ag (c — ag
' } c« — aa ( c — aa) *
on bien, en changeant ag en a
j 8tf(c— tf) cord. a =r -— ^-^-^ :,
c^e8t->N-dire dans Thypothèse dn diamètre = a ; lorwjae le diamèue scm /> y tt la drconfcrenoe c, on aura
cord. a zs. r-- ; r;
c^est la formule de Tindou.
Fin de la Noce de M. Serrots.-
Sur les Équations radicales du second degré; extrait du Leelawuttée et Beij GunniU
La résolution des équations radicales dv second degré est pré^ aentée ainsi dans la traduction du Leelawuttée.
u Lorsque le produit de la racine du nombre pensé y multiplié 9) par un nombre connu , est donnée et que la somme de ce pro^* D duit, ajoutée au nombre pensé , ou que la différence de ce pro* p duit ^ retranchée du nombre pensé / est aussi donnée , il faut , yi pour trouver ce nombre pensé , suivre cette règle : prenez la p moitié du multiplicateur de la racine > et élevez cette moitié aa 7) carré ; ajoutez à ce carré le second nombre donné ; extrayez fa 9) racine carrée de cette somme ^ ajoutez ou retranchez la moitié du 71 multiplicateur de la racine, selon qu'il s'adt dans la question , 7) d'une soustraction ou d'une addition. Elevez le résultat au jî carré j et ce carré est le nombre pensé, p
Cette règle s'accorde parfaitement avec nos procédés. En effets ^ mettant la question en équation , il vient ^
X ih a V^ = & ; d'où Ton tire ,
Lorsque le muhiplicateur du nombre pensé est fractionnaire , on donne dans l'ouvrage la règle suivante pour débarrasser le nombre pensé de son multiplicateur.
a Lorsque le nombre pensé est augmenté on diminué de ce 7) même nombre pensé , multiplié par une fraction y il faut pro« 7) céder ainsi. Augmentez ou diminuez la fraction de l'unité , diyi visez le multiplicateur du nombre pensé et le second nombre 7) donné respectivement par cette somme ou cette différence » e.t Y) traitez le quotient comme il a été enseigné ci-dessus. V>
En effet 9 taisant usage de notre notation , on obtient l'équation X ±L^x±La V^îc^= h y divisant les deu^ nombres par m
1 4. 2- il vient xdb— = ; d'où l'on tire çomm©
ci-dessus > en remplaçant a et & par les quotiens
•21» ' jn
]a valeur (}e ri^^conniie.
La traduction du Beij Gnnnit renferme les mêmes objets , maîi lis aont traités d'une manière plus obscure. Voici nn exemple de "résolution de Téquatîon 'du second degré , aa^ -f- ^^ = ^*
a Multipliez tous les termes par 4a ^ il yient
.9) ajoutez le carré de i aux deux nombres > on obtient ceci
4i^x^ + 4abx + i* = i* + 4ac,
7> d*où Ton tire
^ \/(i^ + 4ac) — b
aa
Ce procédé par lequel on évite les fractions , est plus aisé qne le nôtre en pareil cas.
L*anteur s exprime sur les deux valeurs qu'on obtient dans une équation du second degré , en ces termes ;
tt Lorsque la chose se trouve d*un côté , les nombres étant '7i négatifs , et que les nombres de Vautre côlé sont moindres que » les nombres négatifs du premier côté j il y a deux méthodes à r suivre : la première consiste à égaler ces nombres entr*eux sans V les changer; la seconde consiste à rendre négatifs les nombres y) du second côté, s*ils sont positifs, et à les rendre positifs s*ils f) sont négatif; formez ensuite Téquation, on obtiendra deux r> valeurs , dont Tune satisfera probablement à la question, n
Malgré Tobscurité de cet énoncé, on voit qu'il doit se rapporter «à deux racines positives d'une certaine équation radicale du second degré. Les exemples que nous venons d'extraire du Leelawuttée et du Beij Gunnit , nous apprennent que la résolution des équations du second degré était aussi avancée parmi les Indiens aue parmi les Arabes , et même chez les Européens , avant Je siècle de Cardan, Lucas de Borgo, dont l'ouvrage fut imprimé vers la Sn du i5* siècle , fait usage dés deux valeurs de Y inconnue , dans le cas seulement où ses valeurs sont toutes les deux positives , mais il n'a aucun égard aux racines négatives.
Voici encore un autre, exemple d*une équation radicale dus^ fK)nd degré, résolue dans le Beija Gunnita.
{i Un essaim d'abeilles placé sur un arbre , la racine carrée
rt de la moitié du nombre d'abeilles s*envole, et ensuite les | r> du nombre d'abeilles ; il en reste deux : on demande corn- V bien il y avait d'abeilles ? »
Cette question qui , traitée à la manière ordinaire , en prenant X pour le nombre inconnu d'abeilles , mène à une équation asseas compliquée, est résolue avec beaucoup d'adresse dans l'ouvrage iudien.
£n effet , en prenant x pour l'inconnue cherchée , on est conduit à l'équation ,
07— fa?— V^i x = a, ou bien J-rr — |/f a; = fl.
L'auteur prend pour inconnue la quantité îu^, qu'il suppose égale au nombre cherohé d'abeilles , et obtient ainsi l'équatioa trèi-simple,
SX* — -ï^a:* — x=3fl, ou bien , | x* — » X = fl, équation dont la solution est plus aisée«
Des Problèmes indéterminés du second degré; extrait de Diophante et du Beej Gunnitj ou mieux y du Bija Ganita.
La seizième question du sixième Livre de Diophante est énoncé» en ces termes :
u Etant donné deux nombres et un nombre carré tel , qu'en 30 retranchant le premier de ces nombres du produit du nombre n carré , multiplie par le second nombre , le reste est encore un ji carré. On demande à trouver un carré plus grand que le pren mier qui remplisse les mêmes conditions. Soit, par exemple, )7 3 et 1 1 les deux nombres donnés , et a5 le carré donné ; en n multipliant 3 par aB, on a 76 pour produit; si l'on enjôte 11 , Tfi qui est le second nombre , le reste 64 est le carré parfait ; il T) s'agit de trouver un carré plus grand que a5 y qui jouisse de I^ TD même propriété à l'égard des nombres 3 et 1 1 ; supposons que. y> iV + 5 est la racine du carré cherché , le carré de cette quan^ n tité est iV* + 10 iV+ a5 ; le triple de ce carré, diminué de 1 î^ fl laisse pour reste la quantité 3A^* + 3oIV+ 64 > ^^> d*après 1^ 5^ question, doit être un carré parfait; supposons la racine égal'o^ 3, à TV — 8', on tire de cette supposition , (en formant V équation), „ 2V=6a, et A^ + 5 =:Ga+ 5= 67-, 67* = 4489-, ainsi 4489^ n est lé carré -demandé. »
Dans le Bija Ganita, ce même problème est aussi résoin „ inais par une méthode plus générale et plna scientifique^ et ;àv^
( la ) Falde d'un autre problème qui est resté inconnu en Europe }imque vers le milieu du 17* siècle , et n'a été appliqué aux questions de ce genre, que vers le milieu du 18* siècle , par £uler. Xiorscpie l'équation indéterminée a cette forme , ax^ + * = y > le Bija Ganita indique ce moyen pour trouver de nouvelles valeurs. Soitao^ + 6= A^ un cas particulier; cherchez deux nombres m et n qui satisfassent à l'équation an^ + 1 = m' ; et posant
"1^3 ^ ol /iff I ' '^ nombres x et y satisfont à l'équation proposée.
On trouve dans le quatrième et le cinquième chapitre du Bîja Ganita , des méthodes générales pour la résolution des équatioas indéterminées des deux premiers degrés , et qui diffèrent entièrement des méthodes dont Dîophante s'est servi. Selon l'opinion de M. Strachey , qui paraît extrêmement probable , l'ouvrage indou abonde en théorèmes et en artiJSces très-ingénieux , qu'on chercherait vainement chez les Grecs. Tels sont , par exemple, l'emploi d'un nombre indéfini de quantités inconnues et de signes propres à les présenter , une bonne arithmétique des irrationnels . une théorie complète des équations indéterminées du premier degré, et une connaissance assez étendue des équations indéterminées du second degré. La disposition et la mediode des deux ouvrages indou et grec, diffère autant que leurs contenus. Le Bija Ganita forme un corps régulier de doctrine. Il n'en est pas sànsi de l'ouvrage de l'analyste grec. Le premier présente un ensemble dont les parties sont bien liées et bien développées , abondant en règles dont le caractère de généralité dénote une science profonde ; ces règles sont éclaircies par des exemples , et les soin* lions sont préparées avec art. Le dernier , quoique non entièrement dépourvu de méthode , donne peu de règles générales , et «e distingue principalement par l'art et l'habileté de l'auteur, dans le choix des suppositions qu il fait pour parvenir aux solutions de ses questions particulières. L'ordre systématique de l'ouvrage indou fait apprendre l'algèbre comme une science; tandis que l'ouvrage grec augmente la pénétration de l'esprit, par le grand pombre de solutions ingénieuses > de problèmes très-aifEciles qu'il contient. Le Bija Ganita est la production d'un compilateur savant et laborieux; Diophante s'annonce comme un homme de génie qui écrit sur une science encore dans l'enfance.
A ces renseignemens , extraits principalement , comme il a été dit , de la notice imprimée de M. Strachey, je vais joindre d'autres particularités curieuses concernant les deux ouvrages indous, et que j'ai apprises récemment de M. Davis, baronnet. P^ plus j feu M. Açubou Burrow a rçcueilli dan^ lea Ind^
beaucoup de manuscrits sanscrits et persans ^ qui traitent àtë Mathématiques. Les ouvrages persans sont des tradtiùtions d'ori- {finaux sanscrits. Ce savant orientaliste a légué plusieurs de seà manuscrits à un fils qui est en Angleterre , avec la condition de ne les lui remettre que lorsqu'il aura acquis la connaissance des langues et des sciences. Il a aussi légué un ou deux manuscrits à son ami M. Dalby, professeur de Mathématiques à TÉcole royale militaire deWycomDe; les traductions persanes du Bija Ganitd et du Lilawati , avec Tessai dune traduction anglaise de ces ouvrages , sont déjà entre les mains de ce professeur. Cette tradùc-^ tion > ébauchée par M. Burrow , écrite au crayon interlinéairemeiit> court risque d*être effacée; heureusement M. Dalby vient de recevoir de M. Strachey , maintenant aux Indes , une traduc-' tion anglaise complète du Bija ^ que j'ai eue pendant quelques tems à ma disposition. A cette complaisance M. Dalby a ajoute celle de m'envoyer des remarques aescriptiyes sur les manuscrits originaux persans. Ce sont là les sources où j*ai puisé les ren-* seignemens que je vais transcrire.
Le premier ouvrage porte pour titre ce mot : le Beej , ou le Beej Gunnit (c'est la prononciation des Indiens; mais ils écrivent Bija Ganita) , et paraît avoir été traduit en persan Vers Tan- . née i634; M. Burrow désigne l'Algèbre par le seul mot le Beij i mais dans l'Introduction persane on trouve ces deux passages :
a Le Beij Gunnit. L'auteur est Bhasker Acharya , fiuteur du 71 Leelawutée. r^ a Cette excellente méthode de calcul est traduite n en persan de l'indou , et se nomme le Lii^re de la Composition n et de la Résolution, rt Les deux mots indiens traduits ici par ces mots composition et résolution , sont dans d'autres endroits rendus par le seul mot u Algèbre m. Les deux mots persans qui répondent à Bija Ganita en diffèrent matériellement; ensorte que, les auteurs persans et arabes paraissent s'être attachés au sens plutôt qu'à la prononciation du sanscrit. Un commentaire du traducteur persan , sur l'original sanscrit, remplit une partie du manuscrit. Dans un endroit il fait mention d'un Dictionnaire d'algèbre , sans citer ni l'auteur , ni la date.
L'ouvrage, divisé en cinq parties ou livres, commence par l'explication des quantités positives et négatives , qu'il caractérise par des termes désignant 1 existence et la non-existence , ce qui est analogue aux idées de propriété et de dette dont nous nous servons quelquefois pour expliquer la nature de ces quantités. Le» quatre premières opérations viennent ensuite , comme chez nous. De là on passe au calcul des irrationnels , qui est traité avec, beaucoup d'étendue; on croit même y apercevoir une méthode générale pour dérelopper les puissances d'un polynôme irration-
^eï , . et qui paraît Avoir quelqu'analogîe avec noa rèdes combk natoires. Ensuite viennent des problèmes d'analyse indétenuinéa , qui se suivent dans cet ordre :
Problèmes sur les carrés. Par exemple (en se servant de notre notation). Trouver des carrés parfaits de la forme Syx'-J-i, 6ix*+i, l3x"+ i ^^ ou en général de la forme ax* + A.
Problèmes qui mènent à des équations du premier degré , application aux propriétés des triangles.
Problèmes sur les carrés.Par exemple. Faire que xifcy et assoient tous les deux des carrés parfaits; faire que x'+jr et J?*+y soient des carrés parfaits ensemble.
Quelques problèmes qui mènent à des équations du second degré.
On dit aussi quelque cbose de Téquation du troisième degré; mais Tauteur paraît avoir senti rimpossibilité de résoudre cette équation généralement. On y trouve Ténoncé très-concis d'une règle qui permet de soupçonner seulement l'existence d'une solution mécanique; car il y a ici une lacune dans la traduction.
Plusieurs problèmes sur les carrés. Exemple. Trouver des nombres entiers qui rendent carrés parfaits les expressioci suivantes :
x^Xy] '""^'^1®' yJlgjP+î} ««"«"We; ^+j;*} ensemble; îljljljla } «"«e^bl»'» 5+^»+î } ensemble;
Finalement, toutes sortes de questions indéterminées, dans le êenre des questions de Diophante , sans être les mêmes que celles de cet auteur. Cette circonstance seule prouverait une différence d'origine qui est déjà constatée par la différence dans les moyens de solution. Ces questions sont quelquefois assez difEciles;. M. Burrow a écrit en marge les solutions de quelques-unes , d'après les procédés en usage parmi nous.
On trouve dans le même ouvrage trois à quatre problèmes indéterminés qui se rapportent au triangle rectangle. Là on s'attend natiurellement à voir citer la 47* proposition du premier livre d'Euclide. Mais au lieu de cette proposition on cite la figure de la chaire nuptiale; De cette circonstance , et de quelques autres ouvrages des Indiens , nous pouvons conclure qu'ils connaissaient ce théorème et plusieurs autres de notre géométrie , et il est très-probable que c'est chez eux que Pythagore a puisé
toutes ses cônnaîasdnces*, qu*il a apportéer ensuite i sea- compjK triotes , après son retour en Grèce.
Les opérations ayec le zéro se font conune parmi nous, Burrow
traduÎ!iit d'abord le quotient - par le mot infini; il a ensuite
effacé ce mot et Ta remplacé par ceux-ci : rCeitpas compréhensible. Apparemment qu'il entendait par là être inassignable.
Quant à la notation employée dans le manuscrit , il parait que les quantités inconnues sont représentées par des lettres ou des. caractères qui portent en partie le nom des couleurs. Quand il n'y a qu'une seule inconnue , elle est désignée par un caractère particulier nommé majool. Lorsqu'il y a deux inconnues, la seconde prend le nom de aswad, qui veut dire noire. Dans le cas d'une troisième inconnue, elle porte le nom de n^e/o/i (6/eue); la quatrième est dite /aune, etc.
Le Majool a pour marque ( voyez la planche première. )
Âswaad
Neelok
Les autres maraues sont plus simples.
Le signe positii est , et le signe négatif est
Le signe pour la quantité inconnue ou cherchée d*une équation est ; toutes ces marques sont des mots arabes qui indiquent certaines opérations à faire. Le nom technique de la quantité inconnue est chose, voulant par là désigner expressément la chose qui donne Heu à la question oh à la recherche. Il est à remarquer que les premiers auteurs italien^r qui ont écrit sur l'Algèbre, ont pns le mot cosa pour désigner l'inconnue. De là cette science et les nombres cherchés furent lonç4ems connus en Europe sous les noms d'art cossique et ae nombres cossiques.
Le caractère suivant , placé à côté de l'inconnue , sîgni&e fpi'il faut élever Pinconnue au carré; celui-ci , qu'il faut élever Tinconnue au cube. Il y a aussi une marque qui indique l'extraction de la racine carrée, et une autre pour l'extraction de la racine cubique. Les puissances supérieures sont formée» «t dénommées en répétant et combinant ces signes entr'eux. Ainsi la quatrième puissance est nommée carré-carré; la cinquième, carré-cube ; la sixième, cube-cube, et ainsi de suite, en com-^ binant les puissances par voie de multiplication.
Il ne parait pas qu'il y ait de signe analogue à celui dont nous nous servons pour unir les quantités composées entr'elles.
Chaque formation d'équation est précédée de ces mots j'égaiç ou égalant, et toutes les opération» en général sont décrites en
. ( ié )
IAirasea très^ongttei. Toutefois M. Davis m*appi*enâ que iâné es originaux sanscrits , les Indiens, au lieu de se servir de la notation verbale que nous avons rapportée ci-dessus , abrègent les mots et n'en prennent que les lettres initiales « usage pratiqué long-tems en Europe.
Les Indiens emploient ces lettres initiales , comme nous les lettres a , b, c pour représenter des nombres. Ce signe || marque l'addition. Ainsi a || & || a; équivaut à a-4-&+jr. Un point placé sur la lettre indique que la quantité est négative ou soustractive. Pour désigner la multiplication , on écrit les facteurs à côté les uns des autres , sans interposition de signe, comme chez nous;
ainsi abx veut dire a X i X — x; ils écrivent a côté de la quantité la lettre initiale du mot qui déijigne l'exposant de la puissance ou de la racine qui doit aEFecter la quantité. Par exemple , c étant la lettre initiale du mot cafré , ils écrivent ac pour dire qu'il faut élever au carré la quantité a ; de même ar équivaut à t/a, r étant l'initiale du mot racine.
Ce signe est placé à la droite de la quantité , au lieu que nous le plaçons à gauche.
M. Da:vis m'informe» de plus, que les caractères sanscrits dont les Indiens se servent pour désigner les inconnues ont cette forme . M. Charles Wilkins,
libraire de la Compagnie des Indes Orientales , a eu la bonté de me fournir les caractères d'imprimerie et de m'en donner l'explication. Le premier caractère se prononce pa; c'est la syllabe initiale du mot panda , qui veut dire blanc.
Le second se prononce kày initiale de kala^ noire.
Le troisième nï, initiale de nila , bleu.
Le quatrième pi y initiale de pila, jaune.
Le cinquième /ô, initiale de lôhitâ, rouge.
Voici maintenant, selon M. Wilkins, les étjmologies des noms sanscrits des deux ouvrages. Lilawati est un adjectif du genre féminin, dérivé du mot uîa , qui signifie également jeu , amusement , plaisirs , recherches, efForts ; ensorte que le titre peut également se traduire par Livre de Récréations-, on Livre de Recherches, •— Bija , proprement dit P^ija , signifie une se^ Bience, ou l'origine de quelque chose. Ganita est le participe passé du verbe gàn, qui veut dire compter, calculer, etc. ; ainsi iija gannita est une épithète composée qui, traduite littéralement , signifie la semence calculée , la source ou la racine calculée.
Il est bond'observerque les titres des ouvrages sanscrits indiquent rarement leurs contenus. Il faut encore observer que dans ces der^
— 3x +fly
luers ouvrages, les signes positifs et négatifs et les coefEcIent sont toujours placés à la droite de la quantité qu'ils affectent; ainsi pour exprimer le produit + axy , on y trouve aay + , ou bien ayCi+, Cette dernière manière est surtout d'usage dans )es traductions persanes , parce que l'écriture persane se lit de droite à gaucbe , tandis que le sanscrit se lit de gauche à droite, comme la nôtre.
Nonobstant cette différence dans le sens de l'écriture, les Persans n'emploient et ne traduisent pas à rebours les nombres sanscrits. Exemple. Le manuscrit sanscrit sur l'Algèbre contient cent cinquante-trois feuilles ; ce nombre est exprimé dans la traduction persane par [[ pL i",] (i53) ; ces caractères sont arabes et diffèrent aujoura'hui des caractères indous , quoiqu'ils soient évidemment dérivés de celui-ci. Cette circonstance ajoute à la probabilité de l'opinion que les Persans ont tiré l'art de calculer des Indiens , mais indirectement^ en le tenant de seconde main des Arabes.
Dans la traduction persane, les termes résultans de la multiplication des deux polynômes -f-/y sont disposés à l'instar de la \^ Table de Pythagore , ainsi qu'on le voit dans le tableau ci-joint, i" } oii l'on a multiplié le polynôme -»— 3j>|-2y — 2 par le polynôme -|-4j^— ^^»>|-i«
Les calculs ne sont pas distingués du discours; tout est écrit dans la même ligne , comme on en voit des exemples dans les anciens ouvrages de Burgo, deBombelli, etc.
L'auteur parle toujours à la première personne. Exemple. J'opère ainsi ; je multiplie , etc.
Les commencemens des chapitres sont distingués par de l'encre rouge.
J'ai déjà dit plus haut que les Indiens résolvent l'équation du deuxième degré comme nous , en complétant le carre. J'ai remarqué qu'ils ont une méthode semblable pour résoudre dans quelques cas les équations des troisième et quatrième degrés. Voici des exemples tirés du Bija.
Soit l'équation x^+ i aj = 6x* + 35 ; en soustrayant des deux membres, 6x*+ 8 , il vient x^ — 6x* -j" iQ,r— 8=27.
Les deux membres sont des cubes parfaits *, extrayant de part et d'autre la racine cubique , on a x — a = 3 ;
d'où x=5.
Soit encore l'équation x* — 4^ox — ax* = 9999 ,
-laxy
— 2xy
+ax
+ay
(276) ë(^atioii qui n*e$t pas facile à compléter. L*auteur afonle d'abonl atix deux membres le binôme 4^ox + 1 , et il obtient la nou^ velle équation j:*—- ax^+i =4ooj:-f-ioooo; ex trayant de par t et d'autre la racine carrée , il vient jc*--i=V^4o^>jr+ioooo. Comme le second membre n'est pas carré parfait, l'auteur revient sur ses pas et prend une autre voie. Il ajoute aux deux membres la quantité ^x* 4~ ^^^ox 4* ^ > î^ obtient ainsi l'équation x^ + aor* 4-1 »= 4^^ + 4oo J^ *+■ loooo., dont les deux membres sont des carrés parfaits. Extrayant la racine carrée , il vient x'-H i = su;+ loo ;
d'où a:* *— âx + 1 =s loo ; extrayant de nouveau la racine carrée, ona X •— 1 =: lo ; d'où X = 1 1 •
Ce procédé a ({uelque ressemblance avec celui quia été pratiqué depuis 9 sinon imite par Louis Ferrari. Quoi qu'il en soit, à l'exception de quelques cas particuliers, il ne paraît pas que les Indiens aient eu quelque méthode générale de résoudre les équations des troisième et quatrième degrés ; car à la suite de l'exemple précédent l'auteur ajoute avec emphase : a La solur> tion de telles questions exige un jugement droit, assisté du
V secours de Dieu, p
Les solutions de quelques problèmes d'analyse appliquée prin« cîpalement aux triangles rectangles ^ qu'on trouve à la £n du premier lâvre du Blja , font présumer que les Indiens connaissaient bien les propriétés ae Géométrie contenues dans les Elémens d'Euclide. Quel(|ues propositions de cet ouvrage sont citées sous des noms particuliers , et d'autres , selon M, Strachey, portent le quantième de la proposition et du livre d'Euclide ; mais il est à croire que la dernière sorte de citation est une addition du traducteur ou du copiste. M. Strachey dit qu'il y a, deux exemplaires où les Elémens sont cités sans être dénonîmes. On cite » par exemple , les quatrième et huitième propositions du deuxième Livre, sans dire de quel ouvrage. La qua^ trième est textuellement ainsi citée : a Par la quatrième figure du
V deuxième livre, d Et la huitième , par ces mots : a Par cette jy figure.)) Et la figure pour la démonstration de cette proposition est en marge. La figure de la fiancée est une épithète qui sert à désigner le théorème de P3rthagore. Dans un exemplaire on trouve ces mots : « Car la somme des côtés ( du triangle ) eî»t n toujours plus grande que l'hypothénuse pour la proposition n à l'âne, n
Parmi les problèmes d'analyse appliquée , on trouve celui-ci : tf i5 et ao étant les deux côtés d'un triangle rectangle , on den mande à trouver l'hypothénuse?»
. L^auteur fait là-dessus cette observation, a Quoiqu'on saclie par Ti la figure de la fiancée , que rhypotfainuse est la racine carrée i de la sopime des carrés des deux côtés^ pour obtenir une solution
V algébrique du problème , il faut procéder ainsi : supposons le p triangle divisé en deux autres par la perpendiculaire abaissée du
V sommet de Tangle droit; calculons le segment du triangle rec-
V tangle qui a |5 pour hypothénuse , et le segment du triangle
V rectangle qui. a ao pour hypothénuse ; établissant ensuite l'équa-* n tion , on aura ce qu'il faut, n
Le langage un peu obscur de Toriginal se réduit à ceci. Soit jéBC un triangle rectangle en B ; jiB = se , et BD une perpendiculaire abaissée sur BC = i5
br ^Z>+CZ>=^Ci donc i5^^ = 5^ = ^C.
(^C)* = Sa5, d'où AC= v/6â5=a5.
Après ce problème , vient immédiatement le théorème suivant : u le carré de Thypothénuse d'an triangle rectangle est égal à a deux fois le rectangle des côtés de l'angle droit , plus le carré
V de la différence de ces côtés. Car en plaçant quatre triangles r rectangles égaux , de manière que leurs h]rpothénuses forment f) les côtés d'un carré ; il y a au milieu de ce carré , un petit r carré dont le côté est égal à la différence des côtés de Tanglo 7) droit ; et comme Taire d'un triangle rectangle équivaut à la n moitié du rectangle de ces côtés , il s'ensuit que l'aire des quatre
V triangles rectangles égaux, est équivalente au double du reo» t) tangle des côtes de l'angle droit , c'est-à-dire , à 600 dans -i) l'exemple précédent. A ce nombre , j'ajoute 25 , qui est le petit
V carré du milieu (car 5 est la différence des côtés ao et 1 5) , et la n somme 6a5 est le grand carré construit sur l'hjrpothénuse, d'où 2) l'on tire la grandeur de cette hypothénuse ou chose cherchée. 7) De là on peut conclure aussi que la somme des carrés de deux
V nombres , est égale à deux fois le rectangle de ces nombres «
V plus le carré de leur différence, w
L'original porte en marge la figure (p/. 1 ) de quatre triangles égaux , réunis comme il est dit dans le théorème. Cette nouvelle démonstration du théorème de Pythagore est remarquable , en ce qu'on peut la regarder comme la démonstration indou de cette celèbre proposition. Peut-être même que cette figure géométrique, qui ressemble assez à celle de la chaise dont on se sert dans le pays
( aSô ) ^
Le moyen de rendre rationnelle l'expression k (ax + ''^y^^+Cy > en faisant ax + 'n)^= . ^ est indiqué dans TouTrag^.
Outre ce que nous venons d'extraire ^ le Bija Ganita renferme plusieurs recherches curieuses qui font présumer , dit M. Strachej, que les Indiens possèdent des ouvrages très-întéressaris sur cette branche de rAigèbre. Il est probd^le qu'on trouvera dans ces ouvrages une théorie des fractions continues ^ des méthodes d'ap-
§roximations et des théories de séries et d'équations. Les règles u cinquième Livre du Bija y et les applications qu'en fait l'auteur , donnent Ueu à penser que les Indiens avaient quelaues connaissances des courbes et de l'usage des mathématiques clans la philosophie naturelle. Il est donc très-probable , comme nous l'avons déjà avancé; que l'Algèbre est originaire de l'Inde, ainsi que l'Arithmétique. Il est vrai que nous avons à cet égani peu de notions certaines, et que même les Arabes attribuent l'in-vention de l'Algèbre aux Grecs. Mais cette assertion des Arabes devient très-problématique, ouand on considère que- l'Algèbre de ce peuple diffère considérablement de l'Algèbre de Diophante , et qu'il est très-douteux que les Grec» aient jamais eu une Algèbre autre que celle de Dioph4nte; d'ailleurs la facilité qu'on avait à Alexandrie de communiquer avec les Indes , rend trèsincertaine l'origine grecque de l'Algèbre de Diophante; et la composition bien plus récente du Bija Ganita ne détruit pas cette incertitude; car il ne faut pas oublier que l'ouvrage sanscrit a été précédé par d'autres bien plus anciens , ainsi que l'a trèsbien prouvé M. Davis , dans un savant Mémoire sur le cycle de 60 ans, inséré dans les Recherches asiatiques. C'est de' ces anciens ouvrages indous , dont l'existence est très-probable , qu'au^ ront été tirés non-seulement le Bija Ganita, mais anssil' Algèbre des Grecs et des Arabes.
Sur le Lilavtui.
Le Lilavati, le second ouvrage indou dont il a été question plus haut, traite des mesures des corps, de Tari^hmétique, etc. Dans l'Introduction, nous lisons que u l'auteur de la collection y) du JJIavati se nommait Bhasker Acharya , de 1^ ville de Ti Bidder n , sur la frontière septentrionale de Tlndostan. L'époque précise de la publication de l'ouvrage n'est pas bien connue; mais dans un autre ouvrage du même auteur, de l'année iio5* da
Salhaban , on trouve les raisons qui ont déterminé Bhasker à composer le Lilavati. Or le Salbahan^ suivant la chronologie des Indiens , commence à l'an 80 de notre ère ; donc le Lilavati a dû êtte composé vers l'année 11 85 de l'ère chrétienne.
Dans le Ayeen Akber^ ( ouvrage persan sur l'histoire , les mœurs , les lois des Indiens ) , nous lisons que a Achaiya était }) un sectateur de Jina , qui expliquait les ^imcultés aux élèves. )) De là nous pouvons conclure que Bha^er enseignait les mathématiques.
Le Lilavati commence par donner les premières règles de l'Arithmétique ^ et passe ensuite aux fractions , aux extractions des racines, etc. La règle d'alliage est traitée avec beaucoup d'étendue. Vers la En on trouve quelque chose sur ce que l'auteur appelle les formes , et qui paraît avoir de l'analogie avec nos règles combinatoires.
Les différentes modifications que les chiffres ont subies dans leur forme , et que nous donnerons ici ( Voyez la planche 1 '•. ) , nous autorisent à croire avec quelque raison^ que les chiffres sont d'origine indou et qu'ils nous sont parvenus par l'Arabie , Tj^frique, l'Espagne, etc.*, il serait en conséquence plus exact de les nommer chiffres indiens que chiffres arabes.
Dans l'opération de la multiplication , les Indiens procèdent de gauche à droite et reculent successivement les proauits partiels d*un rang vers la droite.
Exemple, la
i6ao.
En résumant ce qui précède , il paraît en résulter que les Indiens possédaient, dans les tems les plus reculés et dans une grande perfection^ tout ce qu'on trouve non-seulement dans Diophante, mais aussi chez les Italiens avant les travaux de Tartaglia et de Cardan.
La Notice imparfaite qu'on vient de lire est tirée principalement du commentaire et de la traduction de M. Strachey. 11 est à désirer que ce savant achève une entreprise commencée avec tant de distinction, et qu'il fasse bientôt jouir le public d'une production que les talens et les lumières de l'auteur novs garanlisseat devoir être ausû «empiète qu'utile.
Pk 5. Depuis l'impression de la Notice précédente , M. Strachey
( a8îï ) in*a envoyé la traduction anglaise de la Préface que le traducteur persaa ( Fuzy) a mise aa Lilavati; comme ce morceau renferme des faits curieux et des détails remarquables , je le transcris ici sous forme de Post^Scripium,
Tratùiction de la Préf(ice de Fjrzi ou LilauatL
a Par ordre du roi Akber , Fuzi traduit de Tindôu en persan n le livre nommé le Lilavati , si célèbre par les rares et surpre- 7) nans artifices de calcul qu'il contient. Il (Fuzi) prend la liberté u de rapporter que Fauteur de cet ouvrage était Bhascare Acbarya, rt dont le lîeu de nai^isance , ainsi que celui de ses ancêtres , était 9) la ville de Biddur, dans le pays de Décan. Quoique la date y) de Touvrage ne soit pas mentionnée , on peut la connaître à m peu près par la circonstance que le même auteur a fait un n autre ouvrage (nommé Kurrun Kuttohol^ sur Vart de faire n les calendriers, et qui porte pour date la iio5* année du m Salibahan , ère célèbre dans les Indes. Depuis cette époque yy jusqu à Tannée actuelle , qui est la 3a* Uani , correspondant )) à la 995* de Thégirc (^) » se sont écoulées 373 années.
n On dit que la composition du Lilavati a été occasionnée y) par la circonstance suivante. Lilavati était le nom de la fille n de Vauteur (Bashlçr). L'ascendant de l'étoile quf dominait sa » naissance condamnait cette fille à passer sa vie dans le célibat 9) et a rester sans enfans. Cependant le père attendait une heure » favorable pour marier sa fille et lui faire contracter une union » stable et féconde. A Tapprocbe de l'heure fatale, il fit venir n auprès de lui son en£ant et l'époux qu'il lui destinait , et ayant n posé la coupe horaire près d'un vase rempli d'eau , il choi-it V un astrologue connaisseur de l'état du ciel , pour observer le n moment précis où la coupe horaire serait remplie d'eau ; ce n moment devait être celui de l'union des deux époux. Mais les y) destins étant contraires à cette opération , il arriva que la jeune y^ personne, entraînée par une curiosité naturelle a son âge, w regarda dan» la coupe horaire pour voir entrer l'eau. Une perle ?^ se détacha accidentellement de spn vêtement nuptial et tomba w dans le vase, et s' étant placée devant l'ouverture, elle eqiy^ pécha l'eau de couler. Cependant l'astrologue était toujours 7) à attendre l'heure promise. L'opération de la coupe s' étant
(*) i5S5 de J.-C.
( flSî ) p prolongée de beaacopp au-delà du tem) ordinaire^ le përe D était dans la consternation; et en examinant Tinstrument, il D trouva qu'une petite perle avait bouché l'ouverture et arrêté n le cours de Feau , et qu'ainsi l'heure si impatiemment désirée n était passée sans retour. Désolé de ce contre-tems , le père yy adresse ces paroles à sa fille : Je vais composer un ouvrage 7) qui portera ton nom et passera aux tems les plus recules. )> Bonne renommée est une seconde vie , elle principe d'une exis- D tence éternelle, w
La Préface continue en ces termes :
u J^es hommes versés dans les sciences > et particulièrement n des astrologues du Décan , ont travaillé à cette traduction. On p a conservé les termes indous pour lesquels on ne trouve pas 7) de termes correspondans dans notre langue. L'ouvrage est di- T> visé en trois parties^ savoir : une Introduction > des Bigles et li une Conclusion, n
Introduction.
Cette partie renferme les définitions des termes de la science du calcul ', le sens de certaines expressions en usaee dans l'Arith-métique; les divisions des poids , des mesures, au tems, etc., avec leur nomenclature.Quelques-unes de ces mesures sont curieuses par leur analogie avec les nôtres, qui en tirent peut-être leur origine. L'auteur prend le grain d'orge pour élément des poids et des mesures. Deux grains d'orge font un soorth ; 8 grains d'orge valent i doigt; 24 doigts valent une coudée et 10 coudées forment le bambou ou la verge , mesure qui ne diffère pas beaucoup de la nôtre de même nom.
Le tems est divisé de cette manière : le tems pendant lequel on peut répéter dix fois de suite, ni trop lentement, ni trop vite , une syllabe comme ta ou ka, se nomme pran; 6 prans font un pul; 60 puis, un ghurry, et 60 ghurrys font un jour et une nuit; ainsi :
60 ghurrys équivalent à nos a4 heures.
1 ghurry vaut donc a4 minutes.
1 pul 224 secondes.
1 pran 4 secondes.
X Ka est prononcé en ... s . . 1^ de seconde.
Sur V écoulement de Veau dans un cylindre vertical f par M. Poisson.
Pour déterminer le mouTement d*un fluide incompressible et pesant qui coule dans un vase de forme quelconque, il faut intégrer le système de ces deux équations (^} :
La pression est supposée la même à la, surface supérieure du fluide et à Torifice norizontal par lequel il 8*écoule; t représente le tema , u la vitesse à Vorifice , h la hauteur variable du fluide y y' Taire de la section du vase correspondante à sou niveau , A Taire de Torifice , g la pesanteur , et enfin 2V" est une fonction de h donnée par cette intégrale
dans laquelle y représente Taire de la section horizontale du vase , faite à la distance quelconque z au-<lessous du niveau du fluide , et qui doit être prise depuis £=0 jusque z=h.
Si Ton élimine dt entre les deux équations (1) , et qu'on fasse IA*=:H^Ç, il vient
La nouvelle variable ^ exprime la hauteur due à la vitesse u ; et comme Téquation (â) est linéaire et du premier ordre, relativement à cette variable, il s*ensnit qu'on peut toujours séparer Ks variables Ç et A ; il s'ensuit donc qne la hauteur Ç, la vitesse u » et par suite le tems t , se détermineront par les quadrature» en fonctions de h , quelle que soit la forme du vase. Dans le cas d'un cylindre vertical , on a ^ =j/= b , b étant une constante égale
^ la base du cylindre -, on en conclut N = t , et en faisant ^
i* pour abréger , -yj =^ m , Téquation (a) devient
D f^ojrez mon Traite de M<fc«ni^ue, tom. Il, pg. 4^1.
( 385 ) Intégrant et désignant par c la constante arbitraire, on a
Substituons cette yaleur dans celle de u'; désignons par H la hauteur initiale du fluide , et déterminons la constante c par la. ^ condition que la vitesse u soit nulle à Torigine du mouvement , ou quand n = Hy nous aurons
«■=^-[-(Bn- <^
Donc à cause de y'^=ibz^k t/m> la seconde équation (i) ^ donnera
"'=-?%- /^^^^ïfe^ <«
ainsi quand le rapport m sera donné en nombre , il faudra intégrer cette formule pour déterminer le tems de l'écoulement du fluide.
Lorsqu'on a m=i , l'oriflce est égal à la base du cylindre 5 le fluide coule librement^ et les équations (i}et(â) se réduisent aux formules ordinaires du mouvement des corps pesans. Il y a encore un autre cas dans lequel on peut intégrer 1 équation {^ sous forme finie , c'est celui de m = 3. On a alors
V !^|/i/A — A»' d'où l'on tire, en intégrant,
on n'ajoute pas de constante, parce que l'on compte le tems t d«b l'origine du mouvement, de sorte qu'on ait à-la-fois < =: o et h = H. Pour avoir le tems de l'écoulement entier^ il faut faire- A = o ; en le désignant par T, et par «■ , le rapport de la cir-w conférence an diamètre^ il vient
et Ton voit que ce tems T, pendant lequel le cylindre se Tide^.
est le même que celui de l'oscillation d*un pendule qui anraîl: pour longueur la moitié de la hauteur initiale du fluide; Le tems pendant lequel la moitié du fluide s*écoule, répond à h ^=^ ji H , et û est égal à la moitié du tems de Técoulement entier.
Dans le cas de m =: a ^ la formule (4) se présente sons la
forme-; ainsi en développant l'exponentielle (j,) suivant
les puissances de m*— a, réduisant et faisant ensuite m = 3, on trouve pour sa véritable valeur
--ék«)"-
On ne peut pas intégrer cette expression sous forme finie > pour une valeur quelconque de h ; mais %n peut déterminer exactement le tems de l'écoulement entier , ou la valeur de l'intégrale définie prise depuis /t = £r jusqu'à h =0. En effet, fai* saut h =Hx*, et désignant ce tems par T, on trouve
r=v/f ./-ix.(>o6l) ',
l'intégrale étant prise depuis x=:q jusqu'à x=i. Or j entre ces limitesi^ Euler a trouvé
fd-(lo^i)'=\^l
on aura donc
e'est-à-dire le tems de l'oscillation d'un pendule dont la longueur serait égale à — .
Nous allons montrer maintenant comment on peut transformer l'équation (4) de manière à rendre très-facile pour tout» les valeurs de m > le calcul du tems de l'écoulement entier du fluide.
Supposons d'abord m>a. On fera hz=:Ha^ , H^s=g^^ et
en appelant T le tems demandé , l'équation (4) donnera.
Tîntégrale était prise depuis x:=o jusqu'à :t::î=i ,.et é désî-* gnant le tems pendant lequel un corps pesant parcourt la hau-* teur H. Or les intégrales définies de cette forme se ramènent à d'autres dont M. Legendre a calculé des Tables très-étendues qui Tont trouver ici une application utile. Ces transcendantes ^ ^'il désigne par la lettre r , sont {*)
r(a)=ydx(logi)'"',
c étant une quantité positive, et l'intégrale étant prise depuis jc==o jusqu'à xzzzi. Cela posé, on a, d'après un théorème connu (**) ,
Pi q, n étant des exposans positifs quelconques , et l'intégrale du premier membre ayant aussi pour limite x ^=o et j:=i. Donc, en faisant p=i, 7i = a7n— 4> 9=wi — a, on aura, relativement à l'intégrale que nous considérons ,
•ubstituant dans la valeur de T, et observant que
r(i)=/rfx(logi) '=V/;,
il vient r =
Les Tablps de M, Legendre (***) donnent les logarithmes
{*) Ces intégralcB reviennent par nn liraple changement devarrablc, aux intégrales de la fwrmc fer* z^-*dz , prises depuis « = o jusqu'h z— ^. Sons celle Corme, lenrs principales propriétés sont démontrées dans lenouTcau bulleciu de la Société Philomatiqne , lom. 11, pag. ^3.
Î**) Exercice du Colcul intégral , deuxième partie , pag. 279. **♦) Idem, pr«g. 3oa, et quatrième partie , pag. 65.
( a88) de la fonction T(a), pour toutes les valeurs de a, de millième en millième , depuis a = i jusqu'à a = a. Il faut donc » pour
pouvoir en faire usage , que les quantités ; et — , ,
^ ° "^ ^ a/n — 4 skm — 4
tombent entre les limites i et a; or c'est à quoi Ton parviendra
toujours en les augmentant ou diminuant d'un certain nombre
d'unités , au moyen de la formule
que Von pâut appliquer successivement à a, a+i j a+a> etc. Ainsi l'on aura
^C-^. + = -h?- ^ C-hV
\2m— 4 / am — 4 \27n— 4/
\2jn — 4 / am — 4 \a/ii— 4/' ce qui change la valeur précédente de T en
<am — 3' T
/am— 5 \ I v/^( m— 1) Vflm— 4/
et maintenant , pour toutes les valeurs de m plus grandes que 5, les deux nombres compris sous le signe r tomberont immédiatement entre les limites 1 et a.
Soit, pour exemple, m =14» ^^ ^P^ suppose Torifice moitié de la base du cylindre. On aura
am — 3 r 5in — 5 ^
am — 4 ^"^ — 4
la Table de M. Legendre donne log r (i,a5) = 9,9573aii, log r (1,76) = 9,9633451 ;
on a aussi log l/- = 0,0980604 ;
avec ces données on conclut
Maintenant si l'on a m<:^a, on écrira Téquation (4) sous
( a89 > cette forme :
, y/ a — m dh
