suivantes y qui sont par conséquent des

maximums» De plus, la valeur — 0, qui satisfait aussi à --j- = o ,

la rendant positive , répond à un minimum. Cette dernière circonstance fait voir que pour a^ << 8^/, ô croit d'abord de zéro à ht valeur maximum 0, puis diminue ; devient nul et décroît jusqu'à la valeur minimum — - , après quoi il recommence à croître^ repasse par zéro et éprouve de nouveau les mêmes variations.

Nous examinerons plus loin la valeur = jr , qui donne ^— - = o ;

considérons maintenant les quantités x* et x» Les équations (5) et (6) donnent:

ndx^ d$ 2dx . , de

— r— = a — icos^— r-, et — ; — = a + <cos^ -T— , dt di ' dt ^ dt

ou en vertu de (7) ,

itdaf a y/i -I- sin' J — cos é V^a* — l^gl + ^gl ces ^

^' ~ V/i + sm»«

^dx flV/i -f-sin»ï + cos ^\/a* — 4é^+ /jgl cosé ^

^' ~ V/i + sin»^

Il résulte de ces deux expressions , en les égalant à zéro , Péqua« tion:

a* ( 1 + sin* ù ) cos* « (a» — Ag^ + 4g^c^^^) i ou 2^/ cos*^ (cos^— i) + a*( .cos"tf — 1 ) = o ,

qui donne :

cos tf = 1 , et 2gl cos** -f- a" cos * + a* = o j d'où

Cosé=--^+l/-^-.^=-i Jil-,3:l/r-^..iY-.^

( »87 ) Dans la dernière exptes8lon> le sigoe de la quantité entre les parenlthèses dépend de celui de —^ — i ^ donc —- > i , donne cos é

a* négatif et plus grand que i , tandis que 7— j = 1 ou < 1 entraine

cos imaginaire } ainsi dans tous les cas ; la valeur correspondante de B est impossible. Il reste donc à examiner la valeur cos := 1 ;

d'où sin = o , qui satisfait a —• = o , mais non a -^ = o ;

or on a {

expression que la supposition sin s= o anéantit , puisque Téquation («) donne alors •^ = o. Formons les équations , d'où dé-

pendent -r^ et —3- : en négligeant les termes affectés de sin ê ,

•et de --r— ; et posant cos = 1 9 elles se réduisent à :

en vertu de la première. Ce dernier résultat ne pouvant être annulé par la valeur cos == i ^ celle-ci ne correspond point à un maxi» mum 'j x' tix croissent donc indéfiniment.

Cette discussion nous a présenté trois cas distincts y correspond dant aux trois circonstances a* > 8g/, = 8g^Z, < 8^/. Dans le premier B croit sans cesse | et si dans les expressions :

dx , dB dx" - dé dy , . dé

^^:=a+lcosé—, 2— =aWcos«-, -^^-l^né-, (8)

qui donnent les vitesses des points proposés , on fait é = 27r , d'où

dé a co8«=:i, siné=:0;«t — = — , il vient :

dx dx' dy

"dT ^' "^ ^' "ST

ÎM pendale se troara donc alors absolument dans les mêmes or-* constances qu'à Torigine } ainsi son mouyement est périodique. Lorsque à*=:Sgl, ê croit jusqu'à la valeur s=: v ^ qui donne z dé dx , dx' . dy'

le pendule j alors vertical, est dirigé en sens contraire de la pesan— teur ) et ws deux extrémités sont animées de vitesses horisontales égales et dirigées dans le même sens : mais on verra plus loin qnll n'arrive à cette position qu'après un tems infini.

Enfin , dans le troisième cas , croissant d'abord avec î , il faut prendre les formules 0) jusqu'à é == e : passé cette valeur^ S restant positif et diminuant y --7— devient négatif, ce qui donne !• système :

dx , dé dx' , d% dy ^, dé , ^

qu'il faut employer de I =e à és=zo : cette dernière valeur donne : dx dx' dr'

ainsi le pendule ne diffère de ce qu'il était à l'origine , Qu'en ce que l'impulsion est communiquée au point inférieur. Pour le suivre dans la région négative • il faut employer successivement les systèmes (8) et (9) , en*y changeant tf en — - 1 et </é en — Js. Le dernier donnera , après ce cnaugement | et pour I = o . dx dx' dy

— - = a, -^ = Oy — - = 0; le pendule se trouvant alon

exactement comme à l'origine | son mouvement sera encore pério<dique.

Pour compléter la solution du problême, il reste à intégrer l'équation fy) , ce qui ne peut se faire que par approumation • puisqu'elle contient on radical du cinquième degré.

Cette équation résolue par rapport à dt donne :

/ ^/r+lîôTT dé

Ka» — 4f^+4g/cos#

Agi

En y faisant cos I = z et -- — 2--— :^ m • il vient ;

SttMosons d'abord a» > 8^, fl en r&ulte w» < i , ce qui pennet de développer suivant les puissances ascendantes de g la quantité '

(i + mx) *. On a par la formule du binôme :

Ces développe mens multipliés entre eux , donnent pour celui de - 9 la série t

dont la loi est évidente , et que nous représenterons par désignant aussi le coefEcient — ^ par « . il vient •

OU mettant pour les intégrales leurs valeurs connues : — etc.

à l'origine t^o, l=:o^ « = cosl^i; ainsi :

désignant par K y Z^j Zj». ,* les séries qui entrent comme coefficiens dans l'expression de t^ et mettant poar e' sa valeur, il vieoc :

/t= A"* arc (co8 = ^) — tt V^i— -8- jZo — Z,z + Z,z« J.

Les quantités ^09 ^i 1 ^a» • • • dépendent les unes des autres 1 «n efTet , on a généralement :

ainsi:

d'où

de plus Z, = /Il — 1: il suffit donc de former K et J^^^. Remettant pour Bxj B%.* . leurs valeurs , on a :

rr ^# f ï'Sl ^ l.a.4 ^ ï

et Z.=^'.m|,~^-.5^^4...}

n est facile de s'assurer que les coefficicns des diverses puissances de 771 forment une suite convergente ^ il en sera donc de même de ces séries | puisque m ^ i .

Remettant pour « et « leurs valeurs , il vient :

t — /^ — « , sin^ I Z.— Z.cosI + Z,cos»é... L

(»9') Celle ëqnalîon Jointe a celles (4). (5), (6) el («) completto îa solution du problème dans le cas qui nous occupe. En y faisant •=*o»=a«, = 4 »)•••,<>•' trouve :

el con8laminenty = Z, -^ = o, •^= o et ^ =a. Ain», comme l'a fait voir la discussion générale , le mouvement est pério-

k fC l

dique^de plus, le teras d'une période est — '' ^ . Enfin, il est

facile de s'assurer qu'en désignant par /„y., or'.. . .; u^y\ , x'.... les valeurs de /,^0 a:'. . ., correspondantes à = 0, et s=aîr— «!• on a J '

d'où résulte que la trajectoire décrite durant «ne période, par l'extrémité du pendule f est 6;ymétrique par rapport a la verticale, dont

l'abicisse est direction du pendule au milieu de la période , et

Que les circonstances du mouvement se retrouvent les mêmes pour aeuz positions sjrniétriques par rapport à cette verticale.

La supposition de a^z=.^gl donne m =1 , et fait changer d^ forme l'expression de dt ; en effet , on a alors :

yj~z-dz \^i^—z-ds

\rrÇzVi^z-~ {i + z)VT^^z

mettant pour L/^ !•..:.«« son développement déjà employé, il vient :

( «9^ ) Confonnémênt à une méthode connue , due à Lagrange , nous înlégrcrons la fonction :

th 1 dz

nous développerons «on intégrale par rapport à a ^ et nous remplacerons les puissances de cette iett re par l es coefficiens des puissances correspondantes de z. Posant |/i — x = « , la fraction proposée devient :

— gJi/ 1 du

(i — a-t- aa»J (a — u*) "" i — a* ( i +»'«•) (i— a^"*/

en faisant = #' et ««^ =- — j mais

pnisqu'en général i

du 1 S *' » !!!— \,

s— V^— «» arc(UDg= u V— ••) = i-y^l/iZ -=.>»

(i — tang j: V^— i)

Remettant pour «' et ii" leurs valeurs , il vient pour l'intégrale de la fraction proposée :

la constante est nulle : car on doit avoir à l'origine ^=o et «=t} ou u = o. 11 resterait a développer ce résultat suivant les puissances de a; mais vu l'indépendance de m et de â , on peut ikdnire de cette expression même des valeurs particulières de l'intégrale. Faisant 2 = — I ^ ce ^ui correspond à # = * , et donne « = y%9 le terme affecté de logarithmes devient infini; ainsi la valeur çonespiuidante de i est infinie comme nous l'avions annoncé. Noos

ne nous arrilerons pas davantage sur ce cas qui ne présente d^aîl^ leurs que cette seule particularité.

VenonS' enfin à celui de «•< Sgiy qui donne to>. i , ce qui rend divergentes les séries employées dans la première solution.

Faisons dans l'expression primitive de <^r , — — 2- = — := m'^

elle devient :

changeant <dans le développement de (i -}- '''^) ^y ^f*^ «n — - «* ^ on en tire :

Multipliant ce développement par celui de Ti -— — js* J déjà employé ^ on a :

I +«• (-rf'. — ^a ) +«4 ( /i'. — ^'^. — ><4) + «•( ^'s — ^'.^. - A\Ai, — ^6 ) +• ••*

•érie que nons représenterons par i +^'.** + ^'4** +• • ., ce qui donne:

Posant m' 4- X = »* pour rendre ces intégrales rationnelles , et intégrant par les méthodes connues , il vient :

Remettons pour u sa valeur, la série que renferme t, deviendra*

expression qui a pour terme général r

JV représentant le coefficient connu da binôme. Développons {h) suivant les puissances de x par le théorème de Mac-Laarin. Pour cela I faisons # =:= o daus cette fonction et ses coeflficiens difTé— rentiels ^ ce qui donnera , en faisant abstraction du facteur commun B'nf 1^5 expressions :

«'•/ — ; ...± rr— r»

ta/i+x 1 2« — 1 2» — aAî + iJ

C n n n — i ^ iV.n — ^ I

(an+A » an— I a/i — aAi+iJ

fn.n— i n n — i.n^-ft 1

que nous représenterons respectivement par m'"^„, m'*— *«?'., fii'»'-*^^^,. «y ce qui donne pour le développement de (i) »

On en déduit celui de (a) , en faisant successivement Il = a y zs 4 9 = 6. • «y et on a la série :

Examinons la loi des quantités Sny Snj^%***S'n^ «S^a4«a-« «^'«f «S^n4.»*-«; et pour cela ^ considérons-les comme provenant de la fonction

an+i I 2n — 1 an— aAr-f-x

et de ses coefHciena différentiels 9 en jr faisant x^zi. Il est facile de s^assurer qu'on a, en désignant par Sn la valeur générale de cette fonction :

a^«x* =/*"• ( X •— 1 ydx *^ an4-i "^ an«f-i an+i

«n oBservani qu^on a ëgalement a j„«,,x*=yx"* (or— i )"-« d!r. On a donc y en général :

" an + i a/i+i *''-'' ^* -"l^^ï+r ""^HhT "''"•" '

an + i ^' *^ 2/I + I ^ — '•

n en résulte entre les valeurs correspondantes à x = i » Ict relations : ^

Celte dernière n'a lieu que jusqu'à A^= /i — i , car pour * = n , la supposition de x = i ner ferait* plus disparaître de l'expressio» de s^ny le tenne en x— t., dont ^exposant serait nul. Changeant n en n— i , il vient :

Je même 5*;. = '^'"•^'^'^ x*

(2n+i)(.n-0 "'^•^ et celte dernière n'a^Ueu, d'après la remarque précédente , que jus-.^ qu'à A = n — a. Le coefficient ' \^'^~^ éUiit une frac-

tion , il eu résulte que les quantités S^ , ^4» . .S'^ y ^'4. . . forment des suites décroissantes. Il serait ^ en outre^ facile de conclure dea expressions cî-dessus , que «S\ est positif on négatif suivant que A. est pair ou impair.

On vient de voir que les séries qui entrent dans- le développement de (a) sont convergentes^ £1 en est de même de ce développement. En effet y trois tennes consécutif ont pouc expression , en;, supposant k pair:

et on peut s'assurer que les coefficient de z^ forment une suite plai^ «onvergenle que les.quanjdiés.;,.

qai d'après les formules ci-dessus, se changent en

çxpressîoTis qui vont en décroissant. Il rësalte donc de cette discussîoii que les série» employées sont convergentes , et qu on peut représenter le développement de («) par Z'.— Z\z + Z\%^ — . . • Il vient ainsi :

m l'origine /= o , z = i » par conséquent :

quantité nécessairement finie , puisqtie la série qui l'wprime est convergente et a ses signes alternatifs. Laissant c', pour abréger, «t remetUnt au lieu de * sa valeur cos é , il vient, pour remplacer l'équation (7) , dans le cas qui nous occupe ;

f=c' ' ^ V^a-— /|g/ +4g/cos^| Z'^— Z',cosl+Z',cos'#— I •

Cette équation supposant — po«^^> »« ^«^^ **^« employée , d»a^ près ce qu'a fait connaître la discussion générale , que jusqu'à la valeur *=0, donnée par réquation a'-.4^/+4gf cos#==o, et pour laquelle / = c'. Après avoir acquis cette valeur, é diminue: il feut donc changer la signe du radical , et employer la formule :

tz=zc'+- ' \/^a*—/^gl+4glcosù{Z\— Z\cosé+Z\cos*ê... } 9

jusqu'à 1=0 , qui donne /sssac', pour l'intervalle de tems écoulé entre deux passages consécutifs par la verticale. Enfin « devenant négatif, on devra changer dans les deux formules « en — , et par suite rfd en — rfl , ce qui conduit aux mêmes équations , mais en ordre inverse , et donne encore l'intervalle de tems a c^ jusqu'au retour à la verticale, après lequel le mouvement recommence comme à l'origine. Le tems d'une période est 7^= 4 c', et le point de

sospensioii âécrit pendant chacune d'elles nn espace Xtssi^ae^^ Se plus , les branches de courbe décrites de tf r= o à = e et de 4 SB S à és=0) sont respectivement semblables à celles aui lo sont delr= — e k à = o y et de Bz=:o k 0z=: — 0^ mais elles se trouvent placées sj^métriquement à IVgard de la verticale , dont

Pabscisse est , direction da pendule an milieu de la période ;

ainsi la trajectoire elle-même est symétrique par rapport à cette Teriicale. Enfin, pour des positions du pendule, correspondantes, à des points sentblablenient placés sur les branches de trajectoire

dx dx' dy' semblables , les valeurs de -— ^ -^ et —- se retrouvent les

mêmes, et celles de -— sont égales ^ mais de signes contraires.

Des tangentes cmop projections des courtes à double courbure, Eoramen des cas particuliers où, la méthode graphique, d'après laquelle on mène ces tangentes, est en défaut; par M. Hachette.

La tangente en un point d'une courbe oui résulte de la pénétr^ion de deux surfaces , est évidemment la droite d'intersection de deus plans , dont chacun passe par le point de la courbe , el touche l'une des dcui surfaces; les projections de celte droite sont les tangentes des projections de la courbe d'intersection des deux surfaces. La détermination de ces tangentes dépend donc de l'intersection de deux plans. Tcmtes les fois que cette intersection sera perpendiculaire au plan de projection, sa projection se confondra avec le point de la courbe pour lequel on demande la tangente , et la direction de cetle Ungente ne sera pas déterminée : en voici deux exemples tirés des épures de coupe des pierres , relatives à deux voûtes , l'une qu'on nomme Porte drçUe y rachetant un berceau cxUndrique, l'autre Porte biaise.en tour* ondcy rachetant un berceau spheriqueA^aais la première, deux cylindres droits, horisonUuz, dont 1^ axes fig. », pl.i ) jiB, AC se coupent à angle droitau pointa, et qui ont pour basas les cercles des rayons CD , BEj se pénètrent , et la projection de la courbe d'intersection sur le plan honsontal des axes , est composée de deux branches égales LMN^ VM'N\ l,es quatre points Z., N, L\ N de cetle courbe , situés dans le plaiv des axes , «ont ceux jour lesquels la droite d'intersection des plans.

tangens anx deux cylindres , est perpendiculaire an plan^ qui coO'tient ces poinls. Dans l'épure relative à la porte biaise ^ rachetant un berceau sphérique ^ un cylindre droit horisontal pénètre une sphère y dont le centre O ( fîg. 3 ) est sur le plan horisontal mené par Taxe AC du cylindre; la projection de la courbe d'intersection sur ce plan, est composée de ceux branches égales Z^A/iV, Z/'Af TV'; la mélbode ordinaire des tangentes est encore en défaut pour les quatre points L, N, L' j Ti' de cette courbe, situés dans le plan Ëorisontal de projection.

L'élude de la coupe des pierres ayant pour objet d'exercer les élèves de l'Ecole Polytechnique au dessin du trait et aux applications des théories mathématiques , je fais voir comment on prolonge in^ définiment les lignes LMN y L'M'N' (iîg. 2 et 3 ) , dont le tracé graphique ne donne que des portions détachées ^ et par quel moyeu on construit les droites qui touchent ces lignes y aux points de la courbe d'intersection des deux surfaces , tels que LjN, L'y N*.

Prenant ( fîg. a } les axes AB y AC des surfaces cylindriones pour axes des cooraonnées y les équations de ces surfaces se réduisent à celles de leurs bases qu'on peut supposer dans les plans des 9CZ et des yz. Les bases étant des cercles , les équations de ces cercles seront , en nommant r tt R leurs rayons : jc* + «* = r* ^ y» 4. jp» = R*.

Eliminant z* entre ces équations , on a pour la projection de la ligne d'intersection des deux cylindres, 7^ — a:*=il'— f; équation d'une hyperbole équilatère y dont le paramètre constant est A' — r*. Ainsi deux autres cylindres concentriques aux premiers , et des rayons R'y r* se couperont suivant une courbe, dont la projection horisontale ne chan|^era pas y pourvu qu'on ait i

'Ayant pris pour r^ une droite quelconque CF y l'arête du premier cylindre , passant par le point F, devra couper le second cylindre du rayon JR', en un point dont la projection horisontale est M* Menant donc par ce point M l'horisontale MO, et par le point C^ la verticale OP* égale à €Fy la droite BF' sera le rayon R' du se* cond cylindre qui coupera le premier du rayon CFzzz r', suivant une courbe dont la projection horisontale sera comme pour les cylindres (les rayons A et r, composée des branches LMN y L'M'N'y pro« longées jusqu'aux points lyfiyV, n\

Considérant les points L ^ N y L'y TV' comme les projections de

Î)oints appartenant aux cylindres des rayons R'y t*\ on déterminera es tangentes pour ces points par la méthode ordinaire y c'est-à-dire ]| par l'intersection des plans Ungens à ces deux cylindres^

Passons maintenatit à Veiamen de la courbe LMN y L'M'W ( fig. 5 ) y projection de l'intersection du cjlindre et de la sphère. Prenant pour orif^ine des coordonnés le centre O de la sphère , et pour axe des j<* une parallèle à l'axe AC du cylindre 3 on a pour les équations de ces deux surfaces :

x^ 4. j- + z»= R» ; (or — a )•+«• = r»

R est le rayon de la sphère ^ r le rayon du cylindre, et a la distance O^ de Paxc AC au centre O de la sphère.

Eliminant 2' entre ces deux équations , on a pour la protection de la courbe d'intersection sur le plan des xy y

J-* = il* — r* -f. a* — a aa: j

équation d'une parabole | dont le sommet S est sur Taxe des ^ , a

une dislance OS du centre O de la sphère • égale à ■>

Cette parabole ne cessera pas d'appartenir à la projection de la courbe d'intersection de sphères concentriques au point O, et do cvlindres ayant pour axe la droite AC ^ pourvu que la quantité /(> — r* soit constante. On satisfera à cette condition, en mettant le point dont M est la projection sur le plan horisontal des xx y à la même distance de ce plan , tant sur le nouveau cylindre que sur la nouvelle sphère correspondante*

Soit CF le rayon arbitraire r* du nouveau cylindre; mnt élevé la perpendiculaire MF' à la droite OM^ et prenant MF^ b= CF y Or* sera le rayon R' de la sphère qui coupera le cylindre suivant une ligne, dont la projection donnée LmN ^ L'm'N% se pro-' longera jusqu'aux points lynyVyTi'. Considérant la sphère du rayon R! et le cylindre du rayon r' , on détermine par la méthode ordinaire y les tangentes aux points L^ N y L'y N', On peut encore déterminer ces tangentes par une considération nouvelle y celle des plans normaux aux courbes à double courbure y comme on va le voir par l'article suivant de M. Binet.

Remarque sur la construction graphique des tangentes auac projections des courbes ; par M, J. Binet.

Lorsqu'une courbe résulte de l'intersection de deux surfaces , on lait ordinairement dépendre la détermination de la tangente en un de ses points , de celle des plans tangens à ces surfaces \ car l'intersection de ces plans est en effet la tangente demandée ( Geo-

métrîe dcsciîptîvc de M. Mongc , »•• 58 )• 11 est visible que cette tangente est perpendiculaire à- la-fois aux deux normales aux sorfeces proposées ^ et par conséquent elle est perpendiculaire à leur plan : ainsi le plan des deux normales aux surfaces est le plan normal à la courbe de leur intersection. Toutes les fois que ce plan sera d'une facile construction , le problème de déterminer la tangente à la courbe proposée ; se ramènera par cette considération à conduire une perpendiculaire à ce plan : c'est ce qui a lieu dans le tracé de plusieurs épures.

Si l'on veut dérerminer la tangente en un point de la courbe d'intersection de deux surfaces de révolution , dont les axes soient, ou ne soient pas dans le même plan ^ ajant pris un des plans de projection parallèle aux deux axes , et l'autre plan de projection perpendiculaire à l'un d'eux , la détermination des deux normales et de leur plan sera très-simple , et elle conduira immédiatement à celle de la tangente aux deux surfaces.

A ce cas général se rapporte la détermination de la courbe d'intersection des deux surfaces cylindriques , ée la porte droiie ra* chetant un berceau. Du point assigné sur la courbe , il suffit d'abaisser des perpendiculaires sur les axes des cylindres droits en question y et de joindre par une droite les points oii ces perpendiculaires rencontrent les axes \ cette droite est la trace du plan normal sur le plan horisontal des deux axes , et la perpendiculaire à cette trace, abaissée du point donné de la projection de la courbe, est la tangente. Celte construction s'applioue même aux points de la courbe ( tels que Ny fig. a )>qui résultent de Pintersection des génératrices comprises dans le plan horisontal des deux axes , points pour lesquels la construction ordinaire^ fondée sur l'intersection des traces des plans tangens j se refuse à faire connaître la direction de la courbe en projection horisontale*

Dans la porte biaise y en tour ronde y rachetant un berceau sphé'^ tique , la douelle de la porte est terminée d'une part au cône droit extérieur, et d*une autre part à la sphère intérieure. (Dans tout ceci, je m'occupe des épures qui font partie du cours de l'Ecole , et je suppose qu'on ait ces épures sous les yeux y ou seulement les fig. 2y 3^ pi. 1. ) On pourra mener à ces surfaces leurs normales^ au moyen desquelles on aura avec la plus grande facilité les tan-> gentes aux deux courbes qui comprennent la douelle de la porte*

La considération du plan normal présente encore quelqu'avantage dans la tracé de la tangente à la roulette sphérique y qui est la courbe que décrit un point invariablement lié à un cône arbitraire , qui roule sans glisser sur un cône fixe aussi quelconque > ces deux cônes ayant constamment le même sommet. On prouva

( aoï )

tis^ment que la courbe a pour plan normal lo plan conduit par la génératrice de contact des deux canes ^ et par le point pris sur la courbe. La roulette sphérique devient Pipicycîoîde sphérîque , lorsque les deux cônes aroitraires se changent en cônes droits. Alors prenant, comme Ta fait M.Hacheite (Correspondance^ tom. II 9 ou Supplément à la géométrie descriptive 9 pag. 88 ) , pour exécuter lea projections , le plan de la base du cône fixe , et lé plan conduit par son axe et par la génératrice de contact des cônes , cette dernière droite sera précisément l'une des traces du plan normal. Menant donc à cette trace y et par le point proposé une parallèle , en cherchant le point où elle perce le plan de la base du cône inva* riable , ce poinl-là devra encore appartenir à la seconde trace du plan normal. Deux perpendiculaires à ces traces menées par les

Srojections du point décrit sur la courbe , seront les projections e la tangente.

Solution graphique de V équation du troisième degré, xî — px — q = o ; par M, Mongs. ^

L'équation proposée résulte de l'élimination de y entre les deux équations :

l'une est la parabole cubique , dont les ordonnées^ sont les cubes des abscisses x ; l'autre représente une droite , dont la position est déterminée par les constantes p et 9. Ayant construit ces deux b'gnes, les abscisses x des points où elles se coupent, sont évi* demment les racines de l'équation proposée.

Soient ( fig. 4 , pi. i ) -^-X, AY les axes des x et des /j AMR la portion de parabole cubique qui correspond à une abscisse donnée, par exemple , 4 centimètres. L'ordonnée A (64) du point B est de 64 centimètres ; la branche de parabole cubique qui correspond à la même abscisse prise négativement est A'B', Ces deux branches ont un point d'inflexion en ^ , et ce point en est le centre. Une ligne droite telle que AfiV coupe la branche AB en un point M, et ne rencontre pas la branche A'B', Dans ce cas, l'équation proposée n'a qu'une racine, et cette racine est égale à l'abscisse du point 3/» Si la droite de l'équation jr = px + q y coupe les deux branches AB, A'B' en trois points U, M' ^ N' , les abscisses de ces points sont les trois racines réelles de. l'équation proposée.

Lorsque la droite proposée ne rencontrera aucune des deux portions AB , AB' de la parabole cubique y on prolongera la parabole

cubique au delà des points B et JS', en cherchant les absdaaes positives des points compris entre les ordonnées 1x64 et 2x64 r 2x64 et 3x647 3x64 et 4x64^ et ainsi de suite, jusqu'à la portion comprise entre les ordonnées i5x64et 16x64^ de cette manière y les portions de la parabole cubiqne correspondent a des parties égales de Taxe des j^, et si l'on suppose que ces parties soient ramenées sur la première j4 (64) 9 ^^ dernière portion Uf^ aura pour ordonnées des points extrêmes U et F, 65 x 66 et 64 X M y '^* abscisses de ces points étant 4 V^65 et 16. Par cette construction, on obtiendra dans un rectangle de 16 centimètres sur 64* la branche de parabole cubique^ dofit la dernière ordonnée positive est de 40^96 mètres.

Les ordonnées étant t

ix64~*«-, 2x64", 5x64--...., 64x64'^r les abscisses correspondantes , seront :

4, 4^^T, 4xi^..-., itf.

Il est évident que les dernières branches de la courbe différeront très -peu de la ugne droite: la dernière, par exemple, comprise entre les ordonnées 63 x 64 et 64 X 64 9 a pour abscisses correspoB-*

dantes de ces ordonnées ^ 16 et 4 V^^y dont la différence est à très-pen près d'un oiillimètre.

La droite représentée par l'éqnation jr — px = 7 , coupe Paxe des X , et ses parallèles menées par les points de division ox 64 , SX 64 »• • • 64x 64 de Taxe des x 7 ^^ portions de la droite com-

Srises entre ces parallèles sont toutes ^ales entre elles et de même irection } il sera donc facile y après avoir ramené chacune de ces portions entre Taxe des abscisses , et la parallèle à cet axe mené« par le point (64} de Taxe de y y de reconnaître les points d'interscc^ tion de la droite proposée et de la parabole cubique.

^ ^E' 4 9 pl* '7 tracée dans le cadre KLMN, représente sur une échelle d'un millimètre pour centimètre le dessin de la parabole, dont les ordonnées sont égales aux cubes des abscisses prises positivement et négativement , depuis o jusqu'à 16 centimètres. La planche de ce dessin (*) a été eravée avec le plus grand soin , par les artistes de la commission cr£gypte y les parallèles ont été^

(*) Ce dessin era\i , tm fend à put , dbest M«*. Y*. Gomcisr | quai dai Grandi-*

(ao5)

tracées avec la macliîne conté ^ et la courbe a éié dessinée par M. Girard. La distance des abscisses positive et négative y qui cor* respondent aux points extrêmes de cette courbe j mesurée sur Taxe des jr f est réellement de 81,9a mètres ; cette distance est ramenée sur la planche gravée, à une dimension 64 fois plus petite, 1,28 mètre.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

Solutions de ces deux questions,

1*. Construire par la règle et le compas V intersection et une droite , et d'une surface gauche du second degré ; 2**. cons^ iruire un cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan; par M. Dandxlin , élève.

Solution du pkkmxbk pAOBLiME.

Soit (fig. 1 , pi. a), acb une hjrperbole , et AD y AC ses asymptotes \ menons la corde hc j terminée en B et en C aux asymptotes. Soit de plus An le diamètre conjugué à la corde bc\ ce diamètre coupera en deux également la corde bc y et par con-^ séquent BC. Si donc par le point b nous menons bc' parallèle kABy et W parallèle à ACj que nous fassions la même chose pour le point c, nous construirons de cette manière un parallélogramme, dont la diagonale b'c' se confondra avec le diamètre An. Cela est évident.

Imaginons maintenant que a y b y c soient trois points d'une hyperbole , et que nous connaissions les directions A'B' et A^C des asymptotes de cette hyperbole ; nous pourrons aisément trou-« ver la vraie position des asjmptotes ; en effet, sur les points a y b construisons un parallélogramme aa'^bb^ y dont les côtés soient parallèles aux directions données des asymptotes ; d'après ce que nous venons de dire , la diagonale a^fb^l sera un diamètre, âur b ^ c construisons un autre parallélogramme bb'cc', dont les côtés soient aussi parallèles aux directions données , et la diagonale b'c' sera encore un diamètre. L*intersection A de ces deux diagonales est le centre de Thyperbole , et si l'on même AB parallèle à A*B' et AC i. A'C ^ on aura ses asymptotes.

Si maintenant on donnait une droite EFy et qu'on voulût construire les points d'intersection de cette droite" et de rbyperbole, cela serait fort aisé* Menons par le point a la corde hai parallèle à EF, et supposons que z soit un des points cherchés. Nous aurons par luse propriété x^onnue de Thyperbole ka.aiszEz.Fzj et il n'y

(ao4)

à plus pour trouver le point z qu'à diviser EF en deux parties f dont le produit soit donné. J'ai tracé la construction sur la figure. Nous avons donc le moyen de construire à l'aide de la règle et du compas , l'intersection d'une droite et d'une hyperbole , lorsque BOUS ne connaissons de celle-ci que trois points , et la direction des asymptotes. Or c'est à ce dernier problème que se réduira toujours la solution de celui concernant les surfaces gauches du second degré y qui sout ^ comme l'on sait j engendrées par une droite mobile , qui s'appuie sur trois autres droites fixes , qu'on nomme directrices. En etlfet , concevons par une des trois directrices données un plan parallèle à la droite donnée^ ce plan coupera la surface suivant aeux droites que nous appelerons A et A% et uont Tune sera la directrice elle-même. Aprésent par la droite donnée, menons un plan parallèle aux droites A et A'y il coupera la surface suivant une hyperbole , dont les asymptotes sont parallèles h A et A\ (Yoyex le Supplément de la Géométrie descriptive; par M.Hachette, pag. 75, art. 84). H sera facile de trouver trois points de cette hyper- Dole y c'est-à-dire , trois points d'intersection de son plan et de la surface gauche , et alors le problème sera résolu , puisqu'il n'y aura plus qu'à construire l'intersection de cette hyperbole et de la droite donnée, et qu'on aura tous les élémens nécessaires , savoir: trois points de la courbe et la direction de ses asymptotes»

Solution nu sscond PKOBiiiiCB.

Etant donnés trois cercles c, c', c^ ( fig. a , pi. 2 ) , trouver une quatrième circonférence qui leur soit tangente.

Imaginons que Ton ait pris ces cercles pour les grands cercles de trois sphères que nous appelerons aussi Cy c^j c^, et le problème se réduira à mener une sphère tangente à trois autres | et dont le centre soit dans le plan du triangle ccfc^^ fig. 2.

Supposons cette sphère trouvée \ elle touchera en a^ a', a^ les trois sphères données y et ces trois points seront précisément les points de contact du cercle demandé et des autres cercles.

Menons un plan tangent aux trois sphères, et soit AA'A^f Tînterterseciion de ce plan et du plan cc'cf. On sait ( Supplément à la Géométrie descriptive y n*. 28 ) 1 que parmi les quatre sénés de sphères tangentes k c, c'y c^'y il y en a une correspondante à U ligne AA^ , Supposons encore que ce soit dans cette série que nous ayons pris la sphère tangente , et voyons quelles conditions remplissent ses divers élémens.

Soient h ^h\h^ \es points de contact du plan tangent mené paf la droite AA'A^* et des trois sphères j d'abord { Supplément de la Géométrie descriptive , et par abréviation , S. G. 9 n . Sg ), les sî«

(io5)

points b y 6', h', a , a', fl^, seront sur une même sphère. Cette sphère aéra coupée , !•. par le plan fangent suivant un de ses petits cercles, lequel passera par b, b^ ei b^l ) 2*. par le plan ccfc'f suivant un autre cercle, lequel sera précisément le grand cercle aa'a'f de la

3)hère tangente cherchée. Par les cercles iut'aV^ bb'b^^ on peut onc (S. G. , n^. 64 ) f*îre passer une surface conique. Voyons comment on peut déterminer le sommet de cette surface.

Prenons sur la droite ^^'^^^^ les sommets^ et ^^des cônes tangens , h premier aux sphères e' etc^j le second aux sphères c et c*'. Les quatre points a'^ y ^a^f b'^ se trouvent sur un même plan passant par A* ; les quatre points a'fy b^^ a j ^ se trouvent aussi sur un même plan passant par A. (S. G. , n". 3o). Les quatre points a,b^ a',b' se trouvent sur un troisième plan passant par le poinl A^^ sommet du cône tangent à c et c^. Ces trois plans se coupent en un point S y qni est le sommet du cône cherché ^ ce point «> se trouve sur la rencontre des trois intersections de ces plans, pris deux à denx j c'est-à-dire sur la rencontre des lignes ab j a'b'j a^b^. Si donc, nous faisons passer par le cercle connu bb'b^^ un cône dont le sommet soit en S y ce cône coupera la sphère qui passe par les cercles aafa^^ et bb'b^^ suivant un cercle aa'a^^ sur lequel se trouveroni les points cherchés aa'ùJ^*

Maintenant imaginons une tangente ^ 7* commune aux deux cercles c et aa^a' ; par celte tangente que nous appellerons aTy et par le point S , faisons passer un plan aST. Ce plan sera tangent au cône y et par conséquent il coupera le plan du cercle bb b^y suivant une ligne bT* qui sera tangente en ^ à ce cercle y et qui rencontrera la tangente aT en un point T { fig. a) situé sur la ligne AA'A^.

Otf le cercle byb^ et sa tangente bT sont connus. On peut construire aisément la tangente ^T, puis déterminer le point Ty et par soite le point de contact a , et le problème sera résolu.

Il Saint remarquer que l'autre tangente Ta ( fig. a) , donne une seconde solution. Ce qui provient de ce que la ligne AA^A^I convient à deux séries différentes de sphères ' tangentes.

Voyez dautrts solutions synthétiques de ce problème ,

I*. GorrespondUince sur TEcole Polytechoi^iue , tome I*'., pages i8-a8 v même tome , pages 194-195 , solution de M. Cauchy ; tome II, pages 4^o-4^ » article de M. Dupin ;

a«. Journal de l^cole Polytechnique , 7»«. et 8"*. cahiers , page 9-9 , Mémoire de Fermât sur le conuct des sphères, traduit du latin par M. Hachette ; même journal, \Ù^, cahier , page 124 , Mémoire de M. Gaultier de Tours.

On trouvera les solutions analytiques de ce problème, i**. Bulletin de la Société philomatiqae , septembre i8ia, pat M. Poisson; a», tome II de la Correspondance , pa^ 63 et 4oQ , par M. Français ; 3«. journal de TEcoIe Polytechnique ^ i^aa. cdbicr, deux lOlniioBs , Tuie de M. Binet, Tautre de M. Hachette.

(ao6)

Construire par la ligne droite et le cercle, les points d'intersection d'un hjperboloïde de réi^olution et d'une droite donnée; par M. Lamé , élève.

La droite donnée en tournant autour de l'axe de Phyperboloïde engendre un autre hjperboloïde, qui CQupe le premier suivant deux cercles ; la question proposée sera résolue ^ si Ton détermine les cen-» très et les rayons de ces cercles. Soient ( fig. 3 , pi. a ) OAj OO' les rayons des cercles de gorge de deux h vperboJoïdes de révolution , qui ont pour axe commun la perpendiculaire O au plan de ces cercles^ et nommons premier nyoerboloïde , celui dont le cercle de gorge est du plus peut rayon. Menons parallèlement à Taxe de révolution y et par une tangente ab au cercle de gorge de ce

Î premier hjperboloïde , un plan qui coupe le second hjperbo* oïde suivant une hyperbole H, Le même hyperboloïde étant coupé par un plan méridien parallèle , suivant une autre hyperbole H' , les deux hyperboles H et H' sont semblables , et leurs asies réels sont dans le rapport des rayons OAy OO' des deux cercles de gorge. Le plan de l'hvperbole H contient une génératrice G du premier hyperboloide ; soit C le point où cette génératrice coupe Taxe réel ab de Thyperbole; le point homo-logue C de Thyperbole semblable H\ divise Taxe réel AB en deux

Sarties AO^ C'B qui sont entre elles dans le rapport de aC hiCb } onc si par le point C on mène une parallèle G' à la génératrice G , les points d'intersection de cette parallèle et de Thypcrbole JS' , seront les homologues des points d'intersection de la génératrice G et de l'hyperbole H. On sait construire avec la ligne droite et le cercle les points d'intersection de l'hyperbole méridienne H^ et de la droite G' 'y donc on connaîtra les points d'intersection de l'hyperbole // et de la droite G. Les perpendiculaires abaissées de ces points sur l'axe de révolution , déterminent les cercles d'intersection des deux hyperboloïdes. La même cunsidéralion s'applique à la recherche de l'intersection d'un ellipsoïde de révolution et d'une droite , en supposant que la section méridienne soit donnée.

On déduira facilement de ce qui précède la solution de cette question ( en ne faisant usage que de la ligne droite et du cercle): Mener par une droite donnée , un plan tangent à un hyperboloïde ou un ellipsoïde de révolution.

(ioj)

i^uÈSTiONS DE Mathématiques et de Physiqtte , proposées au concours général des lycées de Paris ^ armée i8i4«

MM. Frédéric Latour , Privezac et Lamé , admis cette année (j8i4*i8i5) à TEcole Polytechnique, ont remporté les deu:^ premiers prix de Mathématiques ^ et le premier accessit.

PROBLiMB BS MATHBHÀTiqUES.

Etant donné un cane droit dans lequel le rayoB de la base est le tiers de Tapothéme , si l'on prend sur la surface du cône un point situé à la distance a du sommet , et que de ce point, comme centre, avec une ouverture de compas égale à r, où trace sur là surface du cône une cour2>e , laquelle pourrait être considérée comme l^inter-^. section de cette surface avec celle de la sphère qui a son centre au point donné ^ et dont le ra^on est r;

Si ensuite on développe la surface convexe du cône en une surface plane , laquelle sera un secteur circulaire , dont l'angle est I d*angle droit y on demande Téquation de la courbe tracée sur la surface du cône , et devenue plane par le développement de cette même surface ëh un secteur plan : Téquation de la courbe étant trouvée en général pour toutes les valeurs de r et de a , on fera a =z3 jr z=z Zy et on déterminera pour ce cas particulier là figure exacte de la courbe , en la traçant dans toute son étendue»

On examinera de plus si la courbe est décrite toute entière par le compas qui tourne autour du point donné y ou s'il n'y a qu'une partie de la courbe décrite par ce procédé , et quelle est cette partie*

Solution de M. Prédêric Latour. ( Premier Prix. )

Concevons le cône et la sphère décrite du point donné jé, fig. ^ {A. 9 > et supposons^ un plan horisontal HB qui coupe ces deur surfaces f respectivement suivant un cercle que nous projeterons ^r la base au cône. Joignons enfin leurs centres et un de leurs points d'intersection , nous focmerons ainsi un triangle EFG.

Cela posé, il est clair que le plan méridien passant par le point F

contiendra les points de la couroe situés à la hauteur HB , ou , ce

qui est la même chose , a la distance SB du sommet ; et que , par

èonséqucBt, l'un de ces points se trouverait sur la généragice passant

( ao8)

par le point L , qui , dans le développement , fera avec la gênê^ ralrice SK un angle qui aura pour mesure un arc égal en longueur à LK , décrit du rayon SK ^ mais l'angle EGF a pour mesure le même arc décrit d'un rayon trois fois moindre ; il est donc triple du précédent; en sorte aue l'équation polaire de la courbe que 1 on cherche ne dépend que d'une relation entre SB = f, EGF =5 b; or, le triangle EGF donne:

uEG X GF ' EGF=3u, £G=4-«5-^=4-«? GF='^SB=^y,

d'oii

cos iu = — — 2 — -î— -i i-.

cos 3tt = i — ^ < > ;

telle est l'équation polaire de la courbe en comptant les angles y à partir de la génératrice qui passe par le point donné , et les rajrons vecteurs , à partir du sommet du cône.

Si dans cette équation on fait a=: 3 , rc= a , on trouve :

eos3«=i-— (^ j; J,

d'oîi

8 + cos 3w . I -/ ; r^; — ; — r r"

ff = J — dh - y/ iQ -j- co5*3 tt + i6 cos 3 a ,

Sous Valeurs

la première forme, l'équation nous montre à cause des trois de u correspondantes a une valeur de cos 3 u | que si Ton

partage la circonférence en trois secteurs de -^-d'angle droit chacun,

la courbe sera symétrique dans chacun de ces secteurs 3 en sorte qu'il suffira de voir sa forme entre les lignes PB' y PB (fig, 5); mais CB, sur laquelle on compte les angles , partageant BPB' en deux parties égales , la même forme d'équation fait voir que la portion de la courbe comprise entre ces deux droites | sera symétrique au*des5us

ef au-dessous de PC ; en sorte qu'il suffit de la discuter dans Tangl e BPC; c'est-à-dire, depuis cos 3 u = — i| jusqu^à cos 3 « = 4- i j

les valeurs de 9 correspondantes sont :

or y en prenant le signe positif pour le radical , on voit facilement que cos 3 u augmentant depuis — 1 jusqu'à -|- 1 , (/ augmente depuis 5 jusqu'à 5 ) donc la courbe aura à-peu-près la forme EC ^ si PE='6j PC=s5. Il y aura une autre brancne (ce) séparée de la

première ^ pour laquelle Pc =--- > /\: = i j car il est facile de prou-

ver qu'il n'existe pas de courbe entre le point e et le point E; pour cela faisons v = 3 — /"dans la première équation, ^ étant moindre que Ee, et par conséquent moindre que 2, nous aurons:

cos3«=:.i^-(3^-^;:

or, — (^ ITJ ^** positif, si ^< 2 ; et il faudra que Ton ait t

— ( 5— > ) < 2 , ott au plus égal j delà on tire /> — ou égal j

d'oïl »'<3— •-^< — , ou au plus égal , quand cos 3ii = — i , 3 3'

c'est-à-dire , sur le rayon PB»

Enfin la génération de la courbe fait voir que la plus grande va- Icar du rayon vecteur sera jPC=3+2, et la plus petite Pc=3 — a ; donc ai on achève la courbe dans les autres angles oii elle est symétrique y et que Ton décrive quatre cercles avec les rayons 5,3, §, 1 et du centre P, la courbe sera toute entière comprise dans le cercle PC qu'elle touchera aux points C , G , L'^ elle se composera de deux courbes distinctes, Tune comprise entre ce premier cercle et le cercle PE qu'elle touchera aux points EyNyl; l'autre comprise entre les cercles décrits du rayon Pc cfu'elle touchera anx points c,y^,/, et du rayon Pe qu'elle touchera aux points e, w , i •• il n'y aura rien dans le cercle Pc , rien entre les cercles Pe , PE.

On voit que le cône développé ne fournira que le secteur .BPiî' ; en sorte que le compas n'aura décrit que la courbe comprise dans cet espace ; ou le tiers de la courbe entière*

Solution de M. Prwezac. •{ Deuxième Prix. )

Par le sommet P, fîg. 6 ^ pi. a , du cône et le point A donné 9hf la surface 9 je mèire Tapothéme PB) suivant cette droite prolongée iadéfiniment « je conduis un plan XPM tangent au cône, et je suppose que le développement de ce cône se fasse sur le plan tan-« gent (*); ou que le cône roule sur ce plan , son sommet restant fixe.

Soit M' un point de la' courbe à double courbure tracée sur la surface conique , et soit M ce même point lorsqu'elle est devenue plane ; pour déterminer la posiUon du point M, ou plutôt la courbe sur laquelle il est situé ^ j'emploierai les coordonnées polaires y appelant V le ra^on vecteur PM et « l'angle qu'il fait avec la droite PX eu tournant autour du pôle P,

Cela posé , en observant que la distance du point M' au sommet P ne change pas dans le développement , le triangle APM' donne d'après un principe de trigonométrie rectiligne :

r» = û* + i^* — 2 av cos APM'.

Cette équation donne une relation entre y et l'angle APM') mais comme nous voulons l'obtenir entre (^ et « , il faut prendre la valeur de cos APM* en fonction de « et de quantités connues. Or y dans l'angle solide trièdc formé par les plans CPB , CBD , DPB , on a y en vertu d'une formule très-siniple de trigonométrie sphérique , cos APM' = cos» i5PC + sin« BPC cos BCD ; car les angles BPC j DPC sont égaux y et l'angle BCD mesure celui des plans BPC I DPC. Mais dans le triangle BPC rectangle en C ^ on a :

sin» J?PC = =z— = f