GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
TTiéorème. u Lorsque deux surfaces quelconques du second degré 71 sont circonscrites a une troisième surface du même degré , elles p se coupent toujours dans le système de deux, courbes planes y> drt second degré, n ( Voyez la Correspondance ^ tome H^, page 3a 1 et la page 539 ^^ ^^ cahier).
Démonstration de cette proposition, dans le cas particulier où les trois surfaces du second degré ont pour diamètres conjugués les parallèles aux trois droites Z>, JD', !>', dont deux D , D' sont dirigées du centre de la surface inscrite aux centres des deux surfaces circonscrites , et la troisième /)", est l'intersection des plans des deux courbes de contact.
Su])posons que les trois surfaces soient rapportées à trois axe» parallèles aux droites J9, D\ W^ et que le centre de la surface inscrite soit l'origine des coordonnées^ 1* équation de cette première surface sera
dans laquelle les quantités A^ B^ C sont trois constantes données à volonté ; et en nommant a , h les distances de l'origine aux centres des deux sur&ces qui circonscrivent la première^, les équations de ces deux surfaces pourront d'abord être mises sous les formes suivantes :
(i?) jf{x—ay + ^y + Cz^ ~ 1 ,
(C) ^ V + B\y—hy + C V = i ,.
puisque le centre de l'une est sur la droite des x , et que Je centre de l'autre est sur la droite des y. Les six quantités J^^ ff^ C, jfy B^y Cj querenferment ces équations, sont encore
. C Soo ) des constantes ; maïs elles ne' peuvent pas être prises ai1>îtTaîrement, et il faut les déterminer de manière qye les deux dernières surfaces soient circonscrites à la première.
Or lorsque deux surfaces sont circonscrites , tontes les sections faites dans les deux surfaces, par un plan parallèle à celui de leur couri>e de contact , sont semblables entr'elles et semblablement placées ; donc les dimensions homologues de ces sections sont entr'elles dans le même rapport. Ainsi en nommant e ce rapport pour le cas du premier contact^ on aura
et nommant ef le rapport pour le cas du second contact » on aura je =s e'^A ,
équations dans lesquelles les rapports e, e' sont élevés au carré ^ parce que les constantes A , B , C, B\ C, A", B' sont toutes de deux dimensions.
Si Ton substitue pour B'^ C, A!', (^ ces valeurs dans (^), (C)^ ces équations deviendront
A'ix^ay + e* (/?y» + C^ = i ,
ou
(O) ^(x— ay -^ Ae^^'+e^iAx^+By^+Cz') = i ,
(^) B\y^by — BeY^%Ax''+By>^Cz*) = i.
Actuellement , si l'on cherche l'intersection de la première sui^ face , dont l'équation est {A) , avec chacune des deux surfaces circonscrites, dont les équations sont (O) et (iE), en éliminant la quantité -^x*H-J?y*+^**> qui est commune à ces trois équa^ lions , on aura pour la première intersection ,
(F) jf{x^ay -^ Af^j:^ -j. «• — i = o , tt pour la seconde
(G) B\y—bY — Bdy + c'-— 1= o,
équations du second degré algébriques , l'une en r, l'autre en^'^ dont les résolutions donnent
{A^ — Aé')x = A' a + \/ Ae^ +e\AA'a'-^ A— A') + A",, {fi'^—Bé^yy ^ B'b + y'Be'^ ^e'^lBb''b^ ^ B ^B") + B%
(Soi) ,
et prouvait qae la première surface , dont Téquatton est (^ / coupe les deux autres, considérées dans Tétat où les repré-'sentent les équations ( /> ) et {£) > chacune dans le système de deux plans parallèles entr'eux, et au plan de leur courbe^ de contact respective.
Mais , par Thypothèse , les deux dernières, surfaces sont circonscrites à la première ; donc y pour chacune d'elles , les deux* plans de son mterseetion avec la première se confondent; par conséqnent les deux radicaux des deux dernières équations sont l'un et Vautre égaux i zéro , ce qui détermine les valeurs de. e f e\ et les équations (F) et (G) sont chacune un carré parEai^* dont les raeînes sont
(^'— jié^yx — ^'a = o pour Tune, et {B" ^Be''')y — i?*i ra o pour l'autre.
Tout étant ainsi préparé, considérons actuellement Tintersec-^ tion des deux surfaces circonscrites dont les équations sont (D), (£). On aura l'équation de sa projection sur le plan desx, ^ , en éliminant z entre les équations de ces deux surfaces , ou. bien en éliminant la parenthèse commmie {Ajc^"\'By^^Cz*)^ qui seule contient 2, ce qui donne
•» {^ (* — «)• -uie^jt» — 1 } — e« ^B*(j^— &)» —ir^y» - 1} = 0,
ou ajoutant dans les deux parenthèses , qui sont de signes con-. traires, la même quantité e'c'*,
(Z/) e'* / ^(x— c)* — Jé'j^ + «• — 1 }
— e» (i?*Cy— 6)* — Be'y+i^^^ i)=o.
Or ces parenthèses ne sont autre chose que les premiers membres . des équations (F), (G), qui, comme nous venons de le voir, sont deux carrés parfaits \ donc l'équation {H) de la projection, sur le plan des Xy y de l'intersection des deux sufiaces cir-* Ccnscrites est
dont le premier membre est la différence de deux carrés , et équi?« vaut par conséquent au système des deux équations linéaires
e' {(^A'—Ae*)x — jfa) + e {(/T— 2?e'»)jr B'b) = o,
e' {(^-^Oj? — ^a) — e ((^^-^Oj^ — B'b] = o.
Donc Tintenection elle-même est comprise dans le système des
( 5oa ) dêQX plans auxquels appartiennent les. deux équations précédentes y et sont par conséquent des courbes du second degré.
On connaissait depuis très -long-tems quelques cas particuliers de cette proposition générale. On savait , par exemple , que dans les voûtes d*arêtes ou en arcs de cloître , droites ou biaises , horizontales ou rampantes^ les arêtes saillantes ou rentrantes de ces voûtes sont toujou];s des ellipses planes , parce qu'elles sont les intersections de snifaces cylindriques circonscrites à la surface d*un même ellipsoïde. Il en est ae même des voûtes d'arêtes en arcs de cloître multiples , qui couvrent ordinairement les rondspoints de nos vieilles églises gothiques, ou les salons de quel^ aues-unes de nos abbatiales ; mais le théorème que bous venons de démontrer est d'une généralité beaucoup plus grande. Nous observerons même à cet égard que, comme dans la démonstration nous n'avons pas lait attention ^ux signes des neuf coefficiens ji , B , C, j4\ ff, C, A", B'^ C qui entrent dans les trois équations (-^, (i5), (C). La vérité du théorème est indépendante du nombre de sommets réels dont chacune des trois surfaces de second degré que Ton considère est susceptible; ainsi chacune d'elles peut-être indifféremment un ellipsoïde , ou un hyperboloïde à une nappe , ou un h jperboloïde à deux nappes, sans que le tbéorème cesse d'avoir lieu. EnBn il aurait encore lieu^ quand même les trois surfaces auraient leurs centres à l'infini. ( Article de M. Monge. )
Pi^priétés des diamètres de V ellipsoïde; par AT.ChasleSj ancien élève de V Ecole Poljtechniijue.
ilj E M M E.
(i) u Si entre les neuf quantités «, C, y, «', C, y', "'t^tv' yt oa a les six équations
« (i)... *«'+c;'-f-yv'=o, *."H-«''-|.yy"=o, •■«•+cr-H'V''=o.
» l'on aura les quinze suivantes :
» (c)... ••4-"+.'»-i, ^+C»+C••=l, y»+y'» + r"=', r> id)... Ji+m'C +m"e'=0, •y+«'y'-h.V=0, Cy+Cy-|-Cy*=o,
f . = iV-r^v', •' = Cy-Cy-, .' = Cy'-Cy.
^ y = «C^— »• , y = «6^—* fc, y = «9 — «|o.n
En effet, «, ff, y; »\ ^iV\ /, ^, / peuvent représenteç
( 3oS )
les cosinus des angles qne trois droites rectangulaires R,R^f R" fout avec trob axes x, y , z également rectangulaires ; car les six équations proposées exprimeront que la somn^e des carrés des cosinus des angles qu'une des droites R, R^, R" fait avec les trois axes^ est égale à Funité , et que les angles de ces droites •ont droits.
D*après cela , les six équations (c) et (d) auront lieu ; car elles indiqueront que la somme des carrés des cosinus des angles qu*un des axes x, y , z fait avec les trois droites R , R', R"* est égale àTunité , et oue les angles de ces axes sont droits.
Enfin pour vérifier une aes neuf équations (e)j la première » par exemple , on observera que le cosinus de Tangle que le plan des deux droites R\ R" fait avec le plan des zy est
^-•-Cy'
Or le dénominateur se réduit à l'unité , en vertu des deuxième , troisième et sixième équations , on a donc simplement Cy" — C^y'; mais ce cosinus est le même que celui que la droite R fait avec Taxe des x , lequel est m ; l'on a donc
On prouverait semblablement que les huit dernières équations sont vraies.
(a) Soit l'ellipsoïde (*)
rapporté à ses trois axes rectangulaires.
Appelons «, C, y les cosinus des angles qu*un diamètre R fait avec ces axes, on aura
Les coordonnées a: = a*,^ = W, z = cy peuvent représenter l'extrémité d'un diamètre r de l'ellipsoïde, car elles satisfont à son équation ; la longueur de ce diamètre a pour carré
r* = aV + i»C* + c V- Les coordonnées de l'extrémité de r indiquent la construction sui- (*) Fofez Le trailc de» surfaces du second degré\ par 31. Hachette, p. iCg.
(304) Vante pour obtenir ce diamètre , qnaàd on ecmnait la diredion 'tin premier R,
On décrira trois spbères concentric^es à la snr&ce et qm aient pour rairons a, b^ c, par les pointa où elles couperont le diamètre A on mènera trois plans parallèles anx plaiis sy , zx , ocy respectivement; leur point d^intersection sera TexCremité du diamètre r. *
Des diamètres R\ R'y. . . on déduira semblaUement les diamètres /, '^>...» et Ton aura
(3) Si â Textrémité du diamètre r on mène un plan tangent , et que du centre de la surface on lui abaisse une perpendiculaire , eïle sera égale au diamètre R\ car ce plan a pour équation
et la longueur de la perpendiculaire est
(4) Si les trois diamètres R , R% /l", sont rectangulaires , les trois r , /^ r^ seront des diamètres conjugués.
En effet , pour rapporter la surface à des coordonnées X , Y^ Z parallèles à r^ r^ i" respectirement, on fera :
SuWituant ces valeurs dans Véquation de Tellipsoïde et indiquant que les termes en XV, XZ, YZ doivent disparaître pour que r, r', i^ soient conjugués, on aura les trois conditions «-'+CC'+yy'=0, ••"+&•:'+ yy'=o, *V-Kr+yV=o,
lesquelles auront toujours lieu quand /î> B', R' seront rectdnfjulaires.
Ainsi quand r, /,T^ seront conjugués , les vingt-une équations du Umnie (i) auront lieu.
(5) 4r La somme des carrés des valeurs inverses de trois dia- 7) mètres rectangulaires est une quantité constante, n
En effet,
ou
(6) Les plans tangens aux extrémités des diamètres R, R^, /f ont pour équations
Elevant au carré et ajoutant membre à membre ces trois équa** lions > on aura, en supposant Ry Ry R^ rectangulaires,
5î^ + 5î/ + ?** = ? + ïî + ?'
ce qui feit voir que : •
Le point it intersection de trois plans tangens à un ellipsoïde aux extrémités de trois diamètres rectangulaires , se meut sur une surface du second degré concentrique à la proposée.
(7) a Le plan qui passe par les extrémités de trois diamètres f> rectangulaires roule sur une sphère, a
En effet, en ayant égard aux équations (e) du lemme, on trouve pour équation de ce plan
{RRm"+RR''M'+R'R\)x + iRR'C'+ RR'':f+R'R'i:)y + (MV+MV+ii'/î^y)a = RR'R\
La longueur de la perpendiculaire abaissée sur ce plan, du
tentre de la surface, se réduit, en Vertu des équations (a) et(&), â RITR ' 1.
V ii»"*"7r'"*"/r'
Cette quantité est constante ; donc le plan roule sur la sphère qui Ta pour rayon et dont le centre est à Forigine.
(8) a La somme des carrés de trois diamètres conjugués est » constante, n Car r^+ï'^+r'"^ = a\m^^m'^+J'^) + ft^C^-K^+C^O
(g) a La somme des carrés des projections de trois diamètres Il conjugués sur une droite fixe ; est constante, n (*)
En eltet^ en appelant ^, i; ^ les cosinus des angles qu'une droite D fait avec les trois axes des coordonnées, on aura :
r cos r,D = Oêtt" -|- &Ci + cy^ ,
/cost'^ = c«/+ Wi+ cy>,
I^COSj^D = C«V+ Wi+ cy"^ \ d*où
r^cos v05+/»co3»;CD+>'''*cos*rO^ = a*|^'+i■|•+c*f • , (c et ^
rcosr^D, /cos/,D^ r" coa r'',D sont les projections des diamètres r, /, r" sur la droite D\ le second membre est une quantité constante ; donc, etc.
Il suit de ce théorème et du précédent, que :
La somme dés carrés des perpendiculaires abaissées des extrémités de trois diamètres conjugués sur un diamètre fixe , e^i une quantité constante.
(lo) u La somme des carrés des perpendiculaires abaissées » des extrémités de trois diamètres conjugués sur un plan fixe 9) passant par le centre de la surface , est constante, r)
£n effet, les perpendiculaires abaissées des extrémités des trois diamètres r, /, r" sur le plan j^x + Z[y + Cz = o , ont pour longueurs
(^} Proposition dcmontrve page aC8da Tnàitc dei surfaces du second deçrccib-.
. Ç 3o7 ) la tomme des carrés de ces trois quantités est
A' + B' + Cr - ^'^"^^
Cette quantité est conatante; donc^ etc.
Il suit de là et du théorème (8) , que :
La somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués sur un plan fixe y est une quantité constante.
(il) La cosinus ae Tangle des deux diamètres r^ i^ est
cosr,r s=5 -p— »
d'où
r»/»sin* v' = r«/»~ (a*««' + b^+ d'r/y
= a»&«(«?~«'C)» + cV(«y'— V)* + iV(Cy'— C'y)*, ^n , en. vertu des équations (e) ,
7*/» sin* r^/ = a*i V* + a*d^''^+ c W*
d'où / . ^, abc g . 'S Bff »
r/smr/ s=: -^ , rr smr/.il''= aôc.
Or r/sinr,/ est Taire du parallélogramme construit sur les deux diamètres r, /•, A" est égal à la perpendiculaire abaissée de Torigine sur le plan tangent à Textrémité du • diamètre r*' (3) ;
donc r/sinrj .R" représente le volume du parallélépipède construit sur r, /, r^ ; aonc :
Le volume du parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués est constant (*).
(la) L'on a les trois équations
, * /N, abc m . ^m abc ,j, . /V, abc ,
r/8injî/ = -^, î/sinr/s-^, //'sm/y =-jj-. (ii)
La somme des carrés de ces troi» quantités est
r) P'orez pages ^57 ei a58 du Traite cite.
Donc :
La somme des carrés des faces du parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués est une quantité constante.
(i3) Ayant construit un parallélépipède sur trois diamètres conjugués , la somme des carrés des projections des faces de ce parallélépipède sur un plan fixe, est une quantité constante.
En effet , le pian passant par les deux diamètres r^ / a pour équation
ou -
aV* + ocCy + bcm'x = o. (c)
Le cosinus de l'angle qu'il fait avec le plan Lx + My + Nz=sk
est, en observant que r/sinr,r = \/^¥/^^âF?S^+F?^^ (^i i), Lbcm' + Bfa ce' + iraby'' .
l'aîre de la projection du parallélogramme r/ fin r^ sur le plan que nous considérons , est donc
LbcJ' + M ac Cr + Naby"
Les aires des projections des parallélogrammes r/' sin r,r^^ /r^aln/y', sur le même plan, sont semblablement
LbcM' + M acCr + Naby' Lbcm + MacC + Naby La somme des carrés de ces trois projections est égale i
Cette quantité est constante; donc, etc.
( i4 ) ^ Si Ton projette trois diamètres conjugués sur un y» plan diamétral, qu'on construise trois parallélépipèdes dont 3* chacun ait pour arêtes contigues un des diamètres et les
(3oy)
^ pro]ectîoDS âes cleux autres; la somme de leurs yolnmes sera yt constamment égale i abc. »
En effets Faire de la projection du paralUlogramme /r'sia/v^, aor le plan qui a pour équation
est
Lbcm + Mace+ Naby ^
baissée de Tertre ear
Lam-^MbC + Ncr ^
la perpendiculaire abaissée de Textrémité du diamètre r^ sur ce plasi a pour longueur
donc le parallélépipède construit sur r et les projections de r^ «t j^ a pour Yolume
jlbcH + Mace+Nabr) (Lam + MbC + Ncy)
, Lil/(a*+t')c^ + LN{a^'f<^)b^ + MN(b^+c*)aC y
On aura seroblablement les volumes des deux autres parallé^ lepîpèdes construits , l'un sur / et les projections de r et r*, et l'autre sur r^ et les projections de r et r ; Ton voit que leur tomme se réduit à abc, en vertu des équations (c) et (jd) du lemme. Donc, etc.
On prouverait facilement que :
tt Si l'on projette trois diamètres conjugués sur une droite qui T passe par le centre de la surface , et qu'on forme trois pa- V rallélepipèdes dont chacun ait pour arêtes contiguë's deux aiayt mètres et la projection dutrobième, leur somme sçra égale 71 à abc. p
(i5) a Si Ton a six diamètres dont trois soient conjugués et 9t les trois autres également conjugués entr'eux , le volume du paff rallélepipède construit sur trois quelconques de ces diamètres D sera égal à celui du parallélépipède construit sur les trois autres, n
£n effet, le plan passant par les deux diamètres /, r' a pour équation
4c#x -f- acCy + obyz = o ; (i3)
li sinta de Tangte qn'il fait avec le diamètre j, dont VeXtré*' niitts a pour coordonnées x=a{,^=&F, «r=cÇ, {, », C é(ant les cosintui des angles qu'un diamètre f fait avec les trois axes coordonnés , est
sin V* » r r j — ^ s= ^ ' j
j ./r^sin r ,/' i . /Z' sin r;j^
d-où ç . /r^sinjV' X-^.sinCiyr'^rrrfltccos/^f.
Le premier membre est le volume du parallélépipède consjtmit sur K, i^ et J : si 4 est conjugué de r et /, f se confondra
avec R-, on aura cosH,fz=zi , et ce volume se réduira à oie» <y>mme nous l'avons déjà trouvé (ii). .
II est clair qu on obtiendrait de même
/i^sîn iV' X r. »in (r/u'} = abc cos fjK ,
/, / et u étant trois diamètres conjugués ; donc le volume du parallélépipède construit sur /, r", u est égal an volume du parallélépipède construit sur /, -«', r; donc, etc.
(16) tf La somme des carrés des volumes des trob parallèley> pipèdes construits sur un diamètre quelconque â , et sur deux n des trois diamètres conjugués r, /, r^, est constamment égale » à a*bV. y»
En effet 9 nous venons de trouver
/r^ sin /y ,u sin (u^/rO = oie cos iÇ ;
on aura de même
rr^sînr^i'.isinCijrrO = flic cos rf^f ,
r/ sin ry .isin (^r/) = fltccos R%Jp ;
élevant ces trob équations au carré > et les ajoutant membr» à membre, on aura pour somme
c»&V (cos* iO + cos* iCf +. cos» R^f) = û»i»c*,
puisque R^ R\ R' sont rectangulaires. Donc, etc.
(17) u Si l'on a deux diamètres fixes u,/, et trois diamètres W conjugués r, /, i", qu'on forme six parallélépipèdes dont trois ïi aient u^ et les trois autres /, pour arête commune, et deux n des trois diamètres r, r, f" pour autres arêtes contiguës ; la
( 3nO
% ^omine des produits^ deux à deux, des parallMepipèdes qufonf D deux des arêtes r» /, i^ communes, est indépendante des dî^r » mètres r, /, r*. r^ £n elFet , les volumes de ces six parallélépipèdes sont
/r'sin/,r*.usin(iy7^ = abceoiRif, .
/r''sinrV*-«'»ûi(/,rV)= àbccoslQ,
rr' sin r^.d sîn iujf^) =3 a&ccos/r^ , *
rr''sinr,r^./5in(/,rr*) == abccosB^f',
r/ sin r,/.i sin iJ,r/) = a&c cosiv,f ,
r/sin r,/./ sîn(/,r/) = aiccosfi\jp'.
La somme des produits deux à deux de celles de ces quantités qoi ne diffèrent que par u et /, est
a»iV(cosjÇf .cosiÇ'+cosfl%^.cosff;/+ coa/r,f xos fl^f')'
= a*AVcosp,p',
puisque les trois diamètres de R, K9 R^ sont supposés rec-> tangulaires ; cette quantité est indépendante de r, /, 7^; donc, et6. (18) En ayant égard aux équations (e) du lemme, on trouve que le plan qui' passe par les extrémités des trois diamètres con« jugués r, r^, r* a pour équation
5c(*+#'^^'')^ + acÇe+V+C^y + ai(y+y •+yO« = abc.
'Le plan tangent à l'extrémité du diamètre d, qui dérive <}e Di^i <> Ç)iàe même que r dérive de /î (a) , a pour équatioi\
bcfx + ori)' + abfz = ûic ;
pour que ces deux plans soient parallèles , il faut qu'on ait
n;^= # + #'+«:, ni » ff+C+C, n(pz=:y + y' + y''^
et à cause de ^+i*+^==: *> on voit que n=s \/^ , de sorte que
*-~7s~' '-"iTr"' *-~7r-v
On peut remarquer que le diamètre D , qui fait avec les trois j axes des x, y, z des angles dont les cosinus sont ^, 1, f, fait des angles égaux avec les trois diamètres iî, R', fl*.
L*^miatîon du plan qui pàase par les extrémités de r^ Y, r* "ee réduit à
la comparant i celle dn plan tangent
hctx -f- ocfy -f" ^^ =2 ^^ »
on Toit que :
Les distances du plan qui passe par les extrémités de trois diamètres conjugués et du plan tangent qui lui est parallèle ,
au centre de la surface, sont entr'elles dans le rapport — =:,
(19) Le diamètre d, oui est conjugué du plan qui passe par • les extrémités de r, /, r , perce ce plan au centre de la courbe qu'il détermine dans la surface ; la distance de ce point à Ton*
gine est» d*après ce qui précède^ — ^i donc^ ce point est sur
I/o une surface semblable et concentrique â la proposée.
(âo) Le diamètre Jala direction de la diagonale du parais Jélepipède construit sur r, r^, r" ; car les coordonnées
X = al\/5 = «(# + /+*•),
« = cfï/3 = c(y + r'+/),
' appartiennent à un point situé sur ce diamètre» et elles satisfont aux trois équations
dM plans taneens aux extrémités des diamètres r, /, 1^, lesquelles représentent rextrémité de la diagonale dont il s*agit. La longueur de cette diagonale est d. V^3 ^ ce qui fait voir que :
Le sommet du parallélépipède construit sur trois diamètres ' conjugués , engendre une surface semblable et concentrique d la proposée.
(5,3) , On obtient iacilement Téqnation de cette iuiface » en 4\^ Tant au carré ]es trois équations précédentes , et les ajoutaiit membre à membre ; le résultat est (c et d)
(ai) tt Le triangle formé par les extrémités des trois diam mètres conjugués r, /, r*, et le parallélogramme construit T> sur deux diamètres conjugués situés dans un plan parallèle à celui y» du ^triangle, sont entreux dans un rapport constant, n *' En eiFet, le carré du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués de d est
iV/* + a*c*i» + a*iV = -~-. (il) Or le parallélépipède construit sur r, /, t^ sl pour volume
2 étant Taire du triangle formé par les extrémités de r, t'y i", et — = la perpendiculaire abaissée de l'origine sur son plan (i8)« Eliminant le produit abc entre cette équation et la précédente ^ on a
r=i(iVJ^+aVi*+a»iV*); -7F=^. r—
donc, etc.
abc %/6 L'expression de S peut se mettre sous la forme S = -jy — • •
pour deux antres parallélépipèdes, on aurait
^ abc V/3 ^ abc \/5
. n est facile de voir que quand les plans 'des trois triangles X , sf, £' sont conjugués » la somme des carrés de leurs air^s est une quantité constante;
La somme des carrés de leurs projections sur un plan fixe , est également une quantité constante,
(aa) u Si par le triangle formé par les extiémités de trois dia- ' 71 mètres conjugués r, r, ?^, on tait passer troii prismes dont ^ 7^ lei arêtes soient parallèles à trois autres diamèUes conjugués
(3i4) ni, I\ J' respe cti f c MiC ut , la somme des carres des Tolnmes 9 qu'ils inte ic epteroiit dans le parallélépipède constmit sur les p diamètres of , a/, a/ sera co us t auim ent %ale à 3a*i*ic*. i»
£n effets l'é^iatioa dn plan qui passe par les ertrémités de r, /, r^ est
dbc
l'on sait qae.
le sinus de l'angle qoe ce plan £ùt arec le diamètre x , dont les coordonnées de l'extrémité sont a;=at ,yr=:k^ s=c(> est
l«mj, ; ^a't»+3*F»+c*{* t/A*c*/^+aVV+û»A*f*'
d'où
fti.z.sm (i^s) = o&c |/3.cos£>^.
Qn aura semblablement
iu'.ï.sin(/,2) =! ai<?V^3.eoilCn oi" . 2 . sinCi*,!;) r=s aie V^3 . cosDy ; la somme des carrés de ces quantités est
[ai.3:sin(i,z)]» + [îu'.ï8in(/,i)y + |;îu'.Xsin(/,2:)]»' = 5a»iV(cos»D^ + cos*Z>0'+ cos»/)^*) = 3a*4V,
puisque Ây/,J^ étant conjugués , f , f^ f ' sont rectangulaires (4).
Or I]2.f.£sin(iyS)] est îe volume du prisme qui passe par le triangle X> a ses arêtes parallèles au diamètre u et est terminé aux plans tangens aux extrémités du diamètre su; 6n voit semblablement ce qu'expriment les deux autres quantités ; *donc , etc.
(aJT) Si l'on projette sur le plan de deux droites fixes u\ u', par des droites toutes ]>arallèles à leur diamètre conjugué i, tes trois faces du parallélépipède construit sur trois diamètre»
(3.5) con]ugné3 quelconques , la somme des carrés des trois projeo** tions^est une quantité constante.
£a effet, l'on a
sm(iyO =5 ?!. , sm (i,/^ = — y^ ^ (i5)
u.rrsmrr ^./u ain/^'
et par conséquent
sin (Jjiu^ *'
Ton aura de même
rr^sinr^r^, . ^ \ -g* =: //sinuV'cos/f/f ,
rr 8mr,r -Jjj-Tjy/^ = " ^mu ^ cosA ,f.
Les premiers membres de ces trois équations sont les prd* jections des parallélogrammes //sin jv^, n'sin r,r^, r/sinr^.
sur le plan des deux diamètres /, à" par des droites parallèles à leur conjugué à \ la somme des carrés de ces quantités
est égale à (//sin/y)% puisque Jl, R', R' étant rectangulaires, on a cos*il,p +cos*iR',p + cos*R*',^ =1. Donc, etc.
(q4) ^ ^i Ion forme trois parallélépipèdes qui aient trois dia- 7> mètres conjugués r, /, r^ pour diagonales respectivement et T) dont les arêtes soient parallèles à trois autres diamètres conyi jagués j, /, u", la somme de leurs bases sur Tun des plans D formés par ces derniers deux à deux, est égale à zéro, n
En effet, si par l'extrémité du diamètre r, on mène deux droites, la première parallèle au diamètre i, et terminée au plaii de / et j", ta seconde parallèle à / et terminée au plan
de J et J*; elles seront égales à icosA^f, /cosit/p' respecti- Tement , ce dont il est facile de s'assurer ; le parallélépipède qui a , le diamètre r pour diagonale , et dont les arêtes sont parallèles au,/, /, a donc pour expression de sa base sur je plan de â, /,
j/ sin J^X cos fl,p cos iÇp'.
Les bases des deux autres parallélépipèdes sur le même plan seront
j/ siQ j,/ cos R',f co9R',f\ Ji' sînv'cos R%f cos A ,fV :
-fa somme de ces trois quantités est
Ji/smj[x (co8R,fCosR]f^ co3R,fCoaR,f'+ cosil^fcos/l%f0
.r=Xi'sm ^y COS f,f' = G.
Donc^ etc.
On doit regarder la base d'un des parallélépipèdes snrle plan de u et /, par exemple , comme positiye quand elle est comprise dans Tangle des diamètres ^ , /^ ou dan» Tangle fonné par leurs prolongemens , et comme négative quand elle eât comprise entre un diamètre et le prolongement de l'antre.
(a5) u Si, par le centre de rellipsoïoe, on mène une droite D fixe , les plans tangens aux extrémités de trois diamètres conn jugués /]ueiconqties la rencontreront en trois points tels que la f) somme des carrés des valeurs inverses de leurs distances au p centre de la surface sera une quantité constante. .y>
En effet, soient (, >, Ç les cosinus des angles que cette droite fixe fait avec les trois axes coordonnés» et /, m, n les distances de l'origine aux points où elle perce les trois plans tan* .gens aux extrémités des diamètres r, /^ r^, oa aura
La soQune des carrés de ces trois quantités est
le second membre est une quantité constante; donc, etc.
(26) On démontrerait de même le théorème suivant :
K Si, par le centre de l'ellipsoïde^ Ton mène deux droit»
n fixes , les traces des plans tangens aux extrémités de trois dis*
I» mètres conjugués , sur le plan de ces deux droites , formeront
«I avec eUes trois triangles aont la somme des valeurs inverses
' V sera une quantité constante. y>
(27) a Si Ton multiplie deux à deux et par le sinus de l'angle » quelles comprennent^ les £ace^ qui forment un angle trièdie
'1^ dn parallélépipède comtniit sur trois diamètiB^ conîugaés» It 7) somme des carrés des trois produits est une quantité cous* i> tante, yt
En efiêti le Tolume du parallélépipède constniit sur r, /» r^, est
r//' V 1 — cosV,/— cos^r^r*— cosy,!^^ acosry eosT^cos/y = aie;
multipliant et divisant le premier membre par rsinrysinr^r^, l'on a
-^ • ^ .^ ' ^ ^1 — co8V,r — etc^ ,
IT sm r,r.rr ain r^r--^ rizabcr,
, ^ . A- «mr,r 8mr,r •ou bien
r/8Înr,/.rr*8Înr,r^8ÎnZ> s= uberi
en appelant D l'angle dièdre dont Taréte est r, Ton aura de même
r'r8in/,r,/j^8În/,r''8ÎnZ)'s=3 abc/, y''rsini^,r.r*/sinr;/sini>*= abc/',
jy y D^ étant les angles dièdres dont les arêtes sont /, f\\%, tomme des carrés de ces trois quantités est égale à
c^b\^ (r« + /• + r**) = a*6 V (a* + fc* + c») ;
donc , etc«
(38) a La somme des momens d*inertie d'un ellipsoïde^ par v rapport à trois diamètres conjugués y multipliés par les carrés )Y de ces diamètres respectivement , est une quantité constante. 1»
En effet , les momens d'inertie de l'ellipsoïde , par rapport au3(k diamètres r, /, r", sont
K'zzzA
et Ton a A = ^(c»+i'). ^ = 3 (c»-Hr»), C=^(a»+iO, *Jlf étant U masse âe l'ellipsoïde (^Méçani^e de M. Poiston ,
toinell^ page 81). D*apràs les équations (c> da lemme , il HtM '
= j [«'(c* + 60 + à\a- + cO + c^(a- + 6*)] ]
L^ (a»i» + aV + &«c*) ; J
cette quantité est constante. Dquc, etc. |
( ag ) a Si deux courbes S, S' sont tracées dans le p'an 2 n qui passe par les extrémités de trois diamètres con|uf;uéS| 1 n qu'on le^ . projette , par des droites parallèle à ces dianiètre>, m sur les pians qu ils forment deux a deux, et qa'on conçoive , )> six pyramides qui aient pour bases ces projections , et pour 7) sommet commun un point quelconque de la surface, la somme y^ des produits deux à deux de celles de ces pyramides dont D les bases sont sur le même plan, est éeale au produit des m 'deux pyramides qui ont pour bases les deux couroes S, S^, n et pour sommet commun le centre de la surface, n En effet , soient r, /, r' les trois diamètres conjugués ; la
sicTr 2^ projection de la courbe S sur le plan de 1^ et r* est 5 ■ . - ^ jj^^ i '
ia pyramide qui a cette projection pour base » et l'extrémité du
diamètre j pour sommet, a pour volume = -:— r^j/ri.sinfij/r*); '^ ^ 'O sm(r,rr^)
• / y^N ûicCOsR,# , rx ^ - r jjr\ ^^^
or dsiR Ci, /r^) = Y^ , (i5), et r sm(r,rr) = 7;-;
l'expression du volume devient 9 r • sin ( r,Z ) cos R,f , ou
= K,cosR,f, en désignant par iJC la distance du plan 2 au *
centre de la surface. La pyramide qui a pour base la projection de y sur le même plan //'y aura de même pour volume 5^ ^ „A , . , , SK fK /\
^ /Il cos n,f; le produit de ces volumes est -=- .-«- cos*/t,p;
les deux autres produits semblables seront , d'après cela ,
-5-.-^ cos*/f,p, -5-*~5~ COS* A ,f, La somme de ces trou
produits est -^ . -^ (cos'it,^ +cos*/î ,f + cos^/î ,p)=:=-=- • ^^n, j
puisque les trois diamètres /? , f?, Jî' sont rectangulaires^ ré- j ^tultat qui démontre le tbéorème énoncé.
Ea voici une seconde démonstraHon.
L'ellipsoïde rapporté i ses trois diamètres conjugués r, /, f* a pour équation
;ï*sin*(r,2) + Psin* (/,!) + Z» sin'Cr*,!) = K\ en appelant /iC la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan 2 qui passe par les extrémités de r, /, r'.
On peut écrire cette équation sous la forme :
dont l'inspection conduit à Fénoncé de la proposition,
11 est facile de voir que ce théorème et cette seconde dé* monstration s'appliquent à un nombre m de courbes situées dans
le plan - -f- -ï -|* - = i ^ pourvu que le sommet commun des
5m pyramides qui ont poui^ bases les projections de ces courbes sur les trois plans cooroonnés , soit sur la surface
Le tbéorème du n^ i6 est un cas particulier du précédent.
(36) a Les propriétés du parallélépipède construit sur trois V diamètres conjugués appartiennent au parallélépipède qui a D ses arêtes dirigées suivant les perpendiculaires abaissées du D centre de la surface sur les faces du premier , et égales aux 7) valeurs inverses de ces perpendiculaires. »
Cet énoncé renferme plusieurs théorèmes auxquels il serait . facile d*appliquer des démonstrations semblables aux précédentes ; mais en voici une qui est générale ; elle consiste à observer que si sur la perpendiculaire p abaissée de l'oridne sur le plan tangent à l'extrémité du diamètre r, on prend une partie
égale à sa valeur inverse , c'est-à-dire à -^ on aura un dia-
mètre de la surface 0*0:* + b*y^ + <^** = 1 , qnî se déduira de
la droite R , par rapport à cette surface, de la même manière que r
s'est déduit deR dans la surface -^ 4- v: +-t= i-
Les trois petpendîcnlaifes d , p\ p' abaissées de rott^ine taries faces dû parallélepipèae construit sur r, /, r" sont donc dirigées suivant les trois diamètres de la surface a*j:^-{*^^' -f (*t^=.\ ,, qu on déduit des trois droites R, Bf', R' \ et leurs yaleun inverses -p —ft -i sont égales à ces diamètres, lesquels sont coi:jugués quand R, R, R" sont rectangulaires. Ainsi les droites - , -7 , -f sont trois diamèti^es conjugués de la surface û'jc* + iy* -4" ^^^ = 1 y en même tems que r, /, f sont des diamètres
•^ jA ^ j^
conjugués de la sur£ace — H-jj + "'î = 1 * ce qui démontre le
diéorème énoncé.
(3i) Quand les trois diamètres -» -7, -^ sont rectangulaires/
la somme des carrés de leurs valeuri inverses est constante ,
c'est-à-dire que p» -f //• +p'* = a» + 6* + c» (5); il suit de
là que :
Le point d^ intersection de trois plans rectangulaires tangens
X* V* z* à la surface — + ^ + -^=2 1, se meut sur la sphère
Car le carré de la distance du point d'intersection de ces trois plans à Torigine est p*+p'^+p''^=a* + b* + (^.
On peut démontrer ce théorème en observant que les conditions pour que les trois plans tangens aux extrémités des diamètres r, r, r' soient rectangulaires , expriment que les tfois diamètres H, /T, R" sont conjugués; que par conséquent la somme de leurs carrés est a*4-2* + c* (8); or -R=p, R!=^p\ R^^p" (3); donc p'+p'*+/» = a*+ i*+c»; donc le point d'intersection, etc.
(3s) En voici une trobième démonstration.
Soit Ti la longueur du diamètre qui dérive de r^ de la même manière que nous avons déduit r de R (a) *, les coordonnéci
de Textrémité de ce diamètre seront x= — ,y = — >*= — ■
et le plan tangent à l'ellipsoïde , en ce point» aura pour équation «05 + Cy + ya = r.
(♦) Ce tbcorème , donne par M. Mongc ^ a été démontre' par M. Po:§son , premier Tolume de la Gonespondance , page 340 , e( TniU des SiurCkcci du second degré y page 234*
Ceptan estperpendicntaîre au diamètre R , comme if est facile ide le voir ; sa distance à Vorigine eat r ; donc ai l'on a trois plans» tangens à l'ellipsoïde et perpendiculaires aux trois droites rectangulaires Rf Rl, R" respectivement , leurs distances à l'orîgbe seront r, /, r*, dont la somme des carrés est a* -f- ^* + c*; donc le point dinténection de trois plans rectangulaires tangens à ua ellipsoïde se meut sur une sphère.
On peut trouver l'équation de cette sphère sans chercher son rayon ; car les équations des trois plans tangens sont
/jc+ cy+y»= /,
Les élevant au carré et les ajoutant membre à membre > en ayant égard aux équations (c) et (cl) , on aura
a:» + y* + ft' = I* + ï'* + i'* = «• + i* + c»,
équation de la sphère sur laquelle se meut le point d'intersec^i tîon des trois plans.
(33) Le carré de la longueur du diamètre r^ est
d'où
r^r\ = ûV + i4^ + c4y*;
on aura de même
en appelant rj , r'J les dérivés de /, i^.
Lia somme de ces trois quantités est
y'rî + /V;* + r'v;* = a^ + W + c4 ,
c*est-à-dire que si ton a trois diamètres conjugués et qi^on multiplie chacun deux par son dérivé y la somme des carrés de^ produits sera une quantité constante.
Ou bien :
Si ton a trois diamètres et au! on multiplie chacun deux par la distance du centre de la surface au olan tangent â son ejc-r trémité , la somme des cams des proauits sera une quantité constante ^ quand les trois plans tangens seront rectangulaires^
* ( 3aa )
• t^^' Soit ,H le: 'diamètre d'où dérive R, de la même manière
f|Ue r dérive de A; les cosinus des angles qu'il fait av^ les
axes seront — , -r*» — ; «on extrémité aura pour coordoaa ' c ^
, ,RRm ^RRS ,RRr , u *•*. . j nées X = , y = ^-r— , »= ' i les subatituant dac»
X* y* £* réquation - +'J; + ^ = i , on aura
on aura de même
Xa. somme de ces trois quantités est
c'est-à-dire que
«ïi Ton a trois diamètres et qu'on multiplie chcicun deux par son dérivé f la somme des carrés des valeurs inverses des produits sera une quantité constante , quand ces trois dérivés sevont rectangulaires. ' . .
Ou bien , en observant que la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent à l'esàrépdté de r a la directioa de ,/{ et la longueur de R (^ioi) , on aura ce théorème :
Si du centre de VelUpsoide on abaisse trois perpendiculaires sur les faces du paraléllepipi^de construit sur trois diamètres conju9;ués, qu on fasse le produit de chaque perpendiculaire par le diamètre de la surface dirigé suivaAt elle , la somme des carrés des valeurs inverses de ces trois produits sera une quanti le constante.
(55) Appelons r% le diamètre qu'on déduit de fi , de la même manière que r^ se déduit de r; soit rj le diamètre qui se déduira semolablement de r%\ etc.
Le diamètre r, fait avec les axes des coordonnées des angles
dont les cosinus sont — , — , — ; si Ton prend «ur ce diarr^' rr, rr^' '^
faiètre une partie égale i ftzzzrrt, son extrémité sera sur la
(5^3) surface ayant pour équation l-x»+L y ^ 1 ^t» — i . ce diamètre fé est, comme on voit, le dérivé de R par rapport à cette surface. Les dérivés de R, R" sont semblat^ment
/*'= ^r[, iJ'=:zf^T\y et dirigés suivant r[, r\ respectivement. Ces diamètres /•, ft\ fê" seront conjugués quand R, R', R" seJront rectangulaires (4)- Tout ce que nous avons dit des diamètres conjugués s'appliquera àft, fê, /»".
On verrait de même que les trois axes w = rfir», «/= /rV w" = r^r[rl , dirigés suivant r,, r^, rj , sont des diamètres conjugués de la surface -g+-^ 4.^ = 1 , quand /l, /{', ft* «ont rectangulaires; ainsi
r»rîr: + /*r:v:* + /v:v:»=:a«+6»+c«; etc., etc.
(36) Les plans tangens aux extrémités des diamètres r» , r» , r][ «ont perpendiculaires aux diamètres r,/ ,r^ (3a) ; leurs équa-< tions sont :
attx + bCy + cyz = jTi ,
Cf«':c + fcCy + cy'z = rVJ ,
m''x+ bS'y+ cyz=. r^r\\
la somme de leurs carrés est
donc le point é[ intersection de trois clans tangens à un el^ iipsoïde et perpendiculaires à trois aiamètrès conjugués^ se meut sur un e/lipsoide concentrique au proposé.
(57) Les plans tangens aux extrémités des trois diamètres rsi r,, ri, ont pour équations
a^MX + i*^y + c*ya = rr^r^ , aU'x+ IKy + <^Vz:=2 /r.V;, a'm'x+ bK''y+ cV'4= r'rX ,
dont la somme des carrés est
aij^ + b^y* + c^z* =î= a» + i* *f c» ;
or ces trois plans sont perpendiculaires aux diamètres fi , r[ , r\ (32) ; donc :
Si après avoir mené trois plans rectangulaires tangens à un 3. Aa
ellipsoïde , on tiré troîs^ diamètres oui aboutissent à leurs points de contact, et qu'on mène trois pians tangens perpendiculaires à ces diamètres, leur point d'intersection se mouvra sur un elUpsaide concentrique mu proposé.
(38) L*op « 1^ = a^e^ + A'C* + cVi ce cpii exprime qne le carré de r eH éul à la aomme des carrés des projections du trois rajroM a, a, c dirigés fsîvattt R, lur le» axes àea x, y, z respectivement.
Nous avons trouvé (ii)
or il est facile de s*asAirer que (nP— • C) :=ismn!kc(ys{RR\xy) ,
{^'^mWy=BinR%'cos(RB^,xz), (Cy'— Cy)=sinB^cos(/lB',z) ) ; il vient donc
y*r'*sinv5'î=d»Wfl*iiî^cos»(flfl'^)-f^rtin»a^
■ +6»c*sin*iCR'cos*(/l/r,»j^);
d'où Ton conclut qne si Ton projette sur les plans xy, xz, yz les trois triangles formés par les rayons a et A ^ a et c , l et c , respectivemrent, ces rajons étant dirigés suivant R et K, la somme des carrés des trois projections est égale au carré du triangle formé par r et /.
(39) u Le parailélcpipède construit sur troi^ diamètres queln conques r, /, r", est égal en volume au parallélépipède cons- » truit sur les trois axes a, b, e dirigés suivant les diamètres fi' R, K , n» t*
" £n effet , le carré du volume du parallélépipède construit sur r, /, r" est
P«=:rW*[i— cosV,r'— cosV,r^— cosV,r^+acosr/cosr,r''cosr'^] = [CoV+i«C^+ cV) (flV • +W+c*y •XaV+i^C'+c'y'*) — (aV+**^'-HVTf (a*-'+i*C?+c^y' y
(aV 4. A^C» + c^Y^ )(a W+i-CC+c'yV)* +a(a»--'4-i'^4-c*ïy'Xû*-^'+*'^4<W0(û'**"4-*"f^4<^yy')^
Développant les differens ternes de cette expression , on trouve que les coefficiens de c*, b^, c*, û^i', etc. sont nuls; il ne r&jte qoe le terme en a*b^d^ qui peut être mis aous la forme :
-(-"•+C"*-hr"0(-'+&"+yyr+
or on a ••+?4V=i , Z^+r^+y—i , ii'*+C*-ft'*=i . W + Cr+ry' = co9^/r, i*|- H-CC-Hyy'ffiî cos/J^T et «V + Cr + yy r= cùslCBr -, «nsi
P» = a»fc V [ I — cos* /l^— cos* tCk'— cos* /iCh'
+ 2C0sff;il COsifiR CÙslé^K2 >
équation qui démontre le théorème énoncé.
Si r, r, Z' sont conjugués, Jl, /T, H* seront rectangulaires ; alors on aura P*=a*î'c% Pz=zabc, comme nous l'avons trouvé (il).
Le carré du volume du parallélépipède cîonstruît sur /, r'* et x sera , en supposant /, r' conjugué:» , c*est-à-^ire K, R" rectangulaires ,
V = a»4V(i — cos»fl^f — co»*fiCf) = «•4*c*coâ«^p ; car cos'/Ç + cos"/f,f -f- cos^R^jf £i= i , puisque fl, iP, il" sont
rectangulaires ; ainsi ^= a^c cos R^f ; il est clair qu*on trou-* ' verait la m^nie expression pour le parallélépipède construit sur y, à" et r, d*aù suit le théorème du n^ i5.
Cubature de t ellipsoïde.
(4o) Nous avons vu que la pyramide formée par les trois diamètres r, /, / a Btkékae volume que celle qui a pour arêtes les trois axes Uy b , o dirigiss suivant fl , fi', R" ; celle-ci est ég^le en volume a celle qui aurait ses arêtes également dirigées
suivant fi, fi*, fi", mais foutes trois égales à <=v <z6c,0r si Ton auppose les trois diamètres r, /, r infiniment rapprochés l'un de rautre , de manière que la* pyramide qu'ils forment puisse être regardée comme un élément de l'ellipsoïde, Faufre pyramide en sera un de la sphère qui a même centre qoe rellipsoïde et ê pour rayon. Cette sphère est donc telle qu'un de ses élémens a son égal dans l'ellipsoïde , et réciproquement. Donc la somme des élémens de la sphère est égale à la somme des élémens de l'ellipsoïde -, donc cet ellipsoïde a pour expression de son volume j r^^ = 3 wabc.
uippUcation à Vellipsoîde de différentes propriétés de la sphère.
Concevons une anrface rapportée à trois plans rectangulaires; déformons-la de manière que les coordonnées Xy y^ z d*un de
ses points deviennent X = j-x, Y^zz-- y ^ Z = rz , a» b , c
et I étant troiâ quantités constantes. L'on formera ainsi une nouvelle surface qui sera du même degré que la proposée,
puisque Ton a a? = -A', yzrzrV, « = -2; nous appellerons
cette nouvelle surface dérivée de la première.
Cette transformation donne le moyen d'appliquer à une surface des théorèmes qu'on sait appartenir à une autre surface du même degré.
Soit, par exemple, la sphère qui a pour équation
x» + y + »• = #•; sa dérivée sera la surface de l'ellipsoïde représenté par
La courbe dérivée d'un cercle de la sphère sera une courbe plane ; la surface dérivée d*un cône tangent à la sphère sera un cône tangent à l'ellipsoïde > donc la courbe de contact d'un cône et d'un ellipsoïde est une courbe plane.
Par deux cercles d'une sphère on peut faire passer deux cônes ; donc par deux courbes planes dun ellipsoïde on peut faire passer deux cônes.
La courbe dérivée d'un grand cercle de la sphère est située dans un plan diamétral de Tellipsoïde , par conséquent plusieurs des théorèmes de la théorie des transversales spnériques s'appliquent à des courbes tracées sur la surface d*un ellipsoïde , dans des plans passant par son centre.
Toutes les spnères ont pour, dérivées des surfaces semblables et semblablement placées entr'elles.
Car soit
ix—iy + (^—my + (*-n/ = *•
l'équation d'une sphère ; celle de sa dérivée sera
(337) ou
et Von Yoit que cette surface est semblable à celle qui a pour équation
Son centre^ dont les coordonnées sont jh j^> z f^p est le
point dérivé du centre de la sphère (^t>— 0*+(j'~'''*)*+(2 — n)*=i*.
D'après cela , les théorèmes relatif aux contacts des sphères ont lieu pour des ellipsoïdes semblables et semblablement placés.
Ainsi le centre dun ellipsoïde s. et s. p. (semblable et semblablement placé), et tangent à deux autres^ se meut sur une «urface du second degré.
Le centre d*un ellipsoïde s. , s. p. et tangent à troià autres , se meut sur une courbe du secoua degré.
La suite des points de contact de cet ellipsoïde et de Tua des trois autres^ est une courbe plane;
Etc. , etc.
Mais il n est pas nécessaire de démontrer d*abord pour de» sphères tous ces théorèmes, pour ensufte les appliquer^ ainsi i que nous venons de le faire , aux ellipsoïdes ; il est facile de les démontrer généralement pour des surfaces du second degré . 8s. et s. ps.^ soit par Tanalyse , soit en ne posant aucune équation.
Le même mode de transformation peut aussi servir pour résoudre des problèmes de Géométrie descriptive.
Il sera facile, par exemple, de trouver , avec la ligne droite et le cercle , les points d'intersection d'une droite et d'un ellipsoïde dont on connaîtra les six sommets } de mener par une droite un plan tangent à cet ellipsoïde^ etc.
Une propriété importante de notre système de transformation est que
u Le volume d'un corps quelconque est le même que celui
T de son dérivé , quand ê :=zy abc» n
Pour le prouver , prenons d'abord une pyramide triangulaire située d'une manière quelconque par rapport aux trois plans coordonnés ; l'expression de son volume se compose , comme on çait , d'une suite de produits de trois facteurs qui sont des coordonnées des sommets de la pyramide; et les coordonnées do
( 3a8 > cliaque facteur 9ont différentes , c est-à-dire sont dirigées , l'ane suivant Taxe des x y Tautre suivant Taxe des y , et la troisième suivant Taxe des Z} (*) par conséquent la pyramide dérivée aura
pour volume la même expression multipliée par -jr- ; mais je
suppose que f ^ abc ; donc les deux pyramides auront même
volume- Or tout corps peut être re^rdé comme composé d*une înE-
nité de pyramides triangulaires infiniment petites qui auront
toutes leurs égales en volume dans eoa dérivé; donc le théo*
rème est démoutré.
Il suit de là aucune portion quelconque de Tellipsoïde
jp y* z^
— + -j^ -|- — = 1 aura même volume qu*nne portion corres-
pondante de la sphère x*+ j^+a*=:(i/afc/, et que par conséquent Tellipsoïde aura pour volume éira5c.
Il suit aussi de ce qui précède que quand ie sommet d'un côre tangent à un ellipsoïde se meut sur la surface d'un ellipsoïde s. , s. p. et concentrique au premier ,
1°. Le volume compris entre la surface du cône et celle de Tellipsoïde , depuis le sommet jusqu'à la courbe de contact^ e^t constamment le même ;
a°. Le volume du segment déterminé dans l'ellipsoïde par Te plan de la courbe de contact du cône > est toujours le même ;
Z^. Le volume du secteur semblablement déterminé reste également le même;
Etc., etc.
Démonstration des tfiéorèmes sur les surfaces du secoud degré y énoncés par M. Mange y Correspond dance sur VEcole Polytechnique j tom. IIj p. Sig;
par M. CilA$L£3»
(i) u Lorsque deux surfaces quelconques du second degré 3î sont concentriques, il y a toujonra dans cbâcooe d'elles troi» 7> diamètres conjugués dont les directions sont les mêmes que D celles de trois diamètres conjugués considérés dans l'autre, i*»
£n effet , supposons les deux surfaces rapportées à trois axes qui soient les diamètres conjugués rectangulaires de la première ; elles auront pour équations
(*) Journal de TEcole Polytechnique, !$• cahier, page 97.
Menons par Torigine trois noureanx axes oJ^ ù^^ oz\ doat les équationâ soient
les formules qui serviront à passer du système d*axes rectan* gulaîres ox , ay , oz^ aux axes obliques oa/,oy', oa', -seront : (Traité des Surfaces du second degré ^ par M. Hachette, p. lao.)
•^ |/û»+À«+r v/fl'-+6'--H /a^^+i'^+r*
i/^rp^q::^ ï/^Çâ'^ i/^H^^^+ï*
Si Von substitue ces valeurs de x, y, z dans les équations des deux surfaces , et qu*on égale à zéro les coefiîciens des termes en ci/y\ oi^^ y'z\ pour exprimer que les trois axes or', oy\ eii sont, dans chacune des surfaces , trois diamètres conjugues i on aura les six équations {A)
AaaT+BbV^CzrzOy
Jiia"+Bb'b'+Cz=o.
ijfacf +B'bb' +C+iy (A+y ) + «'(a+a'H- PÇob'+ba!) = o ,
lA'aar ^^ffbb" + C+DXb +4") +£r(fl+a'^+r(ab'+ ba") = o ,
[A'cia'+ffVV+C^a(b'+V)-^E;{J^a'^^F'{a'b''^Va''^ = o,
lesquelles donneront les valeurs des six inconnues a» b, d^ h\ a\ b\
Multiplions la première par a*, et la seconde par a, «t retranchons-les Tune de l'antre; puis multiplions la première par b" et la deuxième par V^ et retranchons-les encore Tune de l'autre ; nous aurons les deux suivantes :
Bb{c/V-^ Va'^ + Cia'^a'^ = o, AaiciV-^Va^ + Cib'^V) = q;
( 33o) faisant les mêmes opérations sur la quatrième et la cinqniinw des équations (yf), on obtiendra
. iB'b+F'a+ir)(a'b'—a'b') + (D'M-£'«+0(a'— «O = o » (J'a+F'b+£rKa'l/-a'b') + (D'i+£'o+CO(*'— 6')=o;
éliminant ' ^^ é ^^^^ 1^ première et la troisième de ces
quatre équations, et —ni — tt- entre la seconde et la qna-
trième, on parvient à deux équations qui ne contiennent que a et 3 ; elles sont
Si de cette dernière , qui ne contient b qu'à la première puissance , on tire la valeur de cette inconnue , et qu'on la substitue dans l'autre équation , les termes en o^ sq détruiront , et il restera une équation du troisième degré qui donnera toujours une valeur réelle pour a; mettant cette valeur dans )a seconde des équations précédentes, on aura une valeur réelle correspondante de b* Ces deux valeurs de a et 6 détermineront la position de l'axe oaf ; on les substituera dans la première et la quatrième des équations (^A) , on aura par là deux équations du premier degré en af et V, desquelles on tirera des valeurs réelles pour ces deux inconnues ; les mettant dans les troisième et sixième équations (^), on aura deux équations qui donneront des valeurs réelles pour u' et i*. Ainsi les trois axes ox^ oy\ oz' seront parfaitement déterminés et pourront toujours l'être; donc le théorème est démontré.
Les équations {A) étant S3anétriques par rapport aux inconnues , les valeurs de a, a', a" doivent être données par la même équation; mais nous venons de voir que cette équation n'est que du troisième degré; elle ne donne donc qu'une valeur pour chacune des inconnues a , a\ a" ; donc , en général , il n'existe qu'un système d'axes qui satisfasse à la question.
Si la première surface est une sphère , les trois axes oj/, oy, oz' sont rectangulaires , donc :
Dans toute surface du second degré il existe trois axes cooT'* donnés rectangulaires pour lesquels l'équation de la surface ne renferme pas to rectangles xy , xz , yz. ( Traité des surfaces du second degré, page i6â).
' M. Monge appelle droites diamétrales conjuguées communes les troia direcriona des troia diamètres conjugués qui sont parallèles entr^eux respectivement dans les deux surfaces.
(a) Les équations des deux surfaces , rapportées à leurs trois droites diamétrales conjuguées communes ^ sont
jra^+ By+ Cz*=i i;
éliminant successivement x,yetz entre ces deux équations^ on a les trois suivantes :
{AB'—B^)y* + {AC^Cjf)z'^ = J—A",
iAC^CA')x^ + {BC—CB')f = C— C,
CTuî représentent les projections de l'intersection des deux surfaces sur les trois plans coordonnés ; par conséquent cette intersection est toujours comprise en même tems sur les surfaces de trois cylindres qui ont pour bases des sections coniques ' et qui sont parallèles aux trois droites diamétrales conjuguées ccnmunes.
Cela fournit une construction des trois droites diamétrales conjuguées communes qui deviennent, comme je Tai déjà olv serve, les trois axes rectangulaires de Tune des deux suif aces , lorsque Vautre est celle d'une sphère.
Quels que soient les signes des trois quantités {AB'^^Bjf) , XAC-^CA) , (^BC — C5), dont le dernier nest plus arbitraire quand les deux autres sont differens , deux des trois courbes que représentent les trois équations précédentes sont du genre de Tellipse, et l'autre du genre de l'hyperbole.
(3) Supposons qu'on fasse croître proportionnellement les trois paramètres A*, B , C \ on aura une suite de surfaces toutes concentriques y semblables entr'elles et semblablement placées ; leur équation générale est
n {A'x^ + B'y^ + Cz*) = i ; chaque valeur de n donne une de ces surfaces.
Faisons n=z—,, auquel cas la nouvelle surface et la première , dont l'équation estu^j7*-f- ^y^ + ^** = i , ont leurs dia* mètres suivant l'axe des-j? égaux.
L'équation de la projection de leur intersection sur le plan. .4es yz est
iAB'^ BA')y^ + {AC-^ CA^z^ = o j,
toxX. Aff — BA^CiyAC — CA''^o\ cette équation doiine^=:o j z=o; donc leâ deux surfaces 6e touchent en deux points situés sur Taxe des a:, et a ont pas d'autres points communs.
Donnons à n une autre valeur égale à -^ ; Tintersection de
la nouvelle surface et de la première a pour projection sur le plan des xz^
iAff— BA')x* — {BC— CB^z* = o ;
soit B(y — CB"^o-, nous aVons déjà posé AB^^^BA^'^o; par conséquent cette équation représente deux droites passant par l'origine ; donc , dans ce cas où les deux surfaces ont leur^ diamètres . suivant Taxe des ^ égaux, elles se coupent suivant deux courbes planes dont les points d'intersection sont sur Taxe des y; il est clair qu'en ces points les deux surfaces se touchent.
Supposons enfin à n la valeur -77 ; la projection de l'inter-
aection de la surface fixe et de la nouvelle . sur le plan des xy^ est
ÇjiC— CA')x^ + {BC^ CB')y^ — ,
l'on a AC'^ CAl > o , BC — Cff > o ; donc cette équation donne x=o, y = o, et par conséquent les deux surfaces ?e' touchent en deux points situés sur Taxe des z et n'ont pas d'autres points communs.
On peut faire d'autres combinaisons sur les signes des quantités {Aff—Bjf), {AC—CA'), (,BC—Cff), mais on parvient toujours à ce théorème :
tt Les trois droites diamétrales conjuguées communes ne jouissent » pas toutes trois des mêmes propriétés. Pour deux de ces droites, n si les diamètres des deux surtaces qui se trouvent sur l'une 9) d'elles sont égaux entr'enx, les surfaces se touchent dans deux Y) points diamétralement opposés, et n'ont pas d'autres points y) communs : pour la troisième , si les diamètres des deux surn faces sont égaux entr'eux , non-0eulement les deux surfaces se 9 touchent en deux points diamétralement opposés > mais encore 19 elles se coupent dans le système de deux courbes planes pour n lesquelles les deux points de contact des sur&ces sont deux » points d'intersection, w
Cela oblige à distinguer les trois droites diamétrales oon)i^ guées communes en deux extrêmes et une moyenne.
L'axe des x, par exemple , sera une droite diamétrale conjuguée commune extrême , ou moyenne , suivant que les deux Éoefficiens de y^ et l^ dans l'équation
A 2?'— BA')y^ + (^C— CA^z^ = — ^
(335) êe la projection de Tinteriection des deux surfaces sur le plan des yz y seront de mêmes signes ou de signes différens.
(iQ Dans le cas général , c'est-à-dire lorsque les deux surfaces quelconques du second degré ne sont pas concentriques, et cfuelqiie part oue soient placés leurs centres ^ il y a toujours dans chacune aelles trois diamètres conjugués qui sont respectivement parallèles à trois diamètres conjugués considérés dans Tautre. \
(lar si Ton conçoit une troisième surface concentrique à la première , semblable et semblablement placée à la seconde » elle a, d*après ce qui précède, trois diamètres conjugués respectivement parallèles à trois diamètres conjugués de la première; mais tous ses diamètres conjugués sont parallèles à des diamètres conjugués de la seconde surface ; donc deux surfaces quelconques du second degré ont chacune trois diamètres conjugués parallèles à trois diamè^res conjuenés de l'autre.
Nous appellerons toujours droites diamétrales conjuguées com- 711' mes les droites parallèles à ces diamètres; deux sont extrêmes et la troisième moyenne.
Si Ton rapporte les deux surfaces à ces trois droites diamétrales , par ces coordonnées qui soient respectivement parallèles, à ces droites, leurs équations seront
^(a>-fl)* + jyçy—by + CÇzr^y = 1 ,
]a première surface ayant son centre à Torigine des coordonnées % et la seconde au point dont les coordonnées sont a, b, c.
(3) Voyons ce qui a lieu quand les deux surfaces se touchent.
«:>i elles se touchent en deux points > elles ont deux plans tan-* gens communs en ces points ; or on sait que le plan qui passe par la droite d'intersection de deux plans tangens à une surfacedu second degré , et par le milieu de la droite qui joint les. deux points oe contact, contient le centre de la surface et est diamétral opposé à cette droite; donc le plan qui passe par les. centres des deux surfaces et par le milieu de la droite qui joint leurs points de contact est , dans les deux surfaces , plan diamé-*. Irai opposé à cette droite, laquelle est par conséquent parallèle à l'une des trois droites diamétrales conjuguées communes au3^ deux surfaces. Examinons à laquelle.
Les deux surfaces devant avoir leurs centres dans le plan diamétral opposé à l'une des droites conjuguées communes , sup-^ posons que ce soit dans le plan des yz', leurs équations seront
Jx^ + By^ + C** z= I ,
(334) ' L^intersectîon de ces denx surfaces a pour projection sur le plan des yz la courbe représentée par Féquation
iJB'—Bjf)y^ + iAO-^CJ^z"^ — f^AB'by — a^Cca + Affb^ + ACc^zzz A — A\
qui peut se mettre sous la forme
!{AC—CA')[ {AB'—BA')y — AÏÏby + iAB'-BA'){{^AC-CA')z -ACcY + {ABfb^+ACc'+A'—A)iAC—CA')(ABr—BjO — {AC—CA') A^ff^b*'^AB'—BA)A^C^c' = o.
Or, si les deux surfaces se touchent ^ pour chaque point de contact les valeurs de -r- , -y- , tirées de la première équation ^
djc dcc sont égales aux valeurs <1^ 7* « x* ^^^ ^^ ^^ seconde ; ain&i
on a
ëL ~ ^Xy— *^ Tz cr(g— c)
^x ~ >x • Ax ~ A'x "-
ou bien
iAB'—BA')y-^AB'b = o , (^C— C-^)« — ^(Tc = o ;
les valeurs de y et z que donnent ces deux émiations sont lej coordonnées dea points de contact des deux surfaces ; ces points ■e trouvent sur leur intersection, ainsi ces valeurs doivent sartisfaire à l'équation (5); pour cela il faut qu'on ait
[AB'b' + ACc^+A'—A) (AC—CA') {AB'—BA') — {AC— Cjf)A^B'^b'^ — {Aff^ BA')A^C*c^ = o ;
telle est la condition nécessaire pour que les deux surfaces se touchent. D'après cela , l'équation (^) se réduit à
i (AC- CA')[iAB'^ BA')y- AB'b^ ^ -'*'"l+ iAB'—BA')[(^4C—CA')z'-'ACcy^o.
Lorsque les deux coefliciens (^Aff^^BA'^ , (AC-^CA^^ sont de même signe , cette équation fournit les deux autres ,
{AB'—BA)y'^AB'b = o , {AC—CA')z—ACc = o ,
qui représentent un point sur le plan des yz\ les deux surfaces se touchent donc en deux points situés ,sur une droit© parallèle à Taxe des Xj et n'ont pas d'autres points. communs;
( 335 ) dftns ce cas l'axe àes x est une droite diamétrale conjuguéf commune extrême (3).
Lorsque les deux coefEciens {^Aff^^BA')^ {AC — CA*) sont de signes dilférens , Téquation (i5') représente deux plans se coupant suivant une droite parallèle à Taxe des x; donc les deux surfaces se coïkpent suivant deux courbes planes en même tems qu'elles se touchent; mais dans ce cas Taxe des x est parallèle à la droite diamétrale conjuguée commune moyenne. On peut donc conclure ce théorème :
a Lorsoue deux surfaces quelconques se touchent en deux n points , la corde commune qui passe parles deux points de contact r» est toujours parallèle à l'une aes trois droites diamétrales con-^ ys juguées communes : cette droite est une des extrêmes , si les D deux surfaces n*ont d'autres points communs que leurs points 7) de contact \ elle est , au contraire > la droite diamétrale Tî moyenne , si les deux surfaces se coupent en même tems qu'ell*»» 7) se touchent, et alors Tintersection est composée du système » de deux courbes planes pour lesquelles les deux points de p contact des surfaces sont deux points d'intersection. »
L'équation {Bf) fait voir que les deux surfaces et le système des deux plans de leurs courbes d'intersection ont les mêmes droites diamétrales conjuguées communes.
(6) ce Lorsque deux surfaces du second degré se coupent suî- ^ vant deux courbes planes , ces deux surfaces et le système des 9) deux plans de leurs courbes d'intersection ont les mêmes droites 9) diamétrales conjuguées communes ; la moyenne de ces droites yi est parallèle à la droite d'intersection des deux plans. »
Nous venons de voir que ce théorème a lieu dans le cas où les deux surfaces se touchent en même tems qu'elles se coupent ; démontrons-le généralement.
Par les deux courbes d'intersection des deux surfaces on peut faire passer deux cônes (Correspondance , tome III, p. i4} ; leurs sommets et les centres de ces deux courbes sont dans un même plan qui contient les centres des deux surfaces \ ce plan est dans chacune de ces surfaces plan diamétral opposé à la droite d'intersection des plans de leurs deux courbes communes *, cefte droite est donc une des trois droites diamétrales conjuguées communes aux deux surfaces , et ce plan diamétral contient les deux autres.
Prenons-le pour plan des xz , les deux surfaces auront pour équations rapportées à leurs trois droites diamétrales conjuguées communes ^
Ax^ + By^ + Ca» = 1 ,
( 336 ) celle de la projection de leur inler^iection sur le plan des .ry itra
{A&—Bjt)j^ — {BC^Cff)z^ + fiBA'ax + t^BCcz c= ff^B + Bjfa"^ -H BCc\
«t devra représenter demc droites , puisque les deux surfaces se coupent suivant deux courbes planes dont les plans sont parallèles â Taxe des y.
Or, pour que cette équation représente deux droites, il faut i«. Que (^AB'—Bjf) et (tf C— Cff) soient de mêmes fig» es ce qui prouve que Taxe des y est la droite diamétrale conjuguée commune moyenne des deux surfaces (5) ; A*. Que l'on ait la condition
(ô^a»+iPCc*+ -»'—-») {AB'^BA^ {^BC^CBT) + {^BC— CB'^B^A'^à^ — {Aff'^BA'^B'C^d' = o.
D'après cela y Téquation précédente prend la forme : (^^— BA') {iBC— Cff)z — BCcy ^ {BC— CB') { ÇAB'—BA')x + BA'ay = o ,
et Von voit qu*el1e représente deux plans parallèles â Taxe des V ; le système de ces deux plans forme une surface du be* cona deeré rapportée à trois de ses axes conjugués.
Ainsi Tes deux surfaces proposées et le système des deux plans de leurs courbes d'intersection ont les mêmes droites diamétrales conjuguées communes ; la moyenne de ces droites est parallèle à l'intersection des deux plans.
De ce théorème on pourrait déduire tout le précédent.
On peut en conclure aussi que quand deux surfaces se toucher.t en deux points sans se couper , ces deux surfaces et le système de leurs deux plans tangens communs ont les mêmes droites diamétrales conjuguées communes. Car alors les deux surfaces . peuvent être considérées comme se counant suivant deux courbes planes infiniment petites ^ par lesquelles passent leurs deux plans tangens communs.
(7) a Deux surfaces quelconques du second degré étant dor- V nées> si, 1**. leurs centres sont placés sur une même droite » diamétrale conjuguée commune extrême; et si, a**, les secr) tions faites dans les deux surfaces par le plan diamétral op- D posé à cette droite, sont semblables entr'elles , l'intersection dfs n deux surfaces est composée du système de deux courbes planes yi du second deoré , semblables entr'elles , semblablement placées T) et dont les deux plans sont parallèles au plan diamétral , et 7» par conséquent parallèles entr'eux. »
(337) En effet, supposons que le centre de la' première surfaôtf Itant à Forigine des coordonnées , celui de la seconde soit sur Taxe des x , les équations des deux surfaces seront
et Ton aura la condition BC'^CB^ = o, qui exprime que les sections des deux surfaces par le plan des yz sont semblables enîr'elles.
Multipliant la première équation par J5' et la seconde par B, et les retranchant Tune de l'autre , on a
iAB''^Bjf)j^ + 2A'Bax—(Bji'i^^B'^B) = o,
équation qui représente deux plans parallèles au plan des yz , sur lesquels se trouvent les courbes dlntersection des deux siurfaces. Si Ton substitue successivement dans Tune des deux équations de ces surfaces , les deux valeurs de x tirées de la précédente, on aura les équations de ces deux courbes, qui sont semblables et semblablement placées à celle que représente réquation By+Cz^^i.
II faut que Taxe des x, sur lequel sont les centres des deux surfaces, soit une droite diamétrale conjuguée commune extrême; car les plans des deux courbes d'intersection doivent être parallèles à la droite diamétrale moyenne (6) , ce qui n'aurait pas lieu si cette droite était Taxe des x.
Lorsque les deux valeurs de x données par l'équation précédente sont égales , les deux 'courbes d'intersection se confondent en une seule, et par conséquent les deux surfaces sont circonscrites Tune à l'autre , c'est-à-dire qu'elles se touchent dans une courbe. Cette courbe est plane et son plan est parallèle au plan diamétral opposé à la droite menée par les centres des deux surfaces.
(8) Réciproquement : u Lorsque deux surfaces du second j» degré sont circonscrites Tune à l'autre, i®. leur comrbe de con-
V tact est plane; a**, la droite qui joint leurs centres est pa- T) rallèle à l'une de leurs droites diamétrales conjuguées coni-
V munes extrêmes ; 3^. le plan de leur courbe de contact est
V parallèle au plan diamétral opposé à cette droite, y)
1®. Si par trois points de la courbe de contact des deux surfaces on mène trois plans tangens à l'une d'elles , ils seront tangens â l'autre.
Concevons deux cônes qui aient leurs sommets au point d'intersection de ces trois plans, et qui soient tangens, l'un à la première surface^ et l'autre â la seconde. Les deux courbes de
( S38 ) contact seront planes et passeront par les trois points par lesquels nous ayons mené les trois plans tangens , ainsi elles se toucheront en ces points et seront situées dans leur plan , ca qui exige qu* elles se confondent en une .seule commune aux deux surfaces^ qui par conséquent se touchent suivant une courbe plane.
2®, et 3*^. Les centres des deux surfaces doivent se trouver sur la droite qui joint le centre de leur courbe de contact avec le sommet du cône qui leur est tangent suivant cette courbe; et le plan diamétral opposé à cette droite dafns chacune des surfaces, est parallèle au plan de la courbe de contact du cône ; donc cette droite est une des droites diamétrales conjuguées communes aux deux surfaces ; il est facile de voir qu'elié est une des extrêmes ; car les deux surfaces se coupent suivant deux courbes dont les plans se confondent en un seul, qui doit être parallèle à la droite diamétrale commune moyenne des deux surfaces (G) ; cette droite moyenne ne peut donc être la ligne des centres , laquelle par conséquent est une droite extrême.
(9) Lemme, u Lorsque deux courbes du second degré
1» BMCN , DMEN touchent une troisième courbe du second
ï) degré BDCE{Jig. 1) , aux points B, C pour la première , et a D, E pour la seconde ; ces deux courbes se coupent en quatie
V points M, N, P , Q , tels que les droites MN, PQ passent
V par le point d'intersection des deux droites BC, DE. n En effet, soit R le point d'intersection des tangentes à la
courbe BDCE aux points B, C, et soit 7* celui des tangentes a la même courbe aux points D , E. La droite RT est rencontrée par les deux droites BC , DE en des points O, /w tels
qu'on slIc :JB :: OC : ob, Iê \'ad wké :7î3
(Correspondance, tome IIÏ, page 11); si par le point A Ton
mène mie droite quelconque qui coupe la courbe BMCN
aux points C, y, -la courbe DMEN aux points'/, 1, et la
droite /IT^au point «, Ton aura Ay \ AZ \l my *. «^ t A% l
Ai" \l m \ t0^ (Correspondance, tome ïll, page 11).
D'après cela , si nous menons une droite par les points N et A,
et qu'elle rencontre les deux courbes BMCN , DMEN aux
poîilts Af, M* respectivement, et la droite RT en^H, Pon
aura 7ÏV : AM' ;i HN : HM\J7n : AM" i: HNlHM"',
donc AM' : A M" Il HUT : HM", or il eat facile de voir
que les points JIT^ M!' sont d'un même côté de la droite BT\ par conséquent il faut, pour que la dernière proportion ait lieu ,. que les deux points M'y M' se confondent en un seul ,
qui est le point M \ ainsi la droite MN passe par le point A^
11 en est de même de PQ.
(10) tt Lorsque deux suiiaces quelconques du second degré n sont circonscrites à une même troisième surface du second 1^ degré ^ elles se coupent toujours dans le système de deux 7) courbes plaiies , dont les plans passent par la même droite que i> ceux des deux courbes de contact des deux premières surfaces » avec la troisième, d (^
En effet, tout plan qui coupera les deux courbes de contact déterminera dans les surfaces trois courbes dont les deux premières toucheront la troisième , chacune en deux points , et par conséquent se couperont en quatre points qui seront deux  deux en ligne droite avec le point où le même plan rencontre la droite d'intersection Ldes plans deux dea courbes de contact (9); donc chacune des courbes d'intersection des deux premières surfaces est telle que la droite qui joint deux quelconques de ses pointa rencontre ta droite L ; donc cette courbe est plane et son plan passe par la droite L ; donc , etc.
La oroite L est parallèle à la droite diamétrale conjuguée commune moyenne des deux surfaces circonscrites à la troisième (G).
Le théorème précédent n'est qu'un cas particulier de celui-ci :
(11) tf Lorsque deux surfaces du second degré coupent une n même troisième surface du second degré ^ chacune suivant deux n courbes planes , et que les plans de ces quatre courbes passent 9) tous les quatre par une même droite L, les deux premières n surfaces se coupent suivant deux courbes planes dont les plans p passent par la même droite L, n
Pour donner la démonstration de ce théorème, je me servirai du lemme suivant :
( i a) Lemme, u Si , par un point A (Jîg' a) pris dans le plan d'une
ri section conique, on mène quatre droites BC, B'C, DE, UL\
D qui la coupent aux points B^ C\ B\ C \ D, E ; Ù , E\
'39 que l'on fasse passer deux courbes du second degré, l'une
{*) C'est ce ihcorème qu^on a dmouurc pour un ca« particulier , page a<^ ck ce cabicr.
(34o) f par les quatre premiers points , et la seconde par les quatns f) autres ; ces deux courbes se couperont en quatre points M,
n Ny P, Q, tels que les droites MN, PQ passeront par le D point j4. n
En effet, les quatre po inta O^^BC Wc, R c^s bFcC,
Kr^DÈfWE, et T^'pU'EE' seront sur une mêma
droite TO f Correspondance, tome III, page ii). Si, par le point N et le point A y l'on mène une droite, elle rencontrera
les courbes BBfCC, DlfEE^ en deux pomts M'^ M" respectiTement, et la droite TO en un point H ^ et Ton aura AN
: AÏ^ :: hn ; air, an : jm" :: m : 55F; tfo4
AM' : HM' :: ^W : iTAf"; mais les points Jlf,lP se trouTcnt
toujours d'un même côté de la droite 7'0',il faut donc , à cause de la proportion précédente » qu'ik se confondent en un seul,
qui est le point M. On yerrait de même que PQ passe par le point ><; ce qu* il fallait démontrer.
(i 3) Pour déduire de cette proposition la démonstration du théorème, menons un plan qnelconqnequi coupe lea quatre courbes d*in-tersection des deux premières surfaces avec la trobième; il rencontrera la droite L en un point A , et déterminera dans les surfaces trois courbes telles que les points d'intersection des deux premières ayec la troisième , seront deux à deux en ligne droite avec le point A\ donc les points d^intenection de ces deux premières courbes seront aussi deux à deux en ligne droite avec le même point A *(art. i a , lemme) , et cela aura lieu quelle que soit la position du plan coupant; donc Tintersection des aeux premières surfaces est composée de deux courbes planes dont \e% plans passent par la droite £. Donc, etc.
J'ai démontré (Correspondance, tome III, page ii et suiv.) les demiefs articles du Mémoire de M. Monge ; je me dispenserai de les rapporter ici ;'je ferai simplement observer qu'il existe une surface dans laquelle on trouve deux droites qui jouissent de propriétés réciproques, semblables à celles dont il est question dans l'article IX de ce Mémoire. C'est la surface enveloppe de l'espace parcouru par une surEace du second degré semblable , sembiablement placée et tangente à trois autres sur&ces du second degré.
Propriétés de la surface enveloppe de V espace pùreoum pqr une surface semblable , semblablement placée et tangente à trois autres surfaces du second degré ^ semblables entreUes et semblablement placées^
La surface (E) cnii enycloppe les surfaces (s) , (2^) , etc. ,' Semblables , semblablement placées et tangentes aux trois autre* (n) , (fl') , (n*^ du second degré (*) , peut être engendrée d'une seconde manière par une suriace mobile (12) tangente à trois des surfaces (E), (s'), etc.
Les centres de similitude directe des surfaces (12), (û'), etc. , combinées deux à deux, sont sur une même droite Z, et ceux des surfaces Te), (E^, etc. sont sur une droite A.
Les caractéristiques de la surface (£) , considérée comme «u- Teloppe de la surface mobile (s), sont des courbes du second degré, dont les plans passent tous par la droite L,
Par deux de ces couil>es on peut mener une surface semblable et semblablement placée â(fi), (D'), etc. ;etun cône ayant son sommet sur la droite A; deux cônes ainsi déterminés se coupent suivant deux courbes du second degré dont les plans passent par la droite L,
Par une seule de ces courbes on peut mener un cône tansent â la surface enveloppe, son sommet est sur la droite a; deux de ces cônes tangens se coupent suivant deux courbes du second degré dont les plans passent par la droite L,
Pareillement :
Les caractéristiques de la surface (£) considérée comme enveloppe de Tespace parcouru par la surface mobile (û) , sont des courbes du second degré , leurs plans passent tous par la droite A.
Par deux de cts courbes on peut faire passer une surface semblable et semblablement placée à (O) , etc. , et un cône ayaut aon sommet sur la droite L \ deux cônes ainsi déterminés se coupent suivant deux courbes du second degré dont les plans passent par la droite A.
Par une seule de ces caractéristiques on peut mener un côno tangent à la surface enveloppe , son sommet est sur la droite L ,
{*) Je rappose que la surface ( 8) , qui en gênerai peat toncYier les troît sarfaces ( n ) I ( n' ) ; ( n'' ) de huit manières difTécentcs , n'en eftvcloppv «ttcune , on les eoTêloppe K^aies trois.'
deux de ces cdnes tiagens se coupent suiyaot deux courbes planw dont les plans pa&$ent par la droite a. .
Ainsi f dans la surface enyeloppe que nous considérons , les deux droites L, a jouissent. Tune par rapport à l'antre, de propriétés qui sont réciproques, comme dians les surfaces du second degré.
Enfin par la courbe du second degré lieu des centres des surfaces (fî) , (û') , etc. , et celle qu'on obtient dans la surface (JE) par un plan passant par la droite L, on peut mener un cône Qont le sommet est sur la courbe lieu des centres des surfaces (s), (s'), etc. , et , par cette courbe et celle que détermine dan« la surface enyeloppe tout plan passant par A , on peut mener un cône dont le sommet engendre la courbe des centres de (û), (û'), etc.
Quand les surfaces (O), (oT) ^ etc. sont des sphères, les caractéristiques de la surface enyeloppe (£) sont des cercles , et sont en même tems les lisnes de courbures de cette surface. (Analyse appliquée à la Géométrie , par Monge , p. 3a8.)
On peut tirer d'autres conséquences de ce cas particulier. (^F'oyez la Correspondance, tome II, p. 4^3).
