PB PB

en supposant pour résoudre la question dans un cas plus général^ que i'apothémc du cône est égal à m fois le rajon de la base. De plus , si BD' est la portion de rare du secteur sur laquelle s'est appliqué l'arc BD par le développement , les angles BCD et BPD' = » se* ront en raison inverse des rayons CB et PB , ce qui donne Tanglo BCD = m», donc:

m»-. I -|- cos m»

cos APM' =z'

{*) Ce plan peut écre considéra conuae cdoi de la fèniUt.

(ail )

On en déduit que rcqualion de la courbe est, en la résolvant paï rapport à cos m^ :

m*(r* — (« — »')*) cos m « = 1 ^ i ii.

Cette forme est simple et peut servir à trouver aisément les limites de la courbe ; car on sait que celles de cos m a sont i et — i.

Equation qu'il s'agit de discuter et construire, (Suit la discussion de cette équation) (*).

PnOBLÊMS DE PHYSIQUE.

Après avoir expliqué la construction de la pompe foulante , et la cause et les progrès de l'ascension de l'eau à chaque coup de piston, on examinera lequel des deux est le plus avanUeeux, de placer la soupape , ou en bas du tuyau d'aspiration , ou bien à la jonction de ce tuyau avec le corps de pompe.

On fera voir dans quel cas Peau peut s'arrêter dans le tuyau d'aspiration ou dans le corps de pompe , quoique le piston , lors-^ qu'il est au plus bas point de sa course, ne soit pas à 32 pieds au-dessous du niveau de l'eau qu'il faut élever.

i^'.Prix Blanchet. { ^i^E^j"'""'^

{*) JVote sur Vintenection d'tai coJte à base fermée par une surface fermée , et sur la dernière partie du problême de mathémaliques , proposé au dernier concours général des lycées de Paris.

La courbe d'intersectioii du cône et ôe la turiface est néocsaaîrement fermée , et quand on rapporte cette conrbe sur le développement du cône , elle devient une conrbe plane fermée ou infinie , et dans les deux hypothèses , elle est composée de pâmes égales, dont les extrémités se réunissent ou ne se réunissent pas.

Pour concevoir comment une li|;ne tracée sur un cône , a plus d*étencuie sqp le développement de ce côn^ que sur le cône même , on peut supposer le cône enveloppe par une toile s^ms épaisseur , (£a'on a pliée un nombre indéfini de fois ftur elle-même. Un plan ou tonte autre surface coupe les diverses couches de Fenveloppe , suivant une même ligne , oui peut être composée ^le plusieurs branches ; or , toutes les couches superposées , sont séparées sur le développement da cône ^ donc la couriie d'un cône, doit avoir sur le développement de ce cône , plus d'étendue que la courbe elle-m^e j ezaminQns les deux cas où elle sera fermée ou infinie.

Le développement du cône correspond a un secteur , dont les rayons extrêmes représentent la même arête du cône. L*arc qui mesure Tangle de ces rayons est y on n'est pas une partie aliqnote de la circonférence ; dans le premier 'cas , les courbes fermées du cône sont cncor des courbes fermées sur le développe-r ment; et dans le second cas, elles sont infinies , ce qui est évidenu n* C

( aia )

§. IL MATHÉMATIQUES APPLIQUEES.

j4naljse du premier Mémoire (*) sur la stabilité des corps flottons ; par M. Ch. Dupin , capitaine «n premier au corps du génie marilime , correspondant de rinsiilut.

Mémoire préseniéà la premier classe de rinstitut de France, le lo janvier i8i4>

Enhardi par l'indulgence avec laquelle la première classe de rinstitut a aaigné recevoir et approuver nos premiers Mémoires , en les déclarant dignes d'entrer dans sa collection des Savans étrangers y nous osons aujourd'hui lui présenter le commencetticnt des applications de notre théorie de la courbure des surfaces. Dans ce nouveau travail , nous avons dû laisser la méthode qui nous avait conduits jusqu'ici y pour suivre une marche nouvelle.

En exposant la première partie de nos recherches , nous n'étions rccupés que de la seule théorie. Les applications , que parfois nous avons présentées ^ n'étaient que de simples aperçus j jetés en avant pour répandre plus de jour sur des vérités abstraites , et rendre ainsi leur succession moins aride , en offrant d'espace en espace des exemples faits pour parler à l'imagination. Sans négliger les observations et les vérités de détail , nous avons cherché sur-tout à poser des principes simples et généraux ^ pour qu'ils pussent être faciles et féconds en conséquences. Essayons maintenant d'appliquer ces résultats à des questions d'un très-n-équent usage j par la nous rendrons de plus en plus sensible l'esprit de notre méthode.

Si jamais elle peut être de quelque intérêt ^ ce sera sur-tout lorsqu'on la verra s'étendre à des sujets ^ dont on a depuis longtems apprécié le besoin et l'importance.

Parmi les questions traitées jusqu'ici par les seules lois de la mécanique , l'une de plus intéressantes, est sans contredit celle dont le but est de déterminer l'équilibre , et la stabilité des corps solides flottant sur des fluides. De sa solution dépend nécessairement la sûreté , et à beaucoup d'égards le perfectionnement de la navigatitm. D'ailleurs une foule de recherches physiques y et mille usages des arts se rapportent à ce problème remarquable.

(*) Ce Mémoire , &ur le rapport d^une commission composée de MM. Sané , Proay e( Carnot , rapportf ur , a été déclaré digne de l'approbation de la Classe , et de PinsertioD ddiis sa CoUecûoo des savans étrangers.

Maïs quoiqu'on n'ait encore envisagé cette question que comme étant du ressort de l'hydrostatique , il est facile de voir qu'elle peut être ramenée à des considérations purement géométriques } et comme ces considérations peuvent toutes être fournies par la théorie de la courbure des surfaces , nous allons nous en occuper , pour offrir ainsi la première application étendue de cette même théorie. £n traitant un sujet illustré déjà par les travaux des savans les plos célèbres y si tout n'est pas épuisé ^ si nous sommes assez heureux pour parvenir à quelque vérité nouvelle , nous n'attribuerons sa découverte qu'à la marche que nous avons suivie ; et y moins nous avons eu ae mérite à nous laisser conduire oii elle nous me-* nait y plus sa bonté âera prouvée aux jeux des vrais géomètres : hâtons nous d'entrer en matière.

Le théorème qui sert de principe fondamental a tout ce Mémoire^ se trouve énoncé , mais sans démonstration , dans mon Mémoire sur la description des lignes et des surfaces du second degré, écrit en i8o5y pendant mon séjour en Belgique, puis inséré dan» le journal de l'Ecole Polytechnique y XIY*. cahier.

Toute l'application relative à la stabilité, faisait d'abord partie de mon premier Mémoire sur la courbure des surfîices ; mais le sujet «'étendant à mesure que je voulais l'approfondir ^ je me suis vu forcé d'en faire l'objet d'un travail à part : c'est celui dont j'ai Phonncur d'entretenir la classe.

Je ne dirai qu'un mot des principes très -connus sur lesquels il repose.

Je présente d'abord les premières notions mathématiques de la pesanteur des corps y de la comparaison de leur poids et de leur volume } ce qui me conduit k donner la définition de la densité qu'on peut appeler en géométrie le rapport du volume réel des corps à leur volume apparent.

J'emprunte à la mécanique le seul principe du levier ; j'en dé*

duis les principales propriétés des momens et des centres de gravité.

Je considère ensuite l'état d'un solide flottant sur un fluide, et

je démontre que le solide ne peut rester en équilibre sur le fluide

à moins que les deux conditions suivantes ne soient remplies :

] ^, Le poids du corps flottant doit être égal au poids de tout le fluide déplacé par ce corps.

2». Le centre de gravité du corps flottant et celui qu'occuperait le fluide déplacé ^ si tout à coup ce fluide reprenait sa première position 'y ces deux centres , àw-je , doivent être situés sur la même •verticale.

Nous disons un mot de l'équilibre des solides qui flottent sur dcs^

(laides compressibles j oa qui sont plongés dans ces fluides* (?és< ainsi que les aérostats peuvent se trouver suspendus dans l'atmosphère.

Ces vérités préliminaires une fois établies ^ nons passons de la situation précise de l'équilibre aux situations les plus voisines , dans lesquelles on peut placer un corps flottant.

Alors le problème se présente sous trois aspects bien distincts : ou le corps flottant , lorsqu'on commence à le déranger de sa position d'équilibre , revient de lui-même à sa première assiète ^ où il s*en écarte de plus en plus : ou enfin y il est certaines directions suivant lesquelles en dérangeant son équilibre , il revient de luimême à la première position ; tandis que , sous tontes les autres directions, il s'écarte ae plus en plus de cette même position.

Dans le preniier cas , on désigne l'état d'équilibre du corps flottant en disant qu'il est stable. Dans le second cas , on dit que cet équilibre est instable y ou non stable. Dans le troisième enfin , qu'il n'a qu'une stabilité relative (f).

Le but de nos recherches » en considérant des corps flottans, dont la forme ait toute la généralité imaginable , est de déterminer les conditions des trois genres d'équilibre qui peuvent leur convenir, et les propriétés les plus remarquables de ces trois genres. C'est à développer ainsi notre plan , et les premiers théorèmes sur lesquels 710US nous fondons, qu'est consacrée la première partie du premier |tf émoire.

Lorsqu'un corps est plongé dans un fluide, on appelle caréné le volume apparent de la partie immergée , terminée en dessus par le niveau du fluide, ou le plan horisontal de flottaison, et en dessous par la surface extérieure du corps flottant. ( Lorsque noua parlons de la surface d'un corps flottant ^ c^est toujours de sa sur^ face extérieure que nous entendons parler. )

Pour plus de brièveté, nous appelions simplement centre de caréné , le centre de gravité de la carène , lequel est évidemment le même que le centre de gravité du fluide déplacé, lorsque ce fluide , comme l'eau par exemple , est dans toutes ses parties d'une égale densité ^ or , tel est le cas que nous considérons.

Le poids total du corps flottant et la forme de sa surface exérieure restant les mêmes , si nous supposons qu'on déplace seule-

a*) Poar se rapprocher (]avania;;c des idées que rappellent dans le langage [inaire , les expressions de stabilité et âî' instabilité , il faudrait appeler non . Btable , réqoililire qui tend il se i-ompre en tout sens , et réserver la qualiticaiioq d'instable a cet équilibre qui , sous des direciions différentea , est 8ia]i>Ie ou d^ l'est pas.

«leat qaelqaes parties intérieurs j alors ou le centre de gravité de et corps aura toujours sa première position, ou il se trouvera lui-r même déplacé.

Dans la première hypothèse , il est évident que le déplacement des parties intérieures au corps flottant n'apportant aucun changement à la figure de la carène ^ aucun des élémens dont dépend sa position d'équilibre n'ayant varié , cette position doit encore se .conserver la même.

Dans la seconde hypothèse , il faut examiner séparément deui^ cas bien distincts. En considérant la position primitive oîi le corps flottant était en équilibre , et la verticale qui passait alors par le centre de gravité , ce centre peut s'être déplacé sans quitter cette verticale , ou s'être déplacé en la quittant.

Dans le premier cas de cette seconde hypothèse , on voit encore que rien n^est changé dans les conditions de l'équilibre , et le centre de la carène primitive se trouvant ^oujours sur la même verticale que le nouveau centre de gravité, est encore le centre qui convient au nouvel état d'équilibre ) cet état est donc le même que le précédent.

Delà résuite une conséquence trèfr^imple, mais qui néanmoins mérite d'être remarquée. C'est que si l'on permet au corps flottant de descendre ou de monter verticalement , de manière à ce que le plan de flottaison soit toujours parallèle à un même plan fixe dans le corps j le flotteur ne pourra trouver dans ces états aivers , qu'une seule positilion d'équilibre , en quelque point qu'on suppose le centre de gravité du corps flottant.

Passons enfin au second cas de la seconde hypothèse. Dans Is^ première position d'équilibre 9 le centre de gravité du corps flottant et le centre de la carène étaient sur la même verticale ; on suppose que le premier centre sorte de cette verticale : donc il faut que le second en sorle aussi pour que l'équilibre puisse encore avoir lieu ) donc une nouvelle carène , et par conséquent un nouveau plan de flottaison appartiennent à ce nouvel équilibre.

Concevons maintenant que le centre de gravité du corps flottant prenne successivement toutes les positions imaginables dans l'intérieur du corps flottant ) le centre de carène , et le plan de flottaison yont prendre pareillement une infinité de positions différentes; de manière que tous les centres de carène vont former une première surface ; tandis que tous les plans de flottaison vont envelopper une autre surface.

On verra que la considération de ces deux surfaces suffit pour nous conduire à tous les résultats qu'on peut désirer sur la stabilité jjes corps fiottaps.

Ca.6)

Poar plus de bricvctë , nous appellerons carénide , la première des deux surfaces dont nous parlons : ainsi la carénide est le lieu de tous les centres de caréné.

Chacune des carènes dont le centre est placé sur cette surface a pour propriété caractéristique, d'avoir un volume égal à celui de la quantité constante du fluide déplacé par le corps flottant y dont le poids est supposé constant.

On peut donc donner de la carénide et de la surface enve^ loppe des flottaisons, cette définition purement géométrique. £n supposant qu'un plan coupant retranche du corps flottant un segment d'un volume invariable ^ et que ce plan prenne ensuite toutes les positions possibles; d'après un telle hypothèse^

1**. Tous les centres de volume de ces segmens formeront par leur ensemble la surface que nous avons appellée carénide ;

2**. Tous ces plans coupans seront à-Ia-fois tangens à la surface des flottaisons , qui sera par conséquent leur surface enveloppe.

Parlons d'abord des propriétés de la première surface. Nous supposerons généralement dans ce que nous allons dire, que le corps flottant n'a qu'une étendue limitée ^ ce qui est le cas de la nature. Mais le corps flottant peut d'ailleurs être terminé par une seule nappe régulière , ou par la réunion de plusieurs ; il peut même présenter les formes les plus arbitraires , sans que les résultats que noua allons exposer perdent pour cela rien de leur généralité*

La carénide est une surface toute entière enveloppée par la surface extérieure du corps flottant (*) } elle est donc toujours d'une étendue limitée.

Elle offre d'abord pour caractère d'avoir, en chaque point , set deux courbures constamment dirigées dans le même sens.

Et si l'on place le corps flottant dans une de ses positions d'équilibre ; puis qu^on détermine sur la carénide le centre de la carène correspondant , le plan tangent en ce point à la carénide sera nécessairement parallèle au plan de flottaison : il sera donc horisontal.

Donc aussi la verticale qui , dans la position d^équilibre , joint le centre de gravité du corps flottant avec le centre de carène ; cette verticale , disons-nous , est nécessairement normale à la carénide*

(*) Ceci sappose que la surface exlérienre clu corps flottant n^'ait pas départie» trop concavfs : dans ce cas , la surface cauéride sersdt limitée par la sur&ce dévcloppablc qui circonscrirait cxtérieureraent ces cavités. De manière que chaque arête de la surface dcVeloppable toucherait le corps flottant en deux poinu qui imiteraient la seule partie de la soriace développable que l'on dc^nût coasîdorer».

Par ce prenner aperçu , l'on voit déjà qnc si la carénide éta?t connue , la reclierche des positions d'équiliore oui conviennent à chaque nouvelle position du centre de gravité au corps flottant ^ se réduirait à la simple recherche des normales de la carénide qui passent par ce point ^ que par conséquent le nombre des positions d'équilibre est toujours égal au nombre de ces normales ^ etc. Mais n'anticipons point sur Tordre que nous devons suivre.

Puisque les lignes droites qoi joignent les centres correspondans de la carène et du corps flottant, sont les normales d^une seule et même surface ( la carénide ) , toutes les propriétés générales qui conviennent aux normales des surfaces appartiennent également à ces lignes droites. On voit donc que leur ensemble présente deus ^sternes bien distincts de surfaces aéveloppables y tels que les sur« xaces développables d*un s^rstéme sont coupées à angle droit par toutes les développables de Tautre système ; que de plus , chacune de ces développables coupe la surface des centres de carène suivant une de ses lignes de courbure , etc.

Ce sont ces surfaces développables , les lignes et les centres de courbure qui leur correspondent , qui vont nous faire connaître tout ce qui peut être relatif à la stabilité des corps flottans.

Supposons qu'un corps flottant, placé d'abord dans une de ses positions d'équilibre en soit tout à coup infiniment peu dérangé ^ sans que pour cela le centre de gravité de ce corps ait cessé de rester au même point dans ce corps. Nous supposons aussi que le poids du corps flottant n'a pas varié.

Ce dérangement quel qu'il soit^ peut toujours être regardé comme composé, 1^ d'un mouvement vertical de translation du centre de gravité ; a^. d'un petit mouvement de rotation autour d'une droite horisontale menée par ce même centre*

Maintenant si nous faisons tourner la carénide , c'est-à-dire , la snrface lieu de tous les centres de carène, autour de l'axe hotisontal dont nous parlons , cette carénide aura pour enveloppe une certaine surface ^ et alors il faudra distinguer trois cas également remarquables.

Ou l'enveloppe de la carène l'enveloppera , la circonscrira réellement^ ou elle en sera totalement enveloppée ( à partir du centre de carène qui correspond à la position d'équilibre qu'on considère)^

On enkn les deux surfaces se pénétreront , de manière qu'une partie de la première sera hors de la seconde , tandis que l'autre partie de celie^i sera dans l'autre partie de la première surface.

Or, dans le premier cas, l'équilibre n'est pas stable ; dans le se* cond caSj il esi stable^ dans le troisièuie cas enfin , l'équilibre est

indifférent y c'es->à«dîre y que par rapport à l'axe horisontal autour duquel s'est opéré le dérangement qu'on considère ^ l'équilibre une fois dérangé | tend à se troubler de plus en plus dans le premier cas ; à se rétablir y dans le second \ et enfin ^ dans le troisième cas à conserver sa nouvelle assiète.

Présentées ainsi , les conditions de Tcquilibre des corps flottans ne s'offriraient pas sous une forme assez simple povir élre généralement et facilement saisies : réduisons les choses a leur expression la plus élémentaire.

Si f à partir d'une position d'équilibre donnée y nous inclinous un peu le corps flottant , en le faisant tourner autour d'une horisontale quelconque , et qu^ensuite nous menions , par le centre de gravité , un plan perpendiculaire à cette droite y ce plan étant vertical passera par le centre de carène correspondant h la position d^équilibre, et en ce point il coupera la carénide suivant une certaine ligne } concevons que pour le même point on détermine le centre de courbure de cette ligne.

Maintenant , si le centre de gravité du corps flottant est andessous de ce centre de courbure , l'équilibre du corps flottant est nécessairement stable.

Si le centre de gravité est au-dessus du centre de courbure ^ l'équilibre est nécessairement instable*

Et enfin l'équilibre est indifférent quand ces deux centres coïncident.

Delà résulte ce théorème qui parait digne de remarque.

En comparant une position d'équilibre d*un^ corps flottant y avec les positions très-voisines qu'il peut prendre , la distance de son centre de gravité au centre de la carène , est un minimum ou un maximum , suivant que l'équilibre est stable ou non stable : dans réquilibre indifférent cette distance est constante.

Si maintenant nous comparons entre eux les divers degrés de stabilité d'un même corps flottant ^ suivant qu'à partir de sa position d'équilibre, on l'incline successivement autour de tous les axes horisontaux possibles ; un nouvel ordre de propriétés va se présenter à nous :

En se plaçant au centre de la carène qui appartient à la position d'équilibre que l'on considère y et traçant ensuite les lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface carénide | qui passent par ce point ,

i"". Lorsque l'axe d'inclinaison sera parallèle à la direction de moindre courbure, ce sera la direction de la moindre stabilité du corps flottant }

iiK Lorsque l'axe d'mclinaison sera parallèle à la direction dé plus grande courbure y ce sera la direction de la plus grande sta^ i>ilité du corps flottant.

Or , en chaque point d'une surface quelconque y les deux direc* tiens de plus grande et de moindre courbure se croisent toujours à angle droit.

Donc aussi les deux directions de plus grande et de moindre stabilité d'un corps flottant quelconque se croisent toujours à angle droit.

Si nous voulons comparer ces stabilités principales aux stabilités intermédiaires y nous pouvons le faire de la manière la plus simple au moyen de la courbe indicatrice de la surface carénîde ; car cette indicatrice étant déterminée pour le centre de la carène qui correspond a la position d'équilibre qu'on considère , les divers degrés de stabilité sont proportionneb aux carrés des diamètres de cette courbe j augmentés ou diminués d'une quantité constante.

IKIais les diamètres de la courbe indicatrice sont placés symétriquement à droite et à gauche des axes de cette courbe. Donc à droite et à gauche des directions de plus grande et de moindre stabilité du corps flottant , les degrés de stabilité qui correspondent aux inclinaisons symétriquement placées sont pareillement égales entre elles* Des mêmes principes résulte encore cet autre théorème.

En déterminant les divers systèmes de tangentes conjurées (^} de la surface carénide ^ au centre de carène qui correspond à la position d'équilibre , chaque tangente représentant la direction d'une inclinaison du corps Bottant ; concevons ensuite qu'on ajoute ensemble les quantités qui représentent les degrés de stabilité qui corres-^ ponaent aux airections conjuguées, prises deux à deux^ alors la somme de deux stabilités conjuguées sera nécessairement constante.

Et comme les directions de plus grande et de moindre stabilité du corps flottant y sont aussi deux directions conjuguées de la sur-* face carénide ^ il suit delà que la somme de deux stabilités conjuguées quelconques, est précisément égale à la somme de la plus grande et de la moindre stabilité du corps flottant.

Après avoir exposé les premières propriétés de la carénide, ou 8ur£sice des centrés de carène , il faut considérer la surface enveloppe des flottaisons. Cette surface est , ainsi que nous l'avons dit , définie par la propriété d'avoir pour plan tangent les plans de

(*) Voyez pour respotidon de k théorie des tangentes conjognées , le premier <( U «eooad marner des déweloppemens de géométrie, pur M.I>opio.

flottaison qui termlaent toutes les carènes dVgàl volume qae nons avons considérées.

Or j cette enveloppe des flottaisons est y comme la surface carénide y fermée de toutes parts ; elle présente partout ses deux courbures dans le même sens : enfin elle embrasse coniplettenient la surface carénide , ou est partout embrassée par ellC| comme celle-ci Test par la surface extérieure du corps flottant.

De manière que la carénide et l'enveloppe des flottaisons ne peuvent jamais se pénétrer.

On sait que chaque plan de flottaison est coupé par les plans de flottaison infiniment voisins , suivant une droite qui passe toujours par le centre de gravité de Taire du premier plan : l'aire étant terminée par la surface extérieure du corps flottant. Ce beau théorème est du à Lacroix^ géomètre français du siècle passé.

En combinant ce principe avec la théorie des enveloppes, on voit que la surface enveloppe des flottaisons , comme la carénide, est le lieu de tous les centres de carène.

A l'aide de ces propriétéS| nous démontrons les principes snivans.

Le plus grand rayon de courbure de la surface des centres de carène j est pour chaque centre de carène que l'on considère , éfral au plus grand moment d'inertie de Taire de la flottaison correspondante , divisé par le volume de la carène.

Lé plus petit rayon de courbure est au contraire égal an plus petit de ces momens divisé par le volume de carène,

La direction de la plus grand courbure de la carénide est celle de Taxe de plus grand moment d'inertie dé Taire de la flottaison»

La direction de la moindre courbure de la carénide est celle de Taxe du plus petit moment d'inertie de Taire de la flottaison.

Les mêmes principes font connaître k' grandeur des rayons de courbure de toutes les autres sections normales de la surface carénide.

Et comme la détermination des divers degrés de stabilité d'un corps flottant incliné tour à tour suivant toutes les directions , dépend immédiatement de la valeur de ces rayons de courbure , nous obtenona ainsi la mesure la plus simple de ces divers degrés do

sfabîlilé. n est facile de voir qu'elle concorde avec les beaux résultats présentés poar la première fois par Bouguer, dans son Traité du navire ^ et par Ëuler , dans sa Scientia navalis.

Comme les quantités desquelles dépend cette mesure de la stabilité j sont inaépendantes de la situation horisontale des divers points de la carène et de Taire de la flottaison , on conçoit qu^on peut altérer d'une infinité de manières différentes la forme d'un corps dont le poids est constant , sans que ce corps , en flottant toujours sur le même fluide | change pour cela de stabilité.

Dans ces diverses transformations éprouvées par la figure du corps flottant y nous cherchons à voir ce que deviennent la surface carénide et la surface enveloppe des flottaisons. Nous faisons voir qu'alors ces dernières surfaces éprouvent des transformations analogues à celles dont nous avons donné les conditions dans la I'*. partie de cet ouvrage, au sujet des surfaces qui doivent conserver entre elles au moins un contact du second ordre. Par conséquent ces surfaces conservent encore absolument la même courbure aux points qui correspondent à la position d'équilibre dont on s'occupe. Donc non-seulement alors la position d'équilibre du corps flottant est conservée, mais les degrés de stabilité qui correspondent à ces positions sont absolument restés les mêmes , ainsi que les directions de cçs stabilités.

Pour terminer ce que , dans ce Mémoire , nous devons dire sur les propriétés générales de la surface enveloppe des flottaisons, il faut trouver pour chacun de ses points la direction des lignes de courbure et la grandeur des deux rayons de courbure.

Recherche des lignes et des rayons de courbure de la surface des flottaisons.

Si nons prenons un point sur l'enveloppe des flottaisons , et qu'après avoir déterminé le plan des flottaisons qui correspond à ce point , nous concevions tous les autres plans de flottaison voisins du premier avec lequel Us forment un angle constant, chacun de ces plans et le premier intercepteront dans le corps flottant deux onglets qui seront réunis par la droite intersection aes deux plans*

Or, cette droite est tangente à la ligne de plus grande ou de moindre courbure de la surface des flottaisons , suivant que la différence de volume des deux onglets est un minimum ou un maximum.

Maintenant concevons que la surface extérieure du corps flottant devienne cylindrique , tout le long du contour de la flottaison que Ton consiaère. Alors les plans de flottaison infiniment voisins in-

fcrcepleront dans ce cylindre de nouveaux onglets. La diitérttkté de ces nouveaux onglets avec les premiers compris entre lesniémed

Ï)lans, est un ûlet triangulaire ayant une de ses faces sur le cylindre ^ a seconde sur la surface extérieure du corps flottant , la troisième sur le plan de flottaison infiniment voisin du plan que Ton considère. *

Et suivant que le volume total de filet triangulaire , est on minimum ou un maximum, la droite intersection des deux plans de flottaison qui le déterminent est tangente aux lignée de plus grande et de moindre courbure.

Présentons enfin une troisième expression de cette direction des lignes de courbure.

Si l'on applique à chaque point du contour de la flottaison' un poids proportionnel à la tangente de l'angle formé par la verti-> cale et la surface du corps flottant , on va former une ligne pesante.

Or y les axes principaux du plus grand et du plus petit moment d'inertie de cette ligne ^ seront respectivement tangens aux lignes de moindre et de plus grande courbure de la surface enveloppe des flottaisons.

Et , de plus , si l'on divise tour-à-tour par la superficie de la flottaison y ce plus grand et ce plus petit moment d'inertie , les quotiens seront respectivement les rayons de moindre et de plus grande courbure de la surface enveloppe des flottaisons.

Lorsque noua exposerons ce qui concerne la stabilité des vais* seaux ^ ce qui fera l'objet d'un Mémoire à part , on verra que ce n'est pas pour nous livrer à des recherches de pure curiosité que nous avons ainsi déterminé les élémens de la courbure de la surface enveloppe des flottaisons. Car la connaissance de ces élémens peut offrir une foule de données précieuses sur les qualités des navires , et sur plusieurs opérations des arts maritimes.

Tels sont les objets contenus dans le second paragraphe -y dans le troisième et dernier, au lieu de supposer que le centre du corps flottant varie de position ^ pour parvenir à connaître les lois généi^' raies de la stabilité j nous supposons que le centre de gravité conserve toujours- la même position dans le corps flottant, et nous tâchons de déterminer les diverses positions d'équilibre qui peuvent convenir à cette position unique du centre de gravité.

Dcja nous savons que la recherche de ces positions d'équilibre est ramenée à la détermination des diverses normales qu'on peut , à partir du centre de gravité du corps flottant , abaisser sur la «ar<f hce caréttide.

Chacune de ces normales étant supposée verticale , Je corps se trouvera successivement dans toutes ses positions d'équilibre.

Suivant que ces normales seront le maximum ou le minimum pe la distance du centre de gravité aux divers centres do carène elles correspondront à des positions d'équilibre stables ou non stables.

Et, comme d'un point quelconque^ on peut toujours abaisser une normale au moins sur une surface donnée ( cette normale indiquant la plus courte distance du point à la surface ), concluons premièrement oue, quelle que soit la forme du corps flottant , îl

5>cut toujours être placé dans une position d'équilibre , et d'équU ibre stable. Ce principe qui devient extrêmement simple dans notre théorie , n'avait , ce nous semble , pas encore été démontré.

Limitons d'abord nos recherches , en plaçant dans le corps flottant un axe, dont la direction soit fiic, mais d'ailleurs quelconque, norisontale ou non; et n'envisageons que les diverses positions d'équilibre- qui peuvent exister d'après cette hypothèse.

fermée, nous faisons voir que le nombre de ses normales qui passent par le centre de gravité est pair , et que ces normales sont alternativement des maxima et des minima.

Donc le nombre des positions d'équilibre est pair , et l'équilibre est alternativement stable et non stable , lorsqu'on tourne régulièrement au^ur de l'axe fixe. De célèbres géomètres ont déjà démontré ce principe en supposant cet axe horisontal. ( Yoje^ la Mécanique de M. Poisson. )

Nous considérons en particulier un cas remarqnable. C'est celui ou quelques normales ne peuvent être regardées . ni comme des maxima , ni comme des minima» Ce cas arrive lorsque le centre de courbure de la ligne , lieu des centres de carène , se confond avec le centre de gravité du corps flottant. Nous faisons voir que ^ dans ce cas , pour que les théorèmes précédens puissent avoir heu , îl faut et l'on peut regarder chacune de ces positions particulières, comme la réunion de deux états d'équilibre , l'un stable et l'autre non stable.

Mais ce qui est le plus remarquable, c'est qu'en supprimant par la pensée ces positions d'équilibre mixte ^ les autres positions d'équilibre sont encore alternativement stables ou non stables, comme si Ips premières n'existaient absolument pa^.

Passant enfin an cas général , nous prouvons que quand un corps fini quelconque flotte sur on fluide, sans être retenu par. 5. i5

tM4)

tncnn àxe fixe, premièrement, il a aa moins âenx poèîtîoni cl'cquilibre , l'une dont la stabilité est absolue , l'autre dont l'insta-* bltité est pareillement abeolne.

Secondement^ que le nombre total des positions d'équilibre stable est toujours égal au nombre des positions d'équilibre non stable.

Telles sont les principales propriétés exposées dans ce premier Mémoire.

Le second présentera leur application aux surfaces du second ^egré en général ; et , comme un corollaire ,. la démonstration des théorèmes exposés dans le beau livre d'Archimède , De insiden-^ 4ibu8 in humido , tous ces théorèmes seront ramenés à un seul et même principe.

Enfin , un troisième Mémoire sera consacré spécialement à la stabilité des vaisseaux , et présentera les divers principes qu'on peut «n déduire relativement à la théorie des constructions navales. C'est alors que nous trouverons l'occasion de rendre hommage aux belles recherches d'Ëuler et de Bouguer , qui contiennent à-peu-près tout ^e qu'on sait encore à ce sujet. C. D.

Extrait de Fourrage de M, de Prony , publié en 1804 » sur la théorie des eauoc courantes ^ i vol. in-4*. de i?o pages, 5 tableaux d'expériences, et a pi. ; par M. Hachette.

TRiHTcirAUx RESULTATS de F expérience j qui peuvent fournir les données nécessaires , pour asseoir les hases d'une théorie du jnouyemeni des Jluides incompressibles et pesans.

'Premier résultat. Un fluide comme l'eau , qui s*écpn1e par un tuyau ou par un canal , d'une longueur suffisante pour qu*il puisse y établir son régime, éprouve des résistances dues à des forces

aer

retardatrices de même ordre que la force accélératrice de la pesan teur ^ d'oii il ^uit que ces forces doivent non-seulement diminue l'effet de la pesanteur d'une quantité finie , mais encor l'anéantir ^ £t réduire le mouvement à l'uniformité.

Second résultat. Les résistances qui modifient Pef&t de la |>esanteur , sont y dans une section transversale quelconque d'un liquide en mouvement, indépendantes des pressions des molécules comprises dans cette section. (Exjpériences oe Dubuat , DobenheÎRi ^tBeaezech.)

Troisième résultau Dans uu« section transrersale quelconque ^ les diverses molécules ont perpendiculairement à cette section , on parallèlement à la directrice, des vitesses difTérentes. 11 ^ a un point de cette section , on se trouve le maximum de vitesse. Dans un tuyau cylindrique , ce point est au centre de la section transyersale circulaire. Dans un canal découvert, il est en général au- •^essuus de la surface y et si dans le plan de la section, on imagine une ligne droite menée de ce point à un point quelconque du périmètre de cette section , les vitesses des points ^e cette ligne .diminuent progressivement.

Quatrième résuiiaL La diversité des matières avec lesquelles on construit le canal ou le tuyau , ne fait pas v;irier sensiblement la résistance du liquide en mouvement , qui provient de l'action attractive des parois.

Cinquième résultai. Les molécules d'eau adhèrent les unes aux autres ^ ce qui constitue ce qu'en physique on appelle la cohésion ou la viscosité.

tiistorique.

Les premières déterminations dignes d'attention sur le mouvement de l'eau dans les canaux , en tenant compte des résistances, sont de M. Demery , qui travaillait avec Perronet en l'J'jS , au projet du canal de l'Yvette.

fin 1779, parut l'ouvrage de M. Dubuat ( les Principes d'hydraulique ) ; ce célèbre ingénieur en a publié Une seconde édition en 1 789 , avec des augnientatiou^ considérables.

£n 1800^ M» Coulomb fit un Mémoire sur des expériences destinées à déterminer la cohérence des liquides , et les lois de leurs résistances dans les mouvemens très-lents. L'auteur satisfait aux phénomènes, en égalant la résistance à une fonction entière et rationnelle de la vitesse, composée de deux termes , Tun propor*tionnel à la vitesse simple , et l'autre au carré de cette vitesse. m. Girard a le premier appliqué fa loi de M. Coulomb aux cas des vitesses que Peau prend en coulant dans des lits naturels et factices J mais il a donné le même coefficient à la première et à la seconde puissance de la vitesse ; et par cette raison , ses formules n^ont pas toute la généralité désirable.

M.deProtiy,après aVoir récueilli les meilleures observations faîtes

lytîque , le problême suivant :

Frobléme» Plusieurs résuluts d'observations sont susceptibles d'être liés entre eui par nne loi } en faisant à ces résultats de petites

( ai6 )

corrections , Pëqaatioii qui eiprime cette loi , peut se mettre loUf la forme :

ZetX étant des fonctions d'une ou de plusieurs variables j dont on a un certain nombre de valeurs observées immédiatement , on calculées d'après les observations; il s'agit d'assigner aux constantes inconnues « et /8 9 des valeurs telles que les phénomènes soient représentés le mieux possible , par IVquation précédente.

La solution de ce problème s'applique à l'équation de cette forme:

(Jff) I L = au + bu^,

u étant la vitesse moyenne de Peau dans un tujran , a et & des constantes à déterminer d'après les expériences , et L une fonction donnée par la théorie , composée des quantités qui représentent le diamètre du tuyau , la pente y les charges d'eau sur l'une et l'antre extrémité.

Les constantes a et b ont été déterminées, de manière que l'équation (E) fût satisfaite par 5i expériences sur des tuyaux , dont les diamètres variaient depuis 3 jusqu'à 5o centimètres , et les longueurs depuis 5 mètres jusqu'à 35oo mètres. Les vitesses ob* servées et calculées par cette équation , ne différaient entre elles

que des fractions — - ou -7-- 9 en plus ou en moins.

La vitesse moyenne est toujours connne dans les expériences suc les tuyaux, par la comparaison du volume d'eau écoulé en un tems déterminé avec la section transversale } il n^en est pas de même des expériences sur les canaux découverts, ou la vitesse moyenne se déduit ordinairement de la vitesse à la surface. M* Prony a représenté ces vitesses par les lettres u et i^, et il a suppose qu'elles étaient liées entre elles par l'équation :

a et i étant des constantes qui doivent satisfaire aux observations» Il a regardé ^expression a'u^ -|- b'U* comme une fonction donnée par la théorie entre la longueur du canal ^ la pente ^ la section transversale et le périmètre de cette section ; il s'est servi des expériences connues, pour déterminer avec précision les constantes a' et b'.

Lt$ formules suivantes sont le résultat dn travail de M. Prony^^

( aa7 )

FORMULKS

pour le mouvement des eaux dans les canaux découverts recUligneSm

Quantités données.

A longueur du canal ) ( différence de niveau entre les deux sections extrêmes ;

is= — pente du canal par mètre \ m sa section transversale ) ^ ^<^^

périmètre \

il = — rapport de Paire de la section transversale à son périmètre ;

U la vitesse moyenne ; f^la vitesse à la surface ;

Q le volume d'eau qui passe par la section # pendant chaque unité de tems.

Formules»

a(i) 17= — 0,1 75 + Vo,o3 + 3688 IR, a (a) £/= — 0,07 4.l/o,oo5+3a33i/l, (ji) [ «(3) ^= ofin F, V (,)

a (4) Uzsz— y, (Celle-ci qui est la plus simple ^ 1 est suffisante pour Pusage ordinaire. )

Q^Um, (a)

€sl/+&l>=: — s/A^ âeao,oooo4444997 ^=Oyeoo5o93i4« (5)

Les équations (1), (2) , (3) renferment les six quantités /, # , ;j;, 1/9 f^et Q; trois de ces quantités étant données , on déterminera les trois autres.

La formule a (3) satisfait à trente-une expériences très- soignées, dont vingt trois ont été faites par M. Dubuat

La formule (5) satisfait à dix expériences de Dubuat et deux de Chez/.