III. PHYSIQUE
Mémoire sur la réfraction de la lumière; par M. AMPERE.
La k riniticut» le 37 mars 16 15.
L'auteur de ce mémoire met soas une forme très-simple les valeurs de deux lignes qui déterminent ]a position d'un plan tangent à une surface donnée , et il emploie ces valeurs ainsi transformées j à démontrer ce théorème :
« Si dans le milieu où entre le nyon et par le point où îl rencontre la surface réfringente y on conçoit une infinité de droites dont les unes représentent des rayons réfractés , et les autres les proloDgemens des rayons incidens \ qu'on prenne sur ces lignes y a partir de leur intersection mutuelle , des distances qui soient en raison inverse des vitesses de la lumière suivant leurs directions , savoir , pour les premières y en raison inverse des vitesses qui ont lieu après la réiraction , et pour les secondes , de celles qui ont lieu auparavant ^ si par les points ainsi déterminés on cou-* çoit ensuite deux surfaces j dont l'une passe par tous ceux qui se trouvent sur les rayons réfractés , et l'autre par. tons ceux qui sont situés sur les prolongemcns des rayons incidens ; qu'enfin on mène deux plans j dont l'un soit tangent à la première surface au point 011 elle rencontre un rayon réfracté , et l'autre le soit à Jn seconde , au point où elle rencontre le prolongement du rayon in* cident correspondant ,, la commune intersectfon de ces deux plans tangens sera dans le plan qui sépare les deux milieux. »
De ce théorème sur les lois du mouvement de la lumière passant successivement par diflerens milieux , dépend la solution de toutes les questions relatives à la réfraction ordinaire et extraordinaire. Ponr donner une idée suffisante du travail de M. Ampère , nous cpmmencerons par ce qui est relatif à la détermination du plan tangent à une surface courbe ) nous rappellerons ensuite les lois du mouvement de la lumière dans le cas dont nous parlons ^ telles qu'elles ont été données par M. Laplace^ dans les Mémoires de l'Institue de 1809 , et nous terminerons cette note par la démonstration da théorème qui est le principal objet du mémoire.
Si l'on représente par x, y^ s, les trois coordonnées d'un des points d'une surface courbe , par { > 9 ; {; les coordonnées do plan
qn! la touçKe à ce point ^ et qu'on «appose pour abroger --r— s= i» .
dx dz •^^sszq, on aura poar Pëqaation da plan tangent i
En faisant { = o et « =:s o dans cette équation , on anra ponr la partie de Taxe de x comprise entre Torigine et le plan tangent i
et en j faisant { = oett=o, on trouTera que la partie de Taxe
des y comprise entre l'origine et le même plan est t
px + qy-^z
Les denx points détermônës par ces valeurs suffisent avec le point de contact pour donner la position du plan tangent ^ et on peut rendre très*aimples les expressions de f et de « , en changeant les variables indépendantes de la manière suivante :
Si l'on nomme 5 et / les tangentes des angles que forment avec l'axe des z les projections^ sur les plans des or r et des j^ jv de la droite menée de l'origine au point de contact, onaaraâ:=«Zy et 7- = / 2 ; en sobstituant ces valeurs dans l'équation de la sur* face représentée en général par F(x ^y f£)=zo , elle devien<dra / [Sy t y z)^=z o , ou l'on pourra considérer z comme une fonction des deux variables indépendantes seXt, on en tirera en
la différenciant les valeurs de -7-9 ^ de -7- prises daoi cett^
ds ai
soppoeition ; et conuue on aura d'ailleurs :
dz dx , dr ^ dz . dz
ce qui donne :
dz pz pz^ £^
ds I — ps^ qt z^^pX'^qy l '
et qu'on treavera de mime :
dz ^ qz ^ qz* z*
t>& en cohclarà pour { et « ces valeurs très-simples i
' i dz '
ds
z* ' ds
kt
"^^ dz ="■
"jL^'
dt
«» ■ dt
•M. Laplace a ramené tous les phéDomènes de la réfraction or^ dinaire et extraordinaire à deux principes, dont le premier conaiste en ce que la TÎtesse de la lumière j dans un milieu , ne dépend en aucune manière de la forme.de la surface qui termine ce milieu , ni de la nature de ceux qu'elle a pu traverser avant d'y entrer. En sorte que dans un nrilien non cristallisé , cette vitesse est une constante déterminée , et que y dans un milieu cristallisé » elle ne peut dépendre que de la direction du rayon relativement aut axes de cristallisation.
Le second principe est celui de la moindre action , en vertu duquel I -si Ton suppose qu'un rayon de lumière traverse successivement deux milieux séparés par un plan , et qu'on prenne un point fixe sur sa direction dans l'un de ces milieux y et un point fixe sur sa direction dans l'autre . la Somme des produits des distances de ces points fixes à celui ou le rayon passe d'un milieu dans l'autre , par les vitesses de la lumière suivant les lignes qui mesurent ces distances , est un minimum entre toutes les sommes de produits fonnés de la même manière relativement à d'autres points du plan qui sépare les deux milieux.
Au moyen de ces deux principes | il devient aîsé de démontrer le théorème énoncé pag. a35.
On prendra pour origine des coordonnées le point ciii le rayon de lumière passe d'un milieu dans l'antre ^ pour axe des z la perpendiculaire élevée à ce point sur le plan qui les sépare , et pour axea des X et des j^ deux droites perpendiculaires entr'elles prises à vo-
lonté dans ce plan. Alors les rapports — et— que nous avons nommés s t\ l seront les tangentes des angles que forment avec la normale à la sutface réfringente, pour la première surface les projections âa rayon réfracté sur les plans des xz et des^z , et pour la seconde celles du rayon incident correspondant , en sorte qu'en distinguant par des primes les lettres qui se rapportent à la seconde suriface, on aura pour déterminer le» points ou les plans tangens rencontrent
Vàxo d«a * et celui des /, ces valeurs s
-ETE «* * ds
dz
" dt
dz' '
If^
dtf
2jdz» '
Comniè deux angles suffisent pour déterminer la direction d'uni droite dans l'espace , il est ëvident que , de quelque manière que lea vîtcases de la lumière dans chaque milieu Soit donnée en fonctiort des angles que la direction du rayon forme avec leurs ates datis k cas ouilsftont crîsullisës, on pourra toujours par les formules connues de la trigonométrie sphérique^ exprimer ces vîresses par une fonction 9 r ^ , /) de ^ eW dans le milieu oii entre le rayon , et par une fonction + ( ^, z' ) dans celui dont il sort On trouvera aisément
9(^,0. i/r+TT^T^V
En nommant a et a' les perpendiculaires abaissées sur la surface réfringentes des deux points fixes » pris l'un sur le rayon réfracté et Fautre sur le rayon incident correspondant , on aura en vertu du principe de la moindre action :
c'est-à-dire :
Dans cette équation z est fonction des deux variables indépendantes i et / y et y Test des deux quantités s^ et ê , qui dé^ pendent de 5 et / en vertu de deux relations qu'on obtient facilement, en nommant h tic Ses projections sur J'axe des x et sur celoJ des^ de la disUnce des deux points fixes, ces relations sont ;
dantes
is-i^a^ s^=iby et ni+aftfs=ei qui donnent s
ds' di' a
ds "^ dt ***^a^*i
X>h en conclura pour i et n ces valeurs très-simples i
dz \ dz
ds z* ' ds
dz i dz
'M. Laplace a ramené tous les phénomènes de la réfraction on dinaire cl extraordinaire à deux principes , dont le premier consiste en ce que la vitesse de Ja lumière , dans un milieu, ne dépend en aucune manière de la forme.de la surface qui termine ce milieu, ni de la nature de ceux qu'elle a pu traverser avant d'y entrer. En sorte que dans un nrilien non cristallisé , cette vitesse est une constante déterminée , et que ^ dans un milieu cristallisé 9 elle ne peut dépendre que de la direction du rayon relativement aut axes de cristallisation.
Le second principe est celui do la moindre action , en vertu duquel ,81 l'on suppose qu'un rayon de lumière traverse successivement deux milieux séparés par un plan, et qu'on prenne un pomt fixe sur sa direction dans l'un de ces milieux , et un point fixe sur sa direction dans l'autre . la Somme des produits des disunces de ces points fixes à celui ou le rayon passe d'un milieu dans l'autre, par les vitesses de la lumière suivant les lignes qui mesurent ces distances, est un minimum entre toutes les sommes de produits formés de la même manière relativement à d'autres points du plaa qui sépare les deux milieux.
Au moyen de ces deux principes , il devient aîsé de démontrer le théorème énoncé pag. 235. ^ ,
On prendra pour origine des coordonnées le point où le rayon de lumière passe d'un milieu dans l'autre y pour axe des z la perpen iculaire élevée à ce poînt sur le pbn qui les sépare, et pour j^des X et des^ deux droites perpeudkuUures cDlrVll^''*W»ÊS a v^"
lonté dans ce plan. Alor^ les rapports — ^ et ^- qtscj
mes 5 et / seront les tangentes d es^n glea qu
maie à la sutface réfringente, poa^HBlrmicr^
du rayon réfracté sur les plads <l^kVt dcs^^^^^^^^ .
celles du rayon incident corro^'^^^K , «i^^^^^^^V-^^^
par des primes les letïrcs qui
aura pour déterminer Je
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Comme deux angles suffisent pour dëterminM- 1. J: ^. .. ■ droite dans l'espace , il e.l i^^KÙ^^ oueVdTiûlul 2^*^» «*"."• vitesses de la lumière dans chaqueUleu s2S S»„^'"'".'»~ '** des ançle.q«e la direction du îayoïïôr^f 1,1 ?°'' " ^-^^^ us où3s «Ï; crisullisés . on po„rtou™«r, j:^ tfo™". ^^ *• nues de U trigonométrie splTérique , À^^T^^^Z"^' fonc hon ^ f ;f , /) de * et / dan. le^milieu V« eni^fc ilt!? P" ""* une fonction \{s',lf) dans celui dont il sorU ^ ' ** f**
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