ao

et Ton disposera de la qnaautité g, quî reste indéterminée , pour rendre intégrable cette valeur de az. Or on sait que q deyra alon être donnée par l'équation

dans laquelle il faudra aussi substituer la valeur de p > et qui sera , en x ^ y , z tt q , Téquation auxiliaire dont nous venons de parler.

L'intégrale de cette équation (3) dépend de trois équations différentielles ordinaires que nous n'aurons pas besoin d'écrire; nous représenterons leurs intégrales complètes par

û=/;(x,jr,z,9), *=/, (x,j^, *,<7),c=/3(r,jr,»,<7);(4)

a, bf c étant les constantes arbitraires : l'intégrale générale dm l'équation (3) sera

n désignant une fonction arbitraire.

Supposons l'une des équations (jQ, la première , par exemple» résolue par rapport à q ', soit

la valeur qu*on en tire ; substituons-la dans les deux antres équations^ ce qui donne des résultats de cette forme :

substituons ensuite ces valeurs de & et c dans l'équation (5) , nous aurons

a = nl^,(^x,yj z, a), ^^ix.y, z, a)]; (7)

et nous pouvons dire maintenant que la valeur la pins générale de q qui satisfasse à l'équation (3), et qui ait , par conséquent , la propriété de rendre intécrable l'équation (2), est exprimée par l'équation (6) , en 7 consiaérant a comme une quantité donnée par l'équation (7).

Cela .posé, la valeur de a sera, ou une quantité variable dépendante de la forme qu'on donnera à la fonction n , ou une constante apA>itraire quand on prendra pour cette fonction une semblable constante. Supposons d'abord que le second cas ait lieu ; concevons qu'on ait intégré l'équation (a) ; après y avoir subs-

( «33 ^ titué à la place dé p et ^ , leurs valeurs tiréet des é^atiôiis (i) «t(6)^ et aéstignons son intégrale par

F(x, jr, «, a) = A, (8)

A étant la constante arbitraire. Si Fon yent présentement avoir l'intégrale de la même équation (s), dans l'hjrpothèse deava^ riabie , il est évident qu'on peut encore supposer qu'elle sort représentée par Téquation (8) , pourvu qu'on j regarae k comme une nouvelle variable y et qu'on détermine, convenablement ssl valeur , c'est-à-dire y de manière que la dilFérentielle de l'equa* tion (8) reste la même quand a et A sont constantes , et lorsque o et A dont devenues variables, il faudra donc qu'on ait

or cette équation ne satirai^ subsister , à moins que le coefEcient de da , dans le pfémier membre , ne ^it une fonction de a et ft sans X y y ^ z\ ainsi n, désignant un« fonctioii airbitraire , il faudra que l'équation qui sert à déterminer a revienne à celle-<;i.

lacmelle , par conséquent, devra être identique avec Téquation (7). Cela étant , on aura <i/j = n, ( a , A ) cia ; et de cette équation on tirera ^ rL fâ , ce qui change les équations (8) et (9}ea et Iles-ci :

qui représenteront Tintégrale générale de l'équation (q). Quant à l'équation (7) , elle est maintenant superflue , car elle peut être remplacée par l'équation (70 , qui devint

-^ = n, (a, A) = lï, (a, ^o), I

et qui ne fait qu'établir une relation entre les deux fonctions ar* bitraires désignée» par f et JT, , dont la seconde n'entre pas' rfana les équations (10).

Nou« pouvons conclure de là :

i**. Que l'intégrale générale de l'équation (a), ne contient qu'un^>» fonction arbitraire d'une seule quantité , quoique la valeur de q soit donnée par une équation renfermant une fonction de deux quantités ;

a®. Que, pour l'obtenir, il suffit de connaître une inté^ral(^ par<-

tîbulièi^ de Téquation (3) , renfermant une simple constante âfbitraire , c est-à-dire une des trois équations (4) ; ce qui coïncide avec la méthode ordinaire.

On yérifiera sans peine tout ce qui précède , sur Téquation s — p^ = G, que M. Lagrange a prise pour exemple , et particulièrement Videntité des équations (7) et (/) , que nous avons démontrée d'une manière générale.

£n effet > les trois intégrales particulières dont dépend son intégrale complète > ou les équations (4)> sont^ dans ce cas (^) >

tirant la valeur de q de la première et la substituant dans le^ deux autres^ il vient

par conséquent Féquation (7) sera

En mettant pour p et q leurs valeurs , savoir :

dans dz z=zpdx + qdy , on a zdjc

c'est donc cette équation qu'il faut intégrer , en y regardant a comme déterminée par l'équation (7). J'intègre d'abord danâ l'hypothèse de a constante , ce qui donne

zz=z(a+x)(j+h), ou —nr::— y = ft,

k étant la constante arbitraire. Pour étendre cette intégrale ao cas de a variable , il faut - --•--*— - j-^pî- -• " port à a et A, ainsi qu'on

cas de a variable , il faut v joindre sa différentielle par rap-

l'a dit plus haut ; on a alors

"^^ =dk

(*) Calcul intcgial de M. Lacroix , p*g. 556.

( 3.95 ) B2^6 réqnation (7) se réduit à

= "(5rT^'-')'

et elle montre que la quantité 7 — ; — -- est une fonction de a^

et h ; donc , en vertu de l'équation précédente , k ne peut être qu'une fonction de a. Soit, par conséquent, A=:^a; Tintégrale générale de Téquation (a) sera exprimée par le système de ces deux équations ;

' (a-f-o;)* "" 'HT ^

et l'équation (7) deviendra

-(--ff-^>

de sorte qu'elle ne fera qu'établir une relation entre la fonction ^ et la fonction II, ce qu'il s'agissait de vérifier.

Sans entrer dans de plus grands oetails, nous nous conten-terons d'observer que le même exemple peut servir à deux autres vérifications semblables , en partant successivement de la seconde et de la troisième équation (4)> c'est-à-dire en prenant successivement les constantes & et c et les équations qui les contiennent , à la place de la constante a et de la première équa-* tion (4).

RAPPORT fait à rinstituty le 11 décembre i8i5^ par M. Legenpre , sur un Mémoire de A. L. Cauchy ,

intitulé : Démonstration générale da théorème de

Fermât ^ sur les oombres polygones^

Quoique la théorie des nombres ait fait de grands progrès dana ces derniers tems , et qu'elle soit beaucoup plus avancée main^ tenant qu'elle ne Tétait du tems de Fermât-, cependant le beau théorème sur les nombres polygones , dû 4 ce savant célèbre, n'a encore été démontré que dans, ses deux premières parties, qui sont relatives aux nombres triangulaires et aux carrés ; ae sorte que tout ce qui regarde les autres polygones à l'infini, reste encore à démontrer.

' Il y a lieu de s'étonner que les géomètres, qui ont su vaincre t^t aautres difficultés ^ aient été arrêtés jusqu'ici devant uuq

(as») mule ^fc + ^*+r représentera tous les nombres entiers com^ pris entre la plus petite et la plus grande valeur dont cette formule est susceptible , à raison des limites de s \ d'où il suit que tous* ces nombres peuvent être décomposés en n polygone» dont n— 4 seront égaux à zéro ou à Tunité.

La même formule, en augmentant k de deux unités, et

Î>renant j dans les limites qui conviennent à cette nouvelle vaeur de h , fournira la même conclusion , c'est-â-dire , qn^onaura une seconde suite de nombres entiers plus grands que ceux de la première suite, lesquels seront également décomposable» en n polygones de Tordre n.

On prouve d^ailleurs que ces deux suites ne laissent point de lacune entr*elles, mais plutôt que la fin de Tune se con^* fond avec le commencement de Tautre , de sorte qu'étant réunie» elles offrent la série complète de tous les nombres entiers compris depuis le plus petit terme de la première suite jusqu'au plus grand terme de la seconde.

Il est inutile d'en dire davantage , et on vok qu'en prenant pour k des nombres impairs de plus en plus grands , la formule Ak + Bs + r représentera successivement tous les nombre» entiers depuis celui qui répond aux moindres valeurs de h et de s jusqu'à l'infini. Par conséquent tous cçs nombres sont décomposables en n nombres polygonaux dont n —4 ^^^^ égaux à zéro ou à l'unité.

Il ne reste donc à examiner que les nombres compris dans fa même formule Ak+Bs+r^ lorsque k est inférieur à 121. Orcet examen est sans difficulté, puisqu'il n'y a au un nombre limité de valeurs de k à considérer; et d'ailleurs l'auteur avait préparé d'avance la solution .de ces cas particuliers , par quelques propositions subsidiaires. Il est donc oientôt conduit à la conclusion générale , qui est que tout nombre entier peut être représenté par la formule Ak-^-Bs-^r Siyec les conditions prescrites,, et qu'ainsi tout nombre entier peut être décomposé en n polygones de l'ordre n , dont n — 4 «ont égaux à zéro ou à l'unité.

La supposition qu'avait faite M. Cauchy pour simplifier la solution du problème , se trouve ainsi justifiée par la conclusion à laquelle il parvient. Non-seulement donc il démontre le théorème de Fermât dans toute sa généralité, pour tous les polygones au-delà des carrés-, mais il substitue au théorème de Fermât un théorème beaucoup plus précis et plus intéressant , puisqu'il prouve que sirr les n nombres polygonaux qui entrent dans la composition d'un nombre donné quelconque , il y en a toujours n — 4 égaux à zéro ou à l'unité.

11 résulte en même tems de Fanalyse de M. Cauchy , que

( «9? ) la- décomposition e(Fectiye d'un nombre donné en n poljgonea de Tordre n peut touîours s opérer à priori , en supposant seulement qu'on sache décomposer en trois carrés les nombres qui sont susceptibles de cette décomposition.

Nous concluons de ce qui précèae que le Mémoire de M. Cauchy offre une nouvelle preuve du talent et de la sagacité que Fauteur a montrés dans d'autres recherches également utiles au progrès de l'Analyse et de la Géométrie. Nous pensons en conséauence que ce Mémoire est digne des éloges de la Classe , et d'être imprimé dans le Recueil des Savans étrangers.