FORMULES

pour le mouvement des eaux dans les tuyaux cylindriques. Données.

X longueur do tujaa }

D son diamètre ;

Z difTërepce de niveau entre la surface de l'eau dans le rëserroir

bupérieur ^ et celle de l'eau dans le bassin inférieur , on charge

de l'eau sur l'orifice inférieur \ V la vitesse moyenne; Q la dépense d'eau dans Tunité de tenu.

Formules.

lorsque la vitesse de l'eau ne sera pas très-petite, on pourra substituer À cette formule (0), celle-ci (4):

formule unique comprenant le système de formules (^) pag. 227,

et la formule ( B ) ,

(O l/= — 0,0469734 + i/olô022o65 + ( 3041,47) G, formule dans laquelle G représente la quantité RI pour les canaux découverts (page 227), et — -* pour les tuyaux cylindriques.

Au moyen des trois équations (4) > (5) et {%) entre les cinq quantités A ^ Z>, Z^ U et Q, deux étant données > on déterminera les trois autres.

La formule (B) satisfait à 5i expériences, la plupart faites par MM. Bossut et Dubuat , sur des conduites qui avaient depuis 3 jusqu'à ôo centimètres de diamètre ^ et depuis 3 mètres jusqu'à a3oo mètres de longueur.

Ohservatibnt relatives aux formulés de M, de Prony.

La formule (4) pag* 228, fait voir que la vitesse suit sensiblement la raison directe composée des racines carrées du diamètre et de la charge d'eau , et inverse de la racine de la longueur du tuyau.

On a supposé que les sections horisontales, tant du réservoir de prise d'eau que du bassin 011 cette eau va se rendre , sont tellement grandes par rapport à la section transversale du tujau , que les tranches norisontales du iïiiidè dans ce réservoir et ce bassin , peavent être considérées comme immobiles, ou comme ayant una vitesse insensibfe par rapport à celle de Téau. dans ce tuyau.

Les formules relatives aux longs tuyaux., ne s'appliquent pas au calcul de Técoulement par un orifice pratiqué dans . une mince paroi , ou pac un petit agutage.

P^ous ferons connaître à la fin d« cet extrait , un travail da M. do Pronyï sur l'écoulement des fluides contenus dans un vase, par des orifices honsontaux.

Problême relatif au mouvement de Ptau dans,, tes tuyaux de conduite cjrlindrii/jies»,

Un réservoir supérieur de distribution est alimenté par un courant y de manière à pouvoir fournir , sans que sa profondeur diminue y une quantité totale d'eau par jour, qu'il s agit de répartir k des fontaines ; ou à. des bassins inférieurs y par le moyen de tuyaux de conduite y dans dés rapports dômiéii qu'on suppose être ceux des nombres n', 7i^*y n!\ etc.

Nommant Q la quantité totale d'eau , et Q^, Qf, Q'", les qnan^ tités d'eau respectives qui arriveront aux fonUines ou . aux bassina, et s'assujétissant à la condition précédente ^ on aura d'abord.:

n'' nf

^ ~ n' +.'»"+ »'" + etc. ^' ^^nf +71" + n"' +.etc. ^* ly, D^fy D"',etc. étant les diamètres respectifs de ces tuyaux, et J', J^, J?', atc. les valeurs de.-— correspondantes à ces diamètres^

on aura pour déterminer les diamètres, autant d'équations seniT niables à l'équation (6) page 228, qu'il y a de diamètres.:.

«te ^ 7

Problème rAaûf a rélévation des eaux dans dès tuyaux de conduite , au moyen de pistons.

Les machines hydrauliques destinées a ëleyer l'eau , opèrent la plus souvent cette élévation , sur-tout lorsque la hauteur est considérable , en refoulant le fluide dans des tuyaux de conduite. L'effort auquel ce moteur doit continuellement faire équilibre , se compose , l^ du poids d'une colonne d'eau , dont la base est ordinairement celle d'un piston , et dont la hauteur est la différence de niveau entre le réservoir inférieur et le bassin supérieur \ a*, de plusieurs résistances provenant de l'inertie des masses qui ont un mouvement alternatit, et des frottemens des pistons , axes , tou— filions, etc. ; 3". enfin de la résistance au mouvement de l'eau qui a lieu dans le tuyau.

On demande qu'elle sera la pression sur la base du piston^ pro- T^nant tant du poids- que du mouvement du fluide 7

Lt valeur de cette pression est :

expression dans laquelle les constantes ont pour valeurs :

gz=. 9,8088 , 9 s= 3,i4i6 , « = 0,00017, iS = O|0o34i6 ;

I> est le diamètre du tuyau ; Q la dépense dans l'unité de tems ; ^ est la hauteur à laquelle l'eau est élevée , et la densité de l'eau lest prise pour unité.

Quatre tableaux terminent l'ouvrage de M. de Prony. Ils contiennent les résultats des meilleurs expériences faites sur le mouvement des liquides , et la comparaison y tant des résultats de l'observation que de ceux qu'on obtient par les formules de MM. Dubuat , Girard et Fronv. On conclut de cette comparaison , que les formules de M* de rrony sont celles qui s'accordent le plus avec Pexpérxencei et que dans l'état actuel de la science , elles suppléent autant que possible y au défaut d'une théorie complette.

M. de Prony avait déjà publié en 1802 , un Mémoire sur le jaugeage des eaux courantes* Il indique dans ce Mémoire deux inoyen^ pour mesurer les quantités d'eau qui s'écoulent par un orifice horisontal ou vertical. De ces deux moyens , l'un très-simple et très-économique se réduit à exécuter ce qui est prescrit par la règle suivante :

« Choisissez une partie du lit du ruisseau y dont on puisse prendre « commodément plusieurs profils en travers , la distance ou lon- « gueur comprise entre les deux sections extrêmes étant ioo,aoo^ etc.

«t mètres y autant que les localités le permettront ; établissez an m point le plus bas de cette longueur un barrage avec un pertuis , « et au point le plus haut un batardeau avec une vanne disposée u de manière qu'on puisse la fermer instantanément. Cette vanne te étant maintenue à une ouverture fixe, demeurera levée jusqu'à « ce que Peau soit au même niveau et dans le lit du ruisseau y et u dans le réservoir compris entre le batardeau et le barrage du « pertuis qu'on suppose fermé ; ce dont on s'assurera au moyen de « deux flotteurs {*) , communiquant l'un avec le lit du ruisseau,' u et l'autre avec le réservoir. Lorsque cette condition sera rem- «c plie , on fermera instantanément la vanne , et l'on ouvrira le « pertuis* L'eau du réservoir s'écoulera , et l'on observera les abaisic semena successifs du niveau de l'eau dans ce réservoir, qui « correspondent à de très-petits intervalles de tems, par exemple, « des secondes. Connaissant d'ailleurs par les profils du lit du u ruisseau, les volumes des tranches horisontales du réservoir d'une « petite épaisseur | par exemple , d'un centimètre , on calculera « par les formules d'interpolation connues , l'écoulement qui cor- ^ respond au niveau constant de l'eau dans le ruisseau. »

Obserraiions.

Le niveau de Teau dans la plupart des ruisseaux , varie suivant les saisons et suivant les années ^ ce n'est donc que par des expériences répétées à diverses époques, qu'on peut obtenir une mesure mojrenne des eaux courantes d'une rivière ou d'un ruisseau.

La distance que M. de Prony conseille de mettre entre la vanne et le pertuis , aoit être la plus grande possible , afin de diminuer l'influence des monvemens intérieurs de l'eau du réservoir sur l'é« coulement par le pertuis.

On épargnerait le travail qu'exige la mesure des profils en travers du lit de la rivière | en établissant, ainsi que M. de Prony l'a proposé, sur la portion dn lit qui sert de réservoir, deux bordages parallèles , composés de planches posées faorisontalement et de champ I et fixées par des clous sur des piquets. Cette disposition aurait pour objet de donner une base constante aux différens prismes d'eau écoulés, qui correspondent aux différens tems de l'écoulement. Les bordages auraient environ 4 à 5 décimètres de hauteur, a compter de leur arête supérieure qui serait au niveau des eaux de la rivière.

(*) Un uibe ireooarbé communiqne par nne extrémité arec l'ean dont il s^agît de mesurer le nÎTean : il se prolonge sous terre horisontalement , et se relevé verticalemait att-dessus du sol. Cette branche verticale reçoit un floiieur qui porte une liée, dont rcxtiéttiité répond ans divifioiu d'une éc|ieUe tracée sur une r<-gfe .verticale.

Tanxils qae le réservoir se vide per le penUik ^ il ne doit rece-^ Yoîr aucune partie des eaux de la rivière- ou du ruisseau enamont du batardeau; il est donc nécessaire que le lit de la vivière puisse contenir les eaux retenues par le batardeau j et dans^ le cas contraire, il faudra pratiquer des ngolcs^ pour conduire les eaux de l*aniont du batardeau a Varal du pertuis.

Si dans les expériences sur les éeoulemen», les tems' correspond dans aux changemens de niveau , sont très-rapprochés , on pourra considérer les difFérences constantes du tems^ comme lesdinérentiellcs constantes d^une abscisse de courbe | et les difFérences variables des hauteurs verticales du niveau de Teau , comme les différentielles de l'ordonnée qui correspond à l'abscisse. Alors la question sera ramenée à trouver la tangente à- la courbe , qui correspond k l'origine dès coordonnées ; l'abscisse de cette tangente sera le tems de récoulement du niveau constant du Ut de la rivière, et l'or* donnée correspondante à cette abscisse représentera \st quantité d'eau écoulée. M. de Frony a résolu cette question dans ses feuilles d'analyse ( «Journal de l'École Polytechnique ; 3". cahier } , et a donne la formule d'interpolation qui s'applique au cas particulier des écoulemens dans des tems très-rapprochés. Si cette formule ne satisfait pas aux expériences , on pourra y substituer la méthode exposée aans son Mémoire sur le Jaujeage des eaux couranleë»

Sur récoulemeni dès liquides par des orifices honsoniattx.

M. de Prony a fait imprimer en Pan 5 (1796), une solution du problème de l'écoulement des fluides incompressibles et pesans, par des orifices horisontaux , dans l'inrpothèse du parallélisme des tranches. Apr-ès avoir observé que fa solution de d'Alembert, donnée en 1744? dans son Traité des fluides^ est inoomplette, parce que la considération de la pression des tranches fluides j est omise , il a soumis cette question a un nouveau calcul entre les quantités désignées par le tableau ci- joint. ( Voyez la page suivante J)

La notation posée; M. de Prony parvient aux deux équations fuivantes :

, nmdu I ,

d'où Ton pourrait déduire une troisième équation qui ne contièn-^

du drait ni -j-^ ni u* s= a^{) et qui donnerait pour uxt point-dé^

(a35) termine de Ta masse flaide , la relation entre la pression p et la

vitesse ^2gi, qui a lieu à Porifice en même tems que cette pression. Aa moyen de ces équations ( dit M. de Pronv ) , on déterminera sans difficulté le maximum de vitesse. Dans les circonstances les plus ordinaires ) la vitesse acquiert une valeur fort approchante de son m^/rimuwn . an bout d'un tp.mfi tr«>fi-miirt . At nui s'ahrè/re d'au*

pag«444-)

ÉCOULEMIJKT DES LIQUIDES PAR DES OfUHGES HOUISotNTAUX.

D^SlGNÀTIOIf DES QUANTIT^ff.

Aire de la surface sapérinirr du fluide

Aire d'une section horisoniale quelconque de la masse fluide.

Aire de ToriGce inférieur par ou le fluide s'écoule

i sur l'aire A. . . .

Pressioo rapportée à Tanité de surface l sur J^aire k

f sur Taire «

DisUincc fcrticale entre les sect'ons A et «.

Distance Terticale entre 1rs sections A et A

Vitesse de la tranche infiniment mince f ii la section A. .. . et horisontale correspondante . . . ^ à Torifice «

Hauteur due à la vitesse u du fluide à ^'orifice

Hauteur d'un prisme de fluide ayant Torifice « pour base , et un Tolnme égal à odni du fluide écoule par cet orifice , pendant le teois t • •

Intégrale de -r— prisée

dans l'étendue de z

dans rétendue de A.

. Densité do fluide

! Le tems écoulé depuis le commencement du mouvement. . •

Nota. La caractéristique ^ indique les variations qui ne di^peodent pas du tems , mais seulement de la diitance de demi sections horisontales infiniment voisines ; la caractéristique d indique les variations qui dépendent du mouvemi nt d'un tranche élémentaire ou de son déplacement pendant TiDStant du

Lettres qui représentent les quantités.

Variablrf.

JV t

GonitantM données.

Extrait d*un Mémoire , ayant pour titre : Théorie ' plus complète des machines qui sont mises en mouvement par la réaction de F eau ; par L. Euler, académie de Berlin , Mémoires de tannée 1 764 > par M. Hachette.

Description dune machine hydraulique ^ fig. 7 , pi. 2.

L'axe autour duquel la machine doit tourner uniformément , est ▼ertical. Cette machine est composée d'un tambour creux de forme conicme^ et d'une enveloppe extérieure de même forme, qui tourne avec le tambour. Au-dessus de cet appareil , est un réservoir fixe y d'où Peau s'écoule dans l'espace compris entre le tambour et son enveloppe extérieure. Cet espace est ouvert par le haut, et fermé dans la partie inférieure par un disque , autour duquel sont placés plusieurs petits tuyaux ouverts par les deux bouts. Ces tuyaux sont coudés suivant les tangentes a un même cercle. La base inférieure ^u tambour mobile est d'un plus grand diamètre que la base supérieure. Le réservoir fixe a aussi la forme d'un tambour. Au fond de ce réservoir se trouvent plusieurs canaux séparés par de minces diaphragmes, qui servent à diriger l'eau sous l'incUnaison requise. Si le réservoir fournit autant d'eau qu'il en sort par les embouchures des tuyaux , les tuyaux sont constamment pleins d'eau, et le mouvement de rotation de la machine devient bientôt uniforme.

Euler conclut de la théorie de cette machine que, pour obtenir le plus grand effet possible , la vitesse de l'eau par les embouchures des tuyaux doit être précisément égale à la vitesse même de ces embouchures j auquel cas l'eau en s'échappant tombe verticalement.

Rapport fait à la Classe des sciences Physique et Mathématiques ae l'Institut, sur un ouvrage imprimé de Af. Hachette^ ayant pour titre : Supplément à la Géométrie descriptive de M* Illonge. (Séance du/lundi a3 mars 1813. )

( M. Caehot , Commissaire. )

La Classe m'a chargé de lui rendre compte d'un ouvrage imprime de M. Hachette 9 .ayant pour titre: Supplément à la Géométrie descriptive.

Le but de la GéQinétrie dtscriptiye est de représenter sor des

snrfiices planes j qui n'ont que deux dimensions , les objets qnî e^i ont trois ^ et réciproquement de retrouver la forme de ces objets à trois dimensions, d*après les dessins qui les représentent sur ces surfaces planes.

Le moyen qu'on employé pour y parvenir , consiste à faire sur ces plans les projections des corps proposés.

La science des projections en général se divise en deux branches, dont Tune est Pexérution raisonnée, rnais purement graphique de ces projections , et Tautre est leur théorie purement analytique.

Quoique ces deux branches de la même science ne soient^ à proprement parler, que deux méthodes différentes de traiter les mêmes questions, leurs procédés respectifs ont entre eux si peu d'analogie apparente , que l'identité constante de leurs résultats forme des rapprocbemens continuels ^ dont, on ne peut s'empêcher d'être frappé. On admire la correspondance intime de deux sciences qui vont toujours d'un pas égal 5 dont l'une n'employant jamais le calcul , semble être entièrement du domaine de l'imagination , et dont l'autre ne tirant du fond de la question que les données strictement nécessaires pour l'expression algébrique des conditions proposées, laisse ensuite à l'analyse la plus abstraite , la plus dégagée de toute antre considération y le soin de dénouer successivement toutes les difficultés , et de ramener enfin aux résultats les plut élémentaires que puisse comporter la nature de la question.

Cet accord imperturbable de ce que l'analyse a de plus transcendant^ avec ce que la synthèse ofn>e de plus simple et cependant de plus subtil , donne la satisfaction de voir deux théories si disparates au premier aspect, se confirmer cependant l'une par l'autre, s'expliquer, se généraliser réciproquement ; l'une en un mot, former des tableaux qui parlent aux yeux, tandis que l'autre s'occupe à les décrire aussi fidèlement qu'exactement dans la langue qui lui est propre.

Plnaienrs auteurs ont traité séparément les deux branches de U •dence des projections sans s'apercevoir, ou du moins sans faire remarquer leur liaison. D'autres au contraire les ont traitées conjointement j sans chercher à les isoler l'une de l'autre : Ciairaut , par exemple, donna, dès 1741 y un Traité particulier des courbes à double courbure , qui se rapporte a la branche analytique ; et longtems auparavant Philibert de Lorme, Mathurin Jousse, le Père Deran , Lame avaient donné l'art du trait appliqué à la coupe des pierres et à la charpente | lequel se rapporte à la partie purement graphique des projections. Enfin M. Frezier, ingénieur en chef à Landau , avait traité conjointement de l'une et de l'autre , sous le nom de stéréotomie j dans un ouvrage savant et rempli d'applications curieuses et utUes.

Maïs les m^tliodes de pure théorie n'étalent d'aucun usage dans les arts ; les méthodes de simple prati<[ue imaginées par des nomnies industrieux^ étaient reçues aveuglement et comme traditions par leurs successeurs, et les méthodes mixtes n'étaient accessibles «p'aux porsonnes plus qu'initiées dans la science du calcul. D'ailleurs toutes ces méthodes avaient l'inconvénient d'être trop restreintes , et applicables seulement à des cas particuliers.

M. Monge est| comme on le sait, celui qui a fait prendre nne face nouvelle à la science 'des projections y considérée dans toute 8ft généralité. Il en a soigneusement séparé les branches, en même tems qu^il en a fait ressortir l'intimité et les rapports: les discussions analytiques l'ont conduit à de profondes spéculations sur les équations aux différences partielles. Quant à ce qui regarde les projections purement graphiques, le but et le résultat des travaux de M. Monge a été de ramener celte science à des principes généraux j et à des règles uniformes y i une pratique tou^ à-U-Fois facile et rigoureuse ; d^en faire un corps de doctrine utile aux artistes qui ne connaîtraient que les élémens de la géométrie ordinaire , et d'en étendre enfin les applications à une foule d'objets qui paraissent n'avoir entre eux que des rapports tr^-éloignés.

Personne n'ignore non plus les services qu'a rr^ndus à cette science usuelle M . Lacroix , l'un des premiers qui se soient occupés d'en développer les bases et de les mettre à la portée de tous les lecteurs , par la clarté et la précision de l'écrit ( Complément des élémens de Géométrie ^ i vol. in-8®. ) qu'il a publié sur cette matière.

Diverses circonstances ayant empêché que M. Monge ne complétât les travaux qu'il avait entrepris sur ce sujet et sur ses applications^ M. Hachette s'est proposé de remplir les lacunes. Déjà il a publié plusieurs ouvrages qui ont cette destination \ tels que Y Essai sur la composition des machines , qu'il a composé en commun avec MM. Lanz et fiétancourt , et le Traité des machines , qu'il présenta Tannée dernière à la classe. Aujourd'hui il lui offre , sous le titre de Supplément à la géométrie descriptive y uae série de questions particulières qu'il a classées pour être rapportées respectivement à chacun des cinq paragraphes qui composent la Géométrie descriptive de M. Mon^e , et c'est de ce supplément que la classe m'a chargé de lui rendre compte.

Le premier paragraphe de M.' Hachette explique la génération des surfaces courbes , et ce qu'on doit entendre par les surfaces développables , leur arête de rembroussement, leur séparation en deux nappes par cette arête y leur axe de développement qui répond à l'axe des abscisses dans les courbes planes. 11 y donne des notidns générales sur les surfaces de révolution , les surfaces enveloppes ^ et particu^r

( a57 ) lièremetit les surfaces du second degré qu'il réduit à cînq ; savoir . f ellipsoïde , rhyperboloîde à une nappe , Vhyperboloîde à deux nappes , le paraboloide elliptique , et le paraboloïde hfperbalique, M. Hachette démontre diverses propositions nouvelles relatives à ces surfaces.

Le Second paragraphe contient quelques développemens relatifs au paragraphe correspondant de la géométrie descriptive de M. Mongc.

Le troisième traite du contact des surfaces courbes. On y fait voir que le plan tangent à un point quelconque contient nécessairement les tangentes de toutes les sections planes ^ ou à double courbure ^ qui passent par ce point. On y résout d'une manière nouvelle ce problème utile par son application dans les arts graphiques : trouver la courbe de contact d'une surface de révolution , ou d'une surface engendrée par la ligne droite , avec une surface conique qui a 8on sommet en un point donné de Tespace. On y traite en particulier du contact des sphères , et on y résout par des considcrations purement géométriques les problèmes relatifs à cet objet; problèmes que Fermât avait autrefois traités d'une manière très -élégante et très-simple y à la manière des anciens.

Le quatrième paragraphe traite des intersections des surfaces. M. Hachette applique particulièrement sa, méthode de discussion aux surfaces du second degré et aux courbes à double courbure

3ui résultent de Tintersection des cônes et cylindres du second . «gré.

Le paragraphe cinq est relatif aux courbes à double courbure dé* criles par un point qui se meut suivant une loi donnée. M. Hachette « pris pour exemples de ces courbes l'hélice décrite sur un cjUndre et l'épirycloïde sphérique. Il avait déjà fait des applications trèssntéressanles de ces considérations, dans son Traité des machines , pour expliquer la théorie de la vis d'Archimèdc , et des engrenages cjrlindriques et coniques*

M. Hachette termine son ouvrage par la solution graphique do Ions Jes problèmes relatifs à la trigonométrie sphérique j et par i'explication de quelques épures relatives- à des problèmes énoncés jdans la géométrie deNL Monge. L'exactitude, ainsi que la netteté Âa dessin y y est remaojuable^ et c'est une chose précieuse dans .cette géométrie.

Le travail de M. Hachette m'a paru digne de figurer à la suite ^e l'ouvrage dont il est le supplément \ et les savans ^Jainsi que les artistes ^ aecneillleront sûrement avec piaisir la promesse que fait l'auteur de compléter le Cours entier de géométrie descriptive par mx second aupplémenl ^ qui contiendra, la stéréotomie , la perspec* ^re cX 1m omores»