SO

dr ' rdê* rsinê dw

2. La quantité - (*) satisfait j comme il est aisé de le yérifier , à réquation

d^.i rf-.i d^.i

On aura donc nne relation pareille pour la fonction ^, savoir

cette conclusion suppose néanmoins que pour aucun point du

corps, - ne devient infini; ou, ce qui est la même chose , que

le point attiré ne fait pas partie de la masse du corps attirant. Dans ce cas, voyons ce qui arrive. L'expression

-T— + -it; + --T-; peut être remplacée par celle-ci :

/dÂ dB dC\ '^\d^'*"db^l^/

Pour calculer cette formule , transportons l'origine des coordonnées au point attiré, et puis à cette origine prenons des coordonnées polaires, nous aurons

X = a-f-rcos*, j^ = ô + rsinécosw, a = c + rsînisinw. A = — f^cosés'médêdwdr, B = — /p ces w sin* êdêdwdr , C = — f^aiiïwsin^êdédwdr.

Ces intégrales doivent être prises depuis r=o jusqu'à la valeur de r relative à la surface du corps , et que nous appellerons R ; et par rapport aux angles I et «-, depuis ^ = o jusqu'à ê=z9-, et depuis w=o jusqu'à ^=z2w.

Posons

x'=rcos*, y = rsin*cos«-, a'' = rsin^sinw;

f sera fonction seulement des trois variables sommes af -{-a ^

C^) yofez une note de M. Poisson sar cet objet , dans le Bulletin de h Société Ffailomati^pie pour le mois de décembre i8i3, tom. m, pag. 388.

(363) y'^by a'+c; on aura donc -7^ = -7A1 etc. Désignons par f„ la densité du corps attiré^ et par f« la densité à la surface ; et observons qu'en prenant les diiTérences partielles -•-, -zj-,

-^ y il faut avoir égard à la variation de la limité R, De cette

manière nous aurons

da "eb £^ ou

da'^db'^ d<f—J r y'dx'^y dy^'' dz'J

/Bxatdtdw /,dR, ,dR , ,dR\

mais il est évident que x' j^ ^y j4 + *' -y^ = '^ T •

D'ailleurs, soit F(x, y , z) = o l'équation de la surface du corps; on aura, pour déterminer R,

F(a+ Rcosé, i + Tlsintfcosw, c + Rsiné8in«-) = o;

On tire de cette équation

/ dR , , dR , dR -,

on tronre donc

d^v ^d!^r ^d>r .. ,,,, df, . . .,

Or il est évident que

fsmédêdw -j dr^^ff^aïnêdêdw — fifsinédédw,

d'ailleurs fs\nêdêdtr=z/iir^ On a donc, en définitif^

jtpplicaiion des formules précédentes à r attraction des sphères»

3. Supposons que le corps attirant soit une sphère, ou plus généralement une couche sphérique ^ant l'origine des coordon-

C 364 ) nées pour centre y et composées de couches spliériques hom^ gènes et concentriques ^ ensorte que la densité p ne soit fonction que de la distance au centre de la couche. Soit r le rayon da point attiré , V ne sera fonction que de r, et Ton aura

Si le point attiré ne fait pas partie de la couche attiiaote, nous aurons

■d^+J-dF = °'

d'oà Ton tire, par Tintégration ,

dr A

dr ~r^*

A étant une constante. Cette formule exprime l'action totale de la couche sur le point attiré. Si ce point est situé à Vextérieur de la couche, et qu*on Ten éloigne indéfiniment^ ensorte que r devienne infinie^ l'attraction décroissant en raison inyersedu carré de la distance , on devra, dans cette hypothèse, avoir

dV M

~'dF — 'F'

M étant la masse de la couche ; ainsi A'=rM pour tons les

F oints extérieurs à la couche. Si, au contraire, on considère action de la couche dans iK)n intérieur , comme alors elle est évidemment nulle pour r=o, il faut que -^ = o toujours. Ainsi, i**. une couche sphérimie homogène, ou seulement composée ' de couches sphériques homogènes et concentriques , attire un point extérieur , comme si toute sa masse était réunie à son centre. Ce théorème s'applique naturellement à une splière cn^ tière. â°. Une pareille couche n'exerce aucune action dans son intérieur.

Ces théorèmes subsistent encore lorsque le point attiré est situé à la surface extérieure de la couche sphérique , quant au premier , et à la surface intérieure, quant au second. De leur combinaison on peut aisément déduire Tattraction qu'exerce une couche sphériquesur un point de sa masse. Mais employons plutôt t'équation (a); elle devient

d-V .fidF ^.

àV ~ àr •

( 5G5 ) f étant fonction du seul rayon r. Multiplions cette équation pat r*; elle deyiendra

rf.r*-^ + 4ir^r*£ir = o;

intégrant, on trouve

dV 4^fffdr+const.

Tintégrale étant prise depuis le rayon intérieur de la couche jusquau point attiré. Mais à la première limite > Faction de la couche est nulle; on a donc simplement

on bien

M' désignant la portion de la couche sphérique comprise entre sa surface intérieure, et la surface spnérique passant par le point attiré.

Attraction des Cylindres.

4. L'équation (1) s'intègre encore aisément dans le cas d'un cylindre infini , l'axe étant parallèle aux coordonnées z, £n effet ,, f^ n'est alors fonction que des deux coordonnées a, b , et l'on, a pour cette équation

d'où l'on tire r-=^(a'^b{/ — +4'Cû — *V^— "0 > résultat sans application directe. Si le cylindre est circulaire et qu'on fasse a* + b*^==T^y y ne sera plus fonction que de r, et l'on aura^

d^F , X dV

dV H

d'où —--«-=--. C'est la formule de l'attraction d'un cyw

lindre homogène circulaire, ou plus généralement, d'une couche^ cylindrique circulaire et composée de couches pareilles homo-* gènes , sur un point hors de sa masse. Pour les points intérieure à cette couche , il est clair que H doit être nul ; ainsi il en est d'une couche cylindrique, à cet égard, comme d'une couche «phérique^ Soit a le rayon du cylindre, K l'attraction du qy^

( 3G6) Hndre tur un point de sa surface extérieure , on aura <

aK = H, et j- = —

dr T

pour ]es points extérieurs ; reste à déterminer K. Mais prenons l'équation (a) dans le cas du cylindre circulaire; elle donne

d*V . 1 dV

jet l'on en tire^ par Tintégration ,

dF' ^fffdr + const.

Tintégrale étant prise depuis la yaleur de r égale au rayon intérieur de la couche cylindrique; mais pour cette valeur de r Tattraction est nulle ; ainsi on a seulement

dV fyrffrdr ^A dr ~ r ~ f

en désignant par A la portion de la section circulaire de la couche cylindrique comprise entre son ravon intérieur et le

rayon r du point attire. Si T'=ia on a — -7- = A = — ;

ainsi la formule relative aux points extérieurs est

A représentant la section circulaire de la couche cylindrique.

Attraction des Ellipsoïdes,

5. Soient K , K', K" les trois axes d*un ellipsoïde homogène (nous supposerons la densité égale à 1), x, y , z les trois coordonnées ae rélément dm ; nous aurons dm = dx^dz ^ et

dxdydz

y/ix—ay + iy—by + (a-c)*

Nous rendrons toutes les limites de cette intégrale triple indépendantes y par la transformation suivante :

X z=i KrcQsh ^ ^ = AVsin^cos», z = K'rsxnhsmw.

Les variables r, tf et •• devant s^étendre depuis r = jusqu'à r== I , depuis * = o jusqu'à I = t, et depuis ••=0 jusqu'à

(3G7) irrs27; nous aurons alors

dxdydz = KK^K^ï^draïaêdédw.

Nous pouvons donner à cet élément une autre expression qui nous sera fort utile. Considérons la couche elliptique dont la surface intérieure aurait pour équation

Soit c Vépaîsseur de cette couche , cL* l'élément superficiel correspondant pris sur sa surface ; on aura dxdydz = ids*. Soient X , V, Z les cosinus des angles que fait avec les axes des coordonnées la normale à la surface intérieure de la couche , dxy dy y dz les différentielles des coordonnées, en ne faisant varier que le paramètre r\ nous aurons

I = Xdx + Ydy + Zdz.

On calcule aisément cette formule , et Ton trouve

rdr

Appelons M la masse de Tellipsoïde, qui est égale » comme ou sait, à ^irKK'K", et faisons V^=.MZ\ nous aurons

fdr sin td^d-a

uz = f ^ , =^.

^ J v/(x— «)* + {y—by + {z—cy

Différentions cette équation par rapport aux axes K , K\ K"^ et désignons ces différentielles par la caractéristique ^. Or nous

avons *r = -^ , iy — -J^ * ^ = -J^> ®* " °^^ «°P* posons les excentricités constantes , ensorteque

A'* = /iC» + e% A"* = A* + e'%

. Kxi^K

^, e^ ne variant pas , nous en déduirons « = -n^— >

iy = -^, tz = -j^ï^ , et par smte

I C(x-a)»+ (jy-i)»+ (a-c)T ) Mais KK'K'r'draiuédêdw = ,ds\ •X=;^. ^==-^£ï^^*

Z = i y„; > résultats aisés à tirer de ce qui précède. On ^ aura donc

La seconde de ces intégrales représente la somme de tous les élémens de la surface dont Féquation est

multipliés cliacun par le cosinus de Tangle qui forme la normale dirigée du dedans au dehors , avec le rayon mené au point attiré et divisés par le carré de ce rayon. Or on prouve aisément qu'une pareille somme est nulle ou égale à ^w y pour ' une surface quelconque fermée , selon que le point qui est Tori- £Îne des rayons est à Textérieur ou a l'intérieur de la surface .(♦).

(♦) L'élément i '- — ^^-^^ '- -1-i i-,- J*« n'ett antre chose

qae celui de la surface d'une splière d'un rayon égal & i , dont le centre serait au point cpii a pour coordonnées «r , 5 , c. Soit u = o récjuatton de la surface I on a

le signe de rexprassion de Pélément dont iJ s'agit sera le même que celui de Ii * quantité

or faisons ,

X mma-h r co$^, ^«b & 4*rsln ces*-, 2 =: c -f* r sin sin 4r.

(369) Par qpnséquent > si le point attiré est extérieur à Tellipsoïde , nous aurons ^Z = o , l'intégrale multipliée par rdr étant nulle pour toutes les valeurs de r , ainsi

« La fonction ^ , calculée pour les points extérieurs à Tel-

T) lipsoïde, ne dépend que des excentricités de cet ellipsoïde. ï1 Mais si le point attiré est dans l'intérieur de Vellipsoïde , et situé sur une surface dont l'équation soit

L'intégrale multipliée par rdr ne sera nulle que pour toutes les valeurs de r moindres que /, et sera égale a 4"* pour toutes les autres ; intégrant oonc depuis r=^r jusqu'à r = i , nous aurons

.« Jf/î: .j^ . 5m /^û* , *1 , ^ \ et de là.