PROGRESSIONS

Des Progressions croissantes.

tf Elles sont de plusieurs espèces : i**. la progression par i , à-dire une progression dont chaque terme surpasse d'une

c«tunité

» le précédent. Pour trouver la somme de cette progression' il faut

V ajouter i au dernier terme , et multiplier ensuite par la moitié

V de ce terme. Pour trouver ensuite la somme des termes pron venant de Faddition continuelle des termes de la première pro- » gression , ajoutez deux au nombre de termes , multipliez par n le dernier terme , et divisez par trois ; le quotient sera la somme

» des termes de la seconde suite, n ,

Ces règles se réduisent , comme on voit , à trouver la somme des

nombres naturels et la somme des nombres triangulaires.

On trouve ensuite dans la traduction persane , une règle pour

la sommation des carrés et des cubes des nombres naturels.

La somme des n premiers termes de la première série est égale à

r — = . S et la somme des n termes de la deujçième série est S\

S étant la somme des n premiers termes de la progression naturelle.

Nous avons exprimé ces règles par la notation usuelle , et nous ferons de même à Végard des règles pour les progressions arithmétiques en général ^ qu'on trouve dans le même ouvrage , à la suite de celles que nous venons de donner. Ces règles sont ren^ fermées dans ces équations

a étant le prei^^r tlbue , m le terme moyen , z le dernier terme « d la différence , S la somme.

L'auteur indou a déduit la dernière de ces formules de la précédente y en résolvant une équation du deuxième degré assez corn* pliqnée, et dont ia résolution suppose une grande habitude dans ces sortes d'opérations.

Après ces règles sur la progresision arithmétique , vient immédiatement une règle pour trouver la somme d'une progression géométrique (♦). Elle ne diffère pas de la nôtre , et nous fait voir que les Indiens avaient des signes particuliers pour la multiplication et l'ëlévation des puissances.

(^} Nous la sapprimons prce que ton ënoncc est très-obscur daos U Içiduo* lion BOf(lai9«. ( fffoie dn traductwr français, )

n D*est pas bien sur qu'on ait connu en Europe ^ ayant Te seizième siècle , quelques-unes des règles contenues dans ces denx chapitres du Leeiavuttée. Pelletarius » dans son Algèbre imprimée en 1 558 , donne une Table des carrés et des eubes des nombres naturels , et entr autres propriétés de ces nombres , il fait remarquer que la somme des nombres cubiques , en partant de Funité , est toujours un carré dont la racine est égale à la somme des racines de ce nombre. Cette propriété s'accorde avec la rèçle du Leeiavuttée rapportée ci - dessus. Il ne parait pas que Tes connaissances des Indiens sur les nombres figurés s'étendissent au-delà de ce que nous venons d'en citer.

Sur la Mesure du Cercle et de la Sphère; extrait du Leelawuttée.

. Le Leelawuttée donne les règles smvantes pour trouver la mesure du cercle ^ et celle de la sphère.

Pour trouver la longueur d'une circonférence de cercle , mnP tipliez son diamètre par 8937 et divisez le produit par isôo, ou bien ^ multipliez le diamètre par asi et divisez le produit par 7. Nous voyons ici deux approximations ; celle de oa à 7 est la même que celle d'Arcbimède^ l'autre approximation revient â celle de i à 3yi4i6> rapport du diamètre à la circonférence > plus exact que celui des Européens avant les travaux de Viete. Parmi d'autres règles de géométrie , nous rapporterons les suivantes cTcprimées à notre manière, dans lesquelles D désigne le diamètre^ et C la circonférence

A C Z> = aire du cercle >

C D =z surface de la sphère y •J D* C = solidité de la sphère»

UJI D» = aire du cercle,

•r- + -^ =s la solidité de la sphère.

Cette dernière formule est vicieuse , apparemment par une faute d'impression. Nous l'avons rétablie par celle - ci qui doit être la véritable ,

Cette dernière évaluation diffère très - peu de la nôtre qui est o,5a3Ga3.

D désignant le diamètre, Cla corde, ^ le sinus verse de l'arc o^

fm aTéqnatîon J D — i \/( D« -^ C») = 7^. Ce théorème est d^une

exactitude géométrique; 1 auteur en déduit celui-cîa V^(Z>/^-F'*)=:6.

- Mais les deux théorèmes qu*il donne ensuite ne sont que des ap-

' proxîmations ; ils sont renfermés dans ces deux équations

C^ où c désigne la circonférence.

La corde C est trop grande presque d*^^ partie de sa longueur pour un arc de deux degrés > Fexpression étant exacte jusqu'à la quatrième figure décimale inclusivement ; et elle donne la corde trop grande de la soixante-sixième partie de sa longueur pour un arc de 3o degrés , Texpression n'étant exacte que }usqu'à la troisième figure décimale ; mais on ne voit pas comment ils sont parvenus à cette formule (^). La seconde équation est

{^) Noie de M, Seryoû, professeur aux Ecoles Royales Militaires d*Artillerie.

On a ponr le rayon i et la circonférence a^r,

sîn a = a < I — *-^ -f- «c. V

A <^tant nn orc de la circonférence 3sr. Le ainua du même arc a en parties da rayon de^la circonférence c, sera

En s^en tenant anx deux 'premiers termes dn déyeloppement, on a une formola approximatÎTe d'aaiant pius exacte, que Tare a sera plus petite en faisant

sin a = 6,a8x (i — 6,57Jr») , oo bien sin a = (S,a8x {i — x\/637} {» + ar^/S^}

sin à r= 6,aar {i — a,56x } { i -+-a,5Gar } ,

on bien encore parce que i + af56* = =r ••—. — =7; — r-

■^ ^ ' 1 — a,50x -h ( î,5(mc )•

sm a = 6,a8af { ^^—7-^ cFS C

t)ans cette fonnnie on peut altérer un tant soit peu le coefficient numérique , pourvu qu'on en laisse un & déterminer, par la condition que la formule soit exacte £ns nn cas particulier, pris parmi ceux oii la formule commence à s^écarter sensiblement de la vérité : ainsi écrivons

sin a = 6,4ar \ ^ ^ . J.«.(0 >

et supposant que la formule est vraie pour iVc a = 3o* ( \^^* division } > aloit

Elle est tirée de la première, en résolvant Téquation da second degré.

Nous allons extraire du même ouvrage les expressions des longueurs des côtés des figures régulières inscrites dans les circonférences.

triangle Hi^ D.

carré ^^^D.

pentagone Hèè^D.

hexagone t^^ Z>.

heptagone ^HèhD.

octogone rèêêh ^^

nonagone. . ....... -^i^ D.

Trois de ces nombres sont fautifs apparemment par une faute du copiste y on a corrigé ces nombres dans la colonne adjacente.

Corracùons* triangle i|||f|I>.

heptagone......... ■^^^.

nonagone.

X =s ; 2- : ainsi' on a pour detenniner A^ l'cquadon

d'nh ^ a f .

Ainsi rëqnation (i) derient

6, 4x(i— ax) 8x(i— ax)

sm a = ' r^> T a= a '

on bien

I— {x(i— ax) J — X (I — a^r)* 8tf f c — a« )

Je» — aa( c — aa) mais sin a = â cord. a^l ; donc

cord. ait '•