I — TO

t/g— m h "" dh

faisant ensuite A=:JÏ2r^-», F = 2-,, et intégrant, on aura pour le tema T de Fécoulement entier,

rintégrale étant prise depuis xr^so jusqu'à a;=i. Or en fai-

4— ÛTTl a — 771

«ant dans l'équation (5), p=i , ^= 3— ^ * ' ~ Z-^m ' observant que r Q^ =:r(i) = v/î, il vient

dx (5 — 7n)v/^ V4 — aTH/

/ 4 ^ a m ~ 4— ar/i ' ^/ 5— aiTi y

y/^^3-iî» \4— aTTi/

\4— aTTï/

fît par conséquent T = ^ . ^ ^—^ . ^;

/5— am\

Prenons pour exemple jti = -g , ce qui suppose rorifice aux quatre cinquièmes de la base du cylindre. Nous aurons

mais d'après l'équation (6) , on a

r(a,i43) = i,i43.r(i,i43); et je trouve dans les Tables citées

k)g r (i,G43) = 9,9537966, log r (i,i43) = 9,9709922: tout calcul fait , on a T ^= é{i ,49^7) f

( aàô ) c*e8t-àf<dîre à pen près une fois et demie le tems qa*nn cofps pesant emploierait à tomber de la bauteur initiale du fluide.

11 est encore bon de connaître la pression qui a lieu , pendant le mouvement , en un point quelconque du cylindre ; or en appelant % la distance de ce point au-dessous du niveau variable du fluide^ p la pression demandée» n celle qui a b'eu sur le niveau ^ f la densité du fluide , on trouve que la valeur de p se réduit , dans le cas du cylindre vertical y où Ton a

éliminant dt au moyen de la seconde équation (i) , et tt au moyen de l'équation (3), cette valeur devient

p="+^KS)D-(lfr']-

Dans rétat d'équilibre , cette pression serait p = n + gpî ; on voit donc que la pression, dans l'état de mouvement, est

Elus grande ou plus petite, à chaque instant, que la pression ydrostatique , selon que la quantité

s[-(èr]

est plus grande ou plus petite que l'unité. Si , par exemple ,

on suppose m=3, cette quantité devient -^^ — = — ^i elle est

donc plus petite que l'unité , dans la première moitié de l'écoulement , où l'on a A > ï £r , et plus grande , au contraire , dans la Seconde partie. Quand la moitié du fluide est écoulée , on a /r = 7 £r , et à cet instant la pression est la même que si le fluide était en équilibre.

Dans le premier moment du mouvement, h diffère inlinîment

Î)eu de Hf et la valeur de p se réduit à p = n; de sorte que a pression due au fluide disparaît entièrement, à l'instant oi le fluide commence à couler. Ce résultat est subordonné à l'hypothèse du parallélisme des tranches , sur laquelle est fondée l'expression générale de la quantité p : il tient à ce que, dans cette liypothèse, le vase étant supposé cylindrique vertical et percé d'un orifice horizontal , les tranches fluides prennent au premier instant des vitesses infiniment petites, qui sont les mêmes que si ces tranches étaient libres , ainsi qu'il est facile de s'en assurer.

{^) Traite de Mécanique , tom. II, pag. 4^0.

( agi )

îfote sur une difflculté relative à V intégration des équa-» lions aux différences partielles du premier ordre ; par M. Poisson (*).

Lorsqu'on a une équation aux différences partielles du premier t)rdre , à trois variables et non linéaire par rapport aux différences , on fait dépendre son intégration de celle d'une autre équation linéaire et a quatre variables. L'intégrale de celle -« ci renferme une fonction arbitraire de deux quantités , ce qui semblerait devoir en introduire une semblable dans l'intégrale de la proposée ^ laquelle ne doit cependant contenir qu'une fonction d'une seule quantité. Dans les leçons sur le calcul des fonctions (**) M. La- ^ange dit que icette difliculté l'a long-tems tourmenté , et qu'il est enfin parvenu à la résoudre, en employant un changement de variables au moyen duquel il fait voir que la fonction double se réduit toujours à une fonction simple ; mais cette méthode a l'inconvénient, ainsi crue M. Lacroix l'a remarqué dans la seconde édition de son Calcul intégral (***) , de compliquer la forme générale de l'intégrale , qui se trouve alors représentée par le système de trois équations , tandis que dans chaque cas elle doit être exprimée par deux équations seulement. En suivant une marche différente, on parvient , d'une manière qui me semble plus directe , à lever complètement la difficulté dont nous parlons , ou plutôt à montrer qu'elle n est qu'apparente , et l'on a en même tenis l'avantage de conserver à l'intégrale la forme simple qu'elle doit avoir : c'est ce que je me propose de faire voir dans cette note.

Représentons l'équation proposée par

-p et q désignant les différences partielles de z par rapport à x €t à y. On tirera de là la valeur de p pour la substituer daiis

dz=:pdx -{• qdy, (a)

(*) CeUe note a été publiée dans le Bnlletîn de la Sociëtë Philomatiaue , en novembre i8i5, tmg. i83. Koo« la rapportons ici, pour servir dVclaircissejnent h la mcthoae donnée par M. Mon^e, pour Tintegraiion des*éqaacions aux différences partielles des surfaces courbes. H. C.

(**) Journal de TÉcole Polytecbnique , douzième cahier, pag. 3ti.

(***) Tome II, pag. fi35.