ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE

Sur la détermination de la distance apparente des astres sujets à la parallaxe; par M. Puissant, Officier supérieur , chef des études à V Ecole des Ingénieurs* Géographes.

Le calcul des éclipses de Soleil , ou des passages des pla^ nètes sur son disaue , est fondé sur celui de la distance .angulaire apparente de ces astres. Cette distance, considérée au même instant physique, n'est pas la même, à cause des parallaxes ; pour tous les points de la Terre qui yoient l'éclipsé. En effet, le commencement ou la fin de ce phénomène ayant lieu pour un point particulier de la Terre, lorsque les disques des deux astres paraissent en contact , il arriye en général que ces disques, relatiyement à tout autre point, ne s'atteienent pas encore, ou aue l'un anticipe sur l'autre. Il résulte de là que le problème des longitudes géographiques , par les éclipses de cette espèce, est un des plus compliqués de 1 Astronomie-pratique.

M. Lagrange a publié sur cette matière deux Mémoires très-

(343) mteressàns; Yvaa dftns lea volqmes de l'Académie de Berlin (année 1766); l'autre dans les Éphémérîdes de cette ville, pour Vannée 1782 : ce second Mémoire vient d'être reproduit dans la Connmssance des Tems pour 1817. La méthode que cet illustre géomètre expose dans celui-ci y étant considérée aoaljtiquement, ne lais.se sans doute rien à désirer; mais, sons le rapport de la pratique ^ elle n'a pu obtenir l'assentiment unanime des astronomes , qui préfèrent toujours leurs méthodes habituelles , parce qu'elles sont aussi exactes et d'un usage bien plus facile.

Ayant eu occasion de traiter le même sujet , dans mon Cours de Géodésie à l'Ëcole d'application des Ingénieurs-Géographes ^ j'ai remarqué que cette méthode de M. Lagrange était non-seulement susceptible d'offrir les mêmes avantages que les autres, et de mériter en outre la préférence pour les éclipses de Soleil, en y faisant les modiGcations convenables ; mais encore de procurer , avec la plus grande facilité , toutes les formules de parallaxes dont ce géomètre n'a pas parlé. C'est ce me je me propose de faire voir ici , à l'aide des considérations les plus simples de la Géométrie analytique, mais le plus rapidement possible.

1 . Rapportons les points de l'espace à trois axes rectangles ; prenons pour origine des coordonnées le centre de la Terre; pour axe des x celui qui passe par Téquinoxe du prîntems^ pour axe des y la droite située dans l'écliptique et passant par le point du Cancer ; enfin pour axe des z la droite passant par le pôle boréal de l'écliptique.

Soient en outre x^yZ les coordonnées rectangles do centre d'un astre situé dans l'hémisphère boréal , r sa dij< tance au centre de la Terre, a la longitude de cet astre ou l'angle que la projection du rayon r fait avec l'axe des x , b sa latitude ou rinclmaîson du même rayon sur l'écliptique. On aura , comme l'on sait ,

a: = rcosacos&, ^=rsinflcosi, » = rsin6. (i)

Soient pareillement {, i , Ç les coordonnées rectangles du point où se trouve un observateur sur la surface de la Terre , et gy h la longitude et la latitude du zénit vrai , c'est-à-dire du, zénit déterminé par le prolongement du rayon ç de la Terre , mené par le lieu d'observation. On aura de même

( = (COs^cosft, 9 = (8in^cosA, Ç = çsinft. (2) Enfin prenons le lieu de l'observateur pour l'origine commune de trois autres axes rectangulaires , respectivement parallèles aux

Îirimitifs; puis désignons par r' la distance de l'observateur à 'astre , et par a\ b' les latitude et longitude apparentes de cet astre. On aura

a/=/co8acosy, yssrsina'cosJ', »'=/siûiV (3>

(344) Or il existera évidemmeiit, entre les coordonnées da Bea ttû et du lieu apparent de Fastre , les relations suivantes \

on bien y en ayant égard à celles (i) (a) (3)^

r'cosa'cosy = rcosacosA — ^cosgcosA /ùna'coab' = rsinacosft — ^aîugcosh ^ ; (5) /sinfr' ^: rsin& *— ^sinA si donc Ton divise successivement la seconde et la troisième équa* tion par la première , et qa*on fasse - = siu^r, w étant alof^ la plos grande parallaxe de hauteur^ on aura

, sm a cos b — sin «r sin e cos A

tanga =; j-. . s: r

^ cos a cos — siQsr cosg cos n

,/ cos a^ ( sin fr — sin^sin A)

tangA = i-T : T

^ cosaeoso -— sm^cosgcosA

Cea formules donnent le lieu apparent en fonction du lieu vrai et de la plus grande parallaxe de hauteur, qu^on nomme ordinairement parallaxe norizontale. Il est plus simple dans la pratique , d'évaluer les parallaxes de longitude et de latitude par le lieu vrai > pour en déduire ensuite le lieu apparent. La première parallaxe est (a' — a), et la seconde (y— A). "Voici un moyen très-direct pour les obtenir.

Formules de parallaxes.

a. La première équation (6) ayant lieu quelle que soit Torîgine des longitudes » on peut retrancher de chacune d'elles Ki même quantité , Tare a , par exemple ; ce qui revient évidemment à changer la direction des axes x^y^ en les laissant toutefois dans leur plan primitif. D*après cette remarque^ on a sur-4eKihamp

, f ^ ainirsînfa— •fir)co8A , ^

tang(a'— a) s= — r : — - / ' \ * ; (7)

°^ ' cosA— 5in9rcos(a — gp)cosA* '^

mais la diflFSrence <^— a étant toujours très-petite , m^me pour la Lune , on pourra réduire cette expression en série » et n'en conserver que les termes les plus sensibles ; on aura alo» , en secondes de degré ,

, «inrcosAsrnra— fif) , 1 /sînircosA\»sinn(a— ff) . ,,^

( 345 ) Par un raisonnement analogue au précédent^ les équationi (6) am changent de suite en celles-ci :

, - % sin(a— jr)Cosi

"^ ^ coii(a — g;)c03A — smircosrt

,^ cosÇa^— g) (sin & — » sin y si n h) ^

*~ cos(a— •g)cos6*-^8inircos& ' ensorte qu'en les divisant l'une par Tautre on a!

° Sin (a — g) \ ^ 003 /

ou bien introduisant les distances polaires yraie et apparente^ •c'est-^ànlire faisant 4 = 90*— A, 4=90®—^', il vient

^, sînfa'— fif) / ^, sin «-sin A\

COtA'=: T-T Ê^fcOtA r-7— ).

sin(a— »^) \ sinA /

Pour tirer de cette formule la valeur de la parallaxe de latitude ou plutôt de distance polaire^ savoir, A^— Assr^ on remarquera que l'on a d'abord

- A ^.f ^ * 8În(a'— ff) / ^ . sin» sin h\

cotA—cot A'=cotA— -r-) ^ l cotA r— - ].

sin(a — g) \ sm A / '

et par suite

sin (A^ — A) . / sin(a^— ^) \ sinfa^ — s^) sin y sin ft ^.

sinAsin(A-fr) ^^ V Mn(a— g)/ *"sin(fl— j) sin A * enfin

sin y sm(af — g^)sînirsînA \ a ^/ \ .a /

sin(A+r) 8in(a— g)" sin (a — g) ' "T

La parallaxe ^ ne serait pas assez facile à évaluer au mojen de cette éouation ; mais le calcul par les logarithmes s'eiFectuera commoaémenti à l'aide des transformations suivantes.

Faisant le premier terme du second membre =tangjp, et le deuxième terme =tangj^; on aura

sin «> s: (tang x — tangjr) «in (A -f- r) ;

puis développant et divisant par cosr, il viendra

sinÇr--y) .

tanerxr (tonêJ-tangy)smA cosxoosy

^ 1 - (fançr— tangy)Cos A ^ îHfTS^co, ^ * •

cosxcosj^

et par suite on aura cette série

cosxcosy sini* a \ coaxcosy ) sinif

Telle est la yalear de la parallaxe de distance polaire. Cette Taleur et la précédente (7') sont dues à M. Delambre.

On observera qtte les formules des parallaxes d'ascension droite et de déclinaison se déduisent sur-le-cbamp des formules ci-dessus , en V changeant seulement les longitudes en ascensions droites, et les latitudes en déclinaiiions ^ ce qui revient à prendre l'équateur pour le plan des x y. On trouve avec la même facilité les diverses expressions de la parallaxe de hauteur et celles de la parallaxe annuelle : c*est sur quoi il est par censément inutile d'insister.

3. Dans la pratique , on ne connaît à priori ni la longitude ^^ ni la latitude h du zénit ; maïs on déduit ces deux coordonnées circulaires de l'ascension droite de ce point et de sa déclinaison» qui sont données immédiatement par l'observation. £n effet ^ l'ascension droite du zénit é est le tems sidéral de l'observation réduit en degrés, à raison de 1 heure pour i5*, lequel est égal à l'ascension droite moyenne du Soleil , plus aà tems moyen ; et la déclinaison du zénit ^ est égale à la lati-* tude géoo'aphique , moins l'angle de la verticale avec le rayon. Or par les principes de la Trigonométrie sphérique on a» ea désignant par «r l'obliquité de l'écliptique >

. . * , sin^tang» , cosécos^^l

tangy = co..tai.g#+— 3^. cosfc^-^— . ^^

ou 8ÎnA = sin^cosiT — cos^siuirsinl J

Il suffit, dans la pratique, de faire usage des Tables de logarithmes à 5 décimales, pour calculer, soit le nonofrésime g et le complément h de sa hauteur, soit les parallaxes précédentes. 4« Quand les latitudes et longitudes apparentes de deux astrrs sont connues , on détermine en général leur distance apparente par la formule qui donne le côté d'un triangle sphérique quel conque en fonction des deux autres côtés et de l'angle qu'ils com-

i>rennent. Soient, par exemple , a\ b' les coordonnées circtraires du lieu apparent d'un astre P, et jf^ W celles d'un autre astre Q : il est évident que l'on aura , en dénotant par D' la distance apparente cherchée ,

cosD' = sin û' sin^' -f- cosa'cos-^cos(i' — ^),

ou bien, à cause de cosm=i — aûn^^^» ^ viendra sin*i Z>'=; sin^f (V— ^) + ces d cos^ain^i (i'— ^'),

formule qui a lieu quelle que soit la grandeur de 1/ ; mal§ comme dans le cas des éclipses de Soleil ou des passages des {>lanètes sur cet astre ^ la distance apparente ZX est très-petite j et que de plus la latitude du Soleil est nulle , on conçoit qu'eu pareille circonstance la formule précédente est plus facile à éva-« luer numériquement. Cependant notre but étant d'expliquer et de simplifier la méthode que M. Lagrange a proposée à cet effet, nous ne nous étendrons pas davantage sur cette solntioà trigonométrique.

• Détermination de la distance apparente de deux astres, aux approches ou pendant la durée d'une éclipse.

5. Choisissons un nouveair système d'axes rectangulaires x''y''z*, ayant toujours pour origine le centre de la Terre ; mais sup« posons l'axe des x" dirigé vers un point arbitraire C de la sphère céleste , dont la latitude et la' longitude yraies soient « , fi\ puid dénotant par XYZ les angles que cet axe x" fait avec ceux des xyz primitifs; par XY'Z les angles analogues, relativement a Taxe des^"; enfin par X'Y^Z les angles qui déterminent de même la direction de l'axe des z". Cela posé, si ^aJJ^a «ont dans ce nouveau système d'axes , les coordonnées dun point quelconque de l'espace, et que xWxi soient celles du même point, par rapport au système primitif, on aura visiblement^ par la théorie des projections,

x^ = j/cosX + ycosK -t- z'cosZ , y = j/cosX'+ycosF-f- a'cosZ', \ = x'co^X!'+ ycosK-'-f. a'cosZ';

mais les arcs AT, « , /8 forment nécessairement un triangle sphérique rectangle dont X est l'hypoténuse; de même les arcs Y^ ûo®— n, /8 sont les côtés d'un autre triangle sphérique rectangle, et ainsi de suite; on a donc, en vertu de la propriété de ce triangle , et en supposant l'axe des y'' dans le plan de lecliptique ,

cosX = coB«cos/8, cosK = 8in«»cos/8, cosZ = sin/8, cosX'= — sin«, cosF'= cos«, cosZ'= o ,

cosX*= — cos«Bsin/3 , cos F* = — sin« sinyS , cosZ* = cos /3 ,

auquel cas le plan des o[!'7!! est celui du cercle de latitude da point C De là et des relations (3) l'on conclut

!a:^=/cosa'cosycos«cos/S + /sina'cosi'siDiicosy8 + /sini'sîniS,, jr^= — r'cos û'cos i'sin # + / sin o' cos V cos « , j&^=: — T^cosa^cosi' cos«siD/8«— /siuo'cos6'sin«sin/8-f-'''9Ûi^'^M«

(348) Or, en menant, par rorigine des coordonnées, nne dioite égale et parallèle au rayon vecteur apparent / d'un astre A , les équations de ce rayon yeeteur seront en général

celles du rayon Tecteur apparent A' de l'astre B seront de même

ainsi la tangente trigonométrique de Tangle 2/ de ces deux Façons ou de la distance angulaire apparente des centres des astres , sera» comme Ton sait

(M-) tongX'=r -__,^__,-; ,

expression dans laquelle il ne s'agirait plus que de remplacer P'(^p*<f par leurs valeurs, si elle n'était d'ailleurs susceptible d'être considérablement simplifiée. Mais voyons auparavant quelles sont en général ces valeurs de P^Q^p'tf.

D'abord on a p'sz:-^ et 7'= -^ , et partant, à cause des

relations (a)j

' sinn— cosiitanga^

cos«i cos i^— - sin«cos/S tanga 4* sûi/^ -— costfsio^— * sin «sin^tanga'+cosiS

cosa

tangy

, cosa'

9 — "tanK^'""*

Oos « co8/8<— stnucos/Kang^' -4-eiii/S — ^^-^-

mettant en outre, au lieu de tanga^ et — ^ leurs valeun (S),

et faisant, pour abréger,

cos (a — «) ces b cos/l + sin^sin^ (J) ^ jîi = sin (a— «)cos b

-cos (a — «) cosJ sin^e , -«Ocos A cos /9 4- sin A sin /8

(/ =c cos (a — •) c m = sin (a— «)c< n r= siù ftcos/S — (A = cos (g— «)cos A cos /9 4- ^ = sin (ç — «) cos A f = sin A cos /S — cos (g— #

^) cos A sin /8,

auquel cas /, 771, n et a,^, t sont les cosinus des angles que le rayon vecteur r et le rayon de la Terre ^ font a\ec les axes x^^^^

<"> { it

comme il est facile de s'en assurer *, on aura déGnitivement pour Tartre A, et après ayoirfait ê\nw=i'^ pour simplifier»

résultats que Ton obtient tout d'abord, en faisant attention que ri -'^^x, rm-^ ^^ m — ç» sont les projections orthogonales du rayon vecteur apparent / sur les mêmes axes des coordonnées. Pareillement, si j4,B sont les coordonnées de la position yraie de Tastre B , et qu'on désigne par L,M,N ce que deyiennent les relations {h) lorsqu'on y change a en ^ et & en j&; oa aura, relativement à ce second astre,

^ étant le sinus de la parallaxe horizontale n.

On remarquera que U» deux systèmes d'équations (b) , (c'y satisfont aux relations suivantes :

^ m^-f* nw =s cos (r, p) =cos(g-i--a)cos£co8A4-âin&sinA,

et que la méthode analytique actuelle signifie en Géométrie ,. que les lieux apparens des astres sont projetés perspectivement du centre de la sphère céleste , sur un plan qui la touche au point C,

6. On peut être curieux de trouver l'angle f^ que le plan du grand cercle, passant par les {H-ojections des lieux appa-> rens sur le plan tangent , fait avec le cercle de latitude x^z* du point de contact C : or cela est très-facile ; car soit en général

J,x^ + B,y^ + C,«^ = , l'équation du plan de ce grand cercle; les coordonnées de* deux projections dont il s'agit étant visiblement » en prenant le rayon de la sphère céleste pour unité ,

on mr;i A, = (,'P'—q(/, B,— Ç^—q', C^p'—P'; et comme en général

il viendra , par substitution ,

.éc F' = ^^'^^- g>^ +Ô?^^'+ (P'-P')\

( îSo ) Supposons maintenant que les projections des deux lîemt ap^ parens et le point C soient en ligne droite ; on aura alarii q'y = Ç^p\ et de Texpresâîon précédente on tirera

M. Lacrange, en donnant cette valeur particulière de tang^'ponr le cas général y a évidemment commis nne inadvertance; et la remarque faite à ce sujet , an bas de la page fi47 {Connaiss. des Tems, année 1817) , ne nous paraît pas tont-a-fait exacte.

7. Toutes les formules de Tart. 5 sont de la plus grande c;cnéralité ; mais il en est quelques-unes qui se simplifient , lorsque Tastre A, par exemple » est dans la «direction de Taxe des jc'p ou en C. En eflTet, on a dans ce cas «i = a, fi = b, et par suite 7=1, m = o^ ;t = o; enfin

ces deux dernières valeurs sont donc FeiFet de la parallaxe de Tastre Jl placé en C.

Supposons y au contraire , que Taxe des x" passe par le centre du Soleil ^; on aura «=:>/> ^ = ^=0, et par conséquent Z/=:i, il/ = OyiV=:o. Quant aux équations (&} (c) j elle« deviennent

fl = cos(a— -^cos& , f ^ ^^ cos(gp — A)cosh^

m = sin (fl — jf)co9b , (c') < ^ = sin (g — ^^cos h, it = sin & y ( » = sin A.

8. Malgré ces simplifications, la formule (If) serait encore beaucoup trop compliquée pour la pratique ; mais il est aii^é de prouver d abord que, relativement aux éclipses de Soleil, cette formule peut être réduite à celle-ci :

(itf ') tang If = \/JJIIWf+l<r=^\

sans qu'il en résulte une erreur d*un dixième de seconde. Soit dans cette vue ;

oa aura pour le Soleil

(350 et par suite

1 +/cosf tangr+/*

M. Lagrange cherche, par un procédé très-élégant» la diffé^ rence lï' — r en série convergente , où la yaleur dn premier terme , dans les cas extrêmes , est moindre que -^ de seconde. Pour parvenir â cette conclusion par une voie plus élémentaire et plus courte , prenons le logarithme de chaque membre de Téquation précédente » et développons; il viendra une séri* de la forme

log tang if = log tangr — Kf cos j tangr + /iT/'B — KjpS. • . ,

dans laquelle K=zo,4^4^^4 ^^^ ^^ module des Tables. Or le terme A^^cos 5 tang «■ , qui est le plus considérable de la série» acquiert la plus grande valeur lorsque cos 5=1: soit donc «• = 5** ; dans ce cas la quantité f ne pouvant surpasser tang S'jb 9 puisque pour le soleil n =: S'^^S à très - peu près , on aura

KftajigT = 0,0000016,

c'est-ànlire que le log tangr devrait être diminué de 0,0000016. IVIais par hypothèse, tang r= tang 5^; d*où logtangr=8,94i95i8; ainsi log tang s' ne différant de log tangr que de 0,000001 6> il s'ensuit que jf-=:r — o*,o6. Il est donc prouvé que dans les éclipses de Soleil , et à plus forte raison dans les passages de Vénus et de Mercure sur cet astre , on peut toujours faire tangz' = taogr^ sans craindre de jamais commettre une erreur de 77 de seconde de degré.

Enfin le même géomètre démontre que Texpression (ilT) ,. quoique déjà fort réduite, peut cependant l'être davantage. (Yojez la Connaissance des Tems pour 1817, pag. a56.) Ei» elFet, d'après ce qui précède on a, par rapport au soleil,

/ jy "» —J^ A»*

/ — AaJ/ 1 —A*

"" i— AaJ/

en négligeant les termes du second ordre comme étant extiêmement petite* Pareillement

nais / différant toa)otin trèa-peu de l'anité , on peut supposer, dans 1« terme tt, que 1 = 1 ; ainsi on a simplement

partant, l'équation (iW) devient

(iV) tang.'=l^E^55E|ltp5ï=a^

laquelle donne. la distance apparente des centres, avec une

{)récision toujours très-suffisante , soit dans les écli[>ses de Soeii ou les passages des planètes sur son disque , soit dans les occultations àes étoiles par la Lune. Dans ce dernier cas. Ton doit diriger Taxe des x par Tétoile ou par le centre de la planète occultée , et alors on a nz=iAy fi=zB \ faisant docc 41— ^sr: I , i — ^ =u, les relations (b) (c) prendront la forme Miivante» comme il est facile de s*en assurer^ r /;scosu — sism^ltcoaB cosb (b") < m = sintcosi

t 71 = sinu + â8in*;t8in^cos&

1A = cos(^ — ^^cosBcos A -f- siiiA sinA fé =z 9'm(g — -^ cos A 9 = cos ^ sin A — cos (g" — A) sinB cos A ,

et Ton aura en outre ns=::o, s'il s'agit des étoiles.

g. Au commencement et à la fin d'une éclipse , les disques des astres paraissent en contact , et alors la distance apparente des centres est égale à la somme des demi-diamètres apparens. Ces diamètres apparens variant en général à différentes naoteurs des astres sur l'horizon, la somme dont il s'agit ne peut être rigoureusement la même que celle qui est déduite des Tables astronomiques ; mais la variation des diamètres apparens n'étant réellement sensible que pour la Lune, qui est 1 astre le plixi près de la Terre , on se Dorne à évaluer Y augmentation de son diamètre. Or si d est le demi-diamètre horizontal de la, Lune, donné par les Tables , et d son demi-diamètre apparent dans uu instant quelconque; si^ de plus^ r et r' sont respectivement

C 353 ) }es distances du centre de cet astre an centre de lai Terre et ail lieu de Tobsenratenr ^ on aura évidenament

sin <f =5 --^ sin </.

Reste à trourer l'expression du rapport -7- D'abord si on

élève au carré chacune des écjuations (5}^ et qu*on fasse une aomnie des résultats , on aura

/• = ï* — 3ç [cosQç-— c)cos b cosh+ ainbsinh^ + c*» ou , en vertu de la 3* relation {d), et i cause de ^ as sin«r 1= 4^ ^

-— = 1 — fi^ (Ix + mfê + Tif) + ^\ n .

Si ensuite on néglige dans la formule (iV) les très -petits termes /rl^ et pir^ ce qui etit permis dans cette circonstance , et qu*on ait égard aux relations citées ^ il viendra j après avoir développé ,

(/ A^J.) tang 7/ = V/(m— ^* .+ n — f^)

d'où Ton tire aisément

(/—M^ytang^x' + (^ — ^4^y = » ^a^[lx + mfé + nr) +4^;

ainsi

— = (/ — A4')séc 2,' = ^ -r- ;

r ^ cosr •

enfin

. -- sinJcosS'. sm a = — 3 î — •

Cela posé , soît D le demi-diamètre horizontal du Soleil , donné par les Tables astronomiques; on aura, au commencement comme à la fin de Fédipse ,

S' = cf +D, ou sinif = sin S'cosD— cosS'wnZJ;

substituant cette valeur de sincT dans la précédente > on obtiendra définitivement

(P) tangx' = taBgD + (-7=^^-^.

Cette formule et celle (2V) donnent le moyen de calculer

(354) toutes les circonstances dune éclipse; mats afin de ponvâir r appliquer aisément les logarithmes, il est nécessaire de Wr faire subir préalablement quelques transformations. C'est pour avoir voulu les traiter directement, quo M. Lagrange a rendu sa solution numérique extrêmement pénible, et m^me rebutante , quand on veut l'appliquer aux occultations des étoiles.

Les bornes de cet ouvrage ne permettant pas de donner plut d'étendue au sujet actuel , nous renverrons a la Connaissance des Tems pour 1818, où nous avons exposé, avec tous Ips détails convenables, les procédés les plus simples pour déterminer, à l'aide des formules ci-dessus, les erreurs des Tables lunaires et les longitudes terrestres.

Note de A/. TeRQUEM sur la hauteur de la ville de Mayence au^ dessus du niveau de l'Océan , déterminée par la formule haro^ métrique de M. de Laplace.

Pour évaluer cette hauteur, j'ai fait usage de la formole suivante, calculée pour la latitude d'un demi-angle droit;

( Jf^&yez la Correspondance , tom. II, pag. 353 et la Mécanique de M. Poisson , tom. i , pag. 44^ ).

h hauteur moyenne du baromètre au niveau de l'Océan = o"*,7S29. t = température moyenne au niveau de l'Océan = la^centV- II' = hauteur moyenne du baromètre à Mayence = o",74q6. tf = température moyenne de Mayence = sVqaSCO

Substituant ces valeurs dans l'expression de z qui est la hauteur cherchée , on trouve z = 148"", ^38.

Les valeurs de A et de t sont celles dont M. Biot s'est servi dans son Astronomie physique, h' est le résultat -moyen de 1800 observations, et t' le résultat moyen de 5Soo , toutes faites par feu M. Anschel (*), savant médecin et professeur au Lycée de Mayence.

{*) Enlevée Rnx sciences et à J^hnmanité dans la force de FAge et de toa talent penoanc la faaeste contagion qui a désole en ibi4 la ville de Mayence. Aussi distingue par les qualités du cœur cjue par ses profondes connaissances dans Tare de guérir , mon malheureux ami a été victime des soins désintéressés et périlleux qu'il prodiguait dans ces tems désastreux , à la classe indigente. Les regreit des gens de bien , et les larmes des pamies Tont suivi dans k tombe.

Sur les lignes élastiques à double courbure; par M. Poisson.

Nous aurons besoin » dans cet article, de connaître les angles que fait la perpendiculaire au plan osculateur d'une courbe , avec I^s trois axes des coordonnées. Pour les déterminer ^ soit

l'équation de ce plan ; appelons « , ff , y les angles demandés ^ de sorte que nous ayons , par les formules connues ,

COSil= — 7=====> COSg= . =-.

Soient aussi x, y, z les coordonnées du point de la courbe; auquel se rapporte le plan osculateur; comme il doit passer par ce point et par les deux points consécutifs de fa même courbe , nous aurons ces trois équations de condition :

Ax + By + C« = D, Adx + Bdy + Cdz = o, .Ad^x+ Bdy+ Cd'z^ o;

d'où l'on devra tirer les valeurs de A , B , C Si Ton effectue rélimination , et que, pour simplifier ces valeurs, on prenne la quantité D , qui est indéterminée , égale au dénominateur commun de A , B, C, on aura simplement

A = dz(ly--^yd*z , C^=z'dyd^x~-^dxd'y, B = dxd^z^^zd^x ,

et par conséquent

dzd^y — dyd^z » docd^z — dzd^x cos«i = jf""^ — * C03 b = j^ ,

dyd^x — dxd^y cosy = -*^^ — j- ^\

en faisant, pour abréger,

Çdzdy—dyd^zy + (dxd^z-^dzd^xY + (dyd^x-'dxd^yy = K^,

Maintenant considérons une ligne élastique dont les points soient tirés par des forces données , et qui soit en équilibre. Désignons cette courbe (sans qu'il soit . nécessaire de faire la figuire) par 3. 34

(358) jfmB, de manière qne A et B soient ses extrémités ^ et m mi point quelconque repondant aux coordonnées x, y ^ z. Supposons que la partie mS de la courbe soit rendue inflexible et .fixe y et que l'autre partie mA devienne seulement inflexible en conservant la liberté de tourner autour du point m : l'équilibre de la ligne entière devra encore subsister ; par conséquent les forces données qui agissent sur la partie m A ^ et les forces d'élasticité qui ont lieu au point m y devront se faire équilibre autour de ce point fixe , ce qui exige que les sommes des momens de tes forces , pris par rapport à trois axes menés par le point m , soient égales à zéro.

Or 9 1 élasticité au point m tend à produire deux effets distincts. D'abord, elle tend à remettre en ligne droite les deux élémens de la courbe qui aboutissent en ce point , ou plus généralement , si la forme naturelle de cette courbe n'est pas la ligne droite , l'élasticité tend à rendre à l'angle de contingence en m la valeur, plus grande ou plus petite , qu'il avait dans l'état naturel de la courbe. Ce premier eS'et peut être attribué à une force qui s'exerce dans le plan osculateur de la courbe au point m-, appelons donc E le moment de cette force, pris par rapport au point m. L'axe perpendiculaire à son plan lera avec ceux des cocnndonnées, le» angles que nous venons de désigner par «, C, v; donc, puisque les momens des forces se décomposent suivant les mêmes lois que les forces elles-mêmes (^}, il s'ensuit que ceux de la force que nous considérons , rapportés à des droites menées par le point m et parallèles aux axes des X, des y et des z, seront respectivement

Ecosti, EcosC, Ecosyi

ou bien, en faisant ^ = u, et mettant pour ces cosinus leurs

valeurs précédentes,

uÇdzdy — dyd^z) , u{dx(^z^-<lzâ^x) , u(dyi^X'''dxd^y).

Lorsque la ligne élastioue a été tordue sur elle - même , l'élasticité au point m tend à produire un second effet , qui consisterait à faire tourner la partie mobile mA de la courbe autour du prolongement indéfini de l'élément qui aboutit au point 771 , et qui appartient à la partie fixe £m. Nous attribuerons ce second effet à une force qu'on peut appeler la torsion , et qui

(*) F^ojrez mon Traite de Mécanique , lom. I^r, pag3. Noos entendoni ici j»ar momeni nlacif k un axe, celui de la i'crce projetée aur un pUa peipendiculain à Gtt axe. '

(357) ^exerce dans un plan perpendiculaire à la tangente au point m. Soit ê âon moment, pris par rapport à cette tangente; ]es cofiiaus des angles que cette droite fait avec les axes des x. y*

z sont -77 , -^ , -1- , rélément de la courbe étant représenté

par ds 'y par conséquent, les momens de la torsion^ par rapport aux mêmes axes , seront

idx édy édz

17 ' 'di' 'dT' EnGn désifpions par X, Y, Z les composantes des forces données qui agissent , suivant les x, y, z, sur le point de la courbe correspondant à ces coordonnées; la somme des momens, par rapport à l'axe des x, des forces semblables qui agissent sur la partie mA de ces courbes , sera donnée par l'intégrale f(zY — yZ)dm , dans laquelle dm représente l'élément matériel de la courbe; et si Ton veut rapporter les momens de ces forces à la droite menée par le point m, parallèlement à l'axe des x, il est aisé de yoir qu'il faudra ajouter à cette intégrale , la quantité yfZdm — z/Vam. On aura des résultats semblables relativement aux axes des y et 4es z ; donc les sommes des momens des forces données, pris par rapport aux trois droites menées par le point m, parallèlement aux axes des x, y, z, seront exprimées par ces formules :

JlzY — yZ)dm + yfZdm — zfYdm , JXxZ — zX)dm + zfXdm — xfZdm , JiyX—xY)dm + xfYdm ^yfXdm.

Les six intégrales qu'elles contiennent sont censées renfermer chacune une constante arbitraire provenant des forces particulières qui peuvent être appliquées au point A,

£n ajoutant maintenant les momens des forces données et des forces d'élasticité qui se rapportent au même axe, et égalant les sommes à zéro , nous aurons les trois équations d*équilibre de la ligne élastique à double courbure et tordue sur elle* même , savoir :

u{dzd'y — dyd^z) + -^ + fÇ^zY ^yZ)dm + yJZdm — zfYdm = o , ,

uÇdxd^z^dzd^x) + ^ i ^^^

+ f{xZ — zX)dm + zfXdin — xfZdm = o ,

uÇdyd'x—dx^y) + -^ + f(^yX — xY)dm + xfYcm — yfXdm = o.

(358) Si Ton differentie ces équations, on anra

êdx dzdÇ^udy) — dydiuâ^Sk) + d.^^ + dyp^dm^izpTdm =0 ,

dxd(ud*z) — dzdiud'x) +d.!^+ dzJXdm --dxfZdm = o ,

àydCjud'^x) — dxdÇudy) + d.^ + dxJYdm — dy/Xdm = o ;

et si Ton ajoute celles - ci , après les ayoir multipliées res-

dx dy dz pectivement par 'Ji» -4:9 "T t on aura

dx»+dy»-|-di» j^ , /dx jdx , dy .dy , dzj dt\^

mais on a identiquement

££x*-Wy*4-da* ^ dx . dx , rfy , dy . dz , dz

d'où il résulte dê=io , équation qui montre que le moment de la force de torsion est une quantité constante dans toute Téten-* due de la courbe élastique en équilibre.

Ainsi la torsion n'est point une force dont on puisse déter^ miner la loi par une hypothèse, comme on le £ut ordinaire* ment pour l'élasticité proprement dite. La torsion ne dépend ni de la lorme de la courbe , ni des forces telles que la pesanteur ou d'autres qui agissent en tous ses points ; elle est produite par une force appliquée à l'une ou l'autre extrémité , et dont Je moment, par rapport à la tangente extrême, détermine la valeur de * ; et cette quantité , une fois donnée , reste la même

Four tous les autres points de la courbe, de manière que si on yeuait à couper la courbe en un point quelconque , il faudrait, pour l'empêcher de se détordre , employer une force dont le moment, par rapport à la tangente en ce point, serait égal au moment de la force extrême qui a produit la torsion. M. Binet a eu égard le premier à la torsion dont les courbes élastioues sont susceptibles (^); mais on n'avait point encore explique la nature de cette force , et montré que son moment est constant dans l'état d'équilibre. Lagrange a donné, dans la Mécanique analytique (^^} , des équations de la ligne élastique à douole ^■•■■^■■■^■•■^"^^"^^^^■^••^■^^■^^-^^-"■■■"""■^^^■^■^■■^■^^^■^^^■^■^"^^^^^^■"■^■"^■■■■^

(*) Journal de TEcole Polytechnique , 17* cahier, pag. 4i8etsulTantcs.

(*♦) Second» édition, tom. i«r, pag. iSJ.

( 559 ) €otirbure, qu'il, a trouyées par une analyse très-diiFérente delà nôtre» et qui reyiennent cependant à nos équations (i)» en y supposant * = o.

£n ajoutant ces trois équations , après les ayoîr multipliées dx dv dz y par jT » ^ ®* jT > *a quantité u disparaît > et Ton a

+yJ^^,fZdn^^^^!^ (,)

La quantité u disparaîtrait encore , en ajoutant ces mêmes équations , après les avoir multipliées par —r- , -^ , -i- ; supposant de plus ds constant, ce qui est permis et ce qui donne dsd^s = dxd^x -f- dyd^y -j- dzJ^z = o , on aura

^^:iÈ^J..fZdm+ ^.^^.fYdm^'^y^.fXdm^,

mais cette équation est une suite de la précédente, comme il est facile de le vérifier, en difFérentiant celle-ci dans l'hypothèse de ds constant , et observant que de -=.0.

Il résulte de là que pour déterminer la courbe élastique , on pourra prendre l'équation (a), jointe à Tune des équations (i), ou à telle combinaison qu'on voudra de ces trois équations , pourvu qu'elle renferme encore la variable ix. Quant à cette

quantité, on a u:=z-^, et l'on suppose communément le moment E de l'élasticité au point m, proportionnel au carré de l'épaisseur de la courbe, multiplié par l'excès de l'angle de contingence qui a lieu en ce point dans l'état d'équilibre, sur celui qui avait lieu au même point dans l'état naturel de la courbe. Ces angles étant en raison inverse des rayons de courbure qui leur répondent , cette hypothèse revient à faire

a étant un coefficient qui dépend de la matière de la courbe , I son épaisseur au point m , f son rayon de courbure au même point, et r celui qui avait lieu en ce point dans l'état naturel de la courbe. Comme ellâ est supposée inextensible, il s'ensuit

( 36o) qae Tare s , compté de Vextrémité J et aboutissant an point m, ne doit pas changer , quand la courbe est inftéchie par les force» qui lui sont appliquées ; ainsi le rayon r pourra être censé donné en fonction de s, dans chaque cas particulier. L'expression du

rayon p^ dans nne courbe quelconque, est p = — -^ K ayant

la même signification qne plus haut; on aura donc

pour la yaleto- de u qu'il faudra substituer dans la seconde équation de la courbe élastique. L'intégration de ces deux équations simultanées est impossible en général , et Ton ne parvient à y séparer les variables que dans des cas très-parliculiers et les pins simples qu on puisse traiter.

Nous terminerons cet article par une remarque qui pourra être souvent utile. Lorsque, dans une question de Géométrie ou de Mécanique, tout est semblable par rapport aux trois axes des coordonnées x, y, z, et si l'on aune équation relative à Tun de ces axes , il existera des équations analogues qui ee rapporteront aux deux autres , qui se déduiront de T équation donnée par de simples permutations des variables a? , ^, a , et de toutes les autres quantités qui s'y rapportent ; mais pour ne pas risquer de se tromper, et pour que les quantités analogues conservent la même signification et ne changent pas de signe , il faudra effectuer cette permutation d*une certaine- manière que nous allons indiquer, et dont on concevra aisément la raison. On rangera les lettres x, y, »> et toutes celles qui leur répondent, de cette manière :

puis on remplacera chaque lettre de la ligne supérieure par celle qui se trouve au-dessous dans la ligne inférieure *, de sorte que X aille prendre la place àe y ^ y celle de z» et £ celle de oc ; l'équation donnée se changera^ par cette permutation , en une autre qui se rapportera à un second axe ; et en effectuant sur celle-ci la même permutation , on aura l'équation analogue par rapport au troisième axe. C'est ainsi, par exemple, que nous avons déduit la troisième équation (i), qui se rapporte à Taxe des %, de la première, qui est relative à l'axe des x, et ensuite, par une seconde permutation > la seconde équation^ de la troisième.

Mémoire (♦) sur V attraction des sphéroïdes y par

M. RoDRicuES ^ Docteur es^sciences.