KK'K
Zb KK'K'
iK'
Zc KK'K'
Pour intégrer ces expressions , j'observe que Z et ses dérivées doivent être nulles pour K=:co, Représentons, pour plus de clarté , par h , h\ h" les axes de l'ellipsoïde , et faisons
CeUe formale devient r -7-,
Soient Ti , r« , ri les racines fceUes de Téqnation u tranflébrmée. Ces ncmet ^tant rangées par ordre de grandenr. On sait que — sera altemativenicnt positif on négatif, lonqn^on lera successivement r=: ri , r^^rg, etc.. Si donc le nombre des valeurs de r est pair , !a somme des e'iemens que nous considérons sera nuUe pour chaque valeur de 4r et de 9.
LMnte'grale entière sera donc nulle. La surface étant fermée , cVst bien le cas oit le point aux coordonnées a , b , c est cxiéricnr. Si au contraire ce point est intérieur , le nombre des valeurs de r sera imnair, et alors la somme des mêmes élémens sera positive et égale h un seul d'entr eux. L^intigrale entière prise pour toutes les valeurs de ft et de 4r sera donc égale à ^v, surface d^unc sphère dVn rayon égal à i.
( 370 ) K =z ->. Les intégrations devront s'étendre depuis xso jusqu'à 0:= 1. Or nous avons
A'» = K^ + e\ K'* = A» 4- «'•; faisons c = aA, e'=A'A, il viendra
et l'on trouvera, en intégrant^
dZ Za r x*dx ^ u^
da ~¥ J \/T+^p\/i^x'^x* ~ M*
^~^'J v/r+isFo+A-x-)- ~ ^
Posons F= /— 7== — ^ , nous trouverons
3fl3/ ^ ZbM d/xF ZcM d.x'F
Il est aisé de s'assurer que ces expressions vérifient l'équation (s) ; en eiFet, on a
'\da^^ db*+ dé^J— ^KKK"
intégrant de manière que l'intégrale soit nulle pour X s= oo ,
on en tire
d'Z , d'Z , d'Z , 5 ■a? + dfr' + "â: "^ ÂÂ^ — ° '
et remettant pour Z sa valeur,
■( 371 ) Cette équation pent s'écrire ainsi :
Les formules d'attraction ci-dessus ne sont, comme on le voit , fonctions que des rapports des axes ; d*où Ton peut con« dure que Tattraction exercée par une couche elliptique acmogène sur un point intérieur, est nulle.
6. Supposons actuellement le point attiré extérieur à l'ellipsoïde;
nous savons qu'alors la fonction 7^ ne dépend que des excentri-
ji B C cités e^ e' \ il en sera de même des rapports -r^, -^^ -rrx»
Soient donc Ilf, l, t, F la masse et les axes d'un nouvel ellipsoïde décrit des mêmes foyers que le premier , et dont la suriace passerait par le point attiré. Soient A\ B\ C les com« posantes de son attraction, nous aurons
^'M BfM CM
/• = ^+e*, r*:=^+6^ ^* + pl+^=l.
Ces trois dernières équations n'admettent qu'un seul système de valeurs pour l, t, Ir,
ui', 5 , C pourront être calculées par les formules qui servent pour les points intérieurs. Posons e = f^l^ c' = /i«7 ,
— - — — ■■ j nous avons
^ 3aM' ^ ZbM'd.f.F ^3ciif d.f^'F
et par suite
^ ZaM „ p 5bMdfé,F 5cMd.f/F
7. En repassant les calculs qui ont conduit à la fonction F, on , . , F id.f^F 1 d.f^'F .^ ,
trouve que les quantités t^ > p-^f — > ^ "V^ peuvent être remplacées par ces trois intégrales
r^^ > rdK' I rdK\ i
( 372» ) prises depuis K = co jusqu'à /iC=/. Désignons^leii respectir^ ment par P, Q , R, nous aurons
^ = ZMR^3Mc§, .et par suite ,
dp da^ 1 dO db ^ i
dl
dp
ïiS =
dP
WF'
dR
-tX
Tëë'
par ce que nous ayons yu plus haut ,
f dl ix dr\ . dA , dB ,dc 5»f { as .35 a? 1
"' ■di-^-Sb+3^^Wry-''T-''T~^Tj'
Or, de l'équation j.+^^.lj s i , on tire
r^-^ ari,F + ?î+?ï;'
en obseryant que Idl = /y/ = CdT.
Multiplions la première équation par ^ > la deuxième par p; ,
la trobième par — , et ajoutons, nous trouveront
dl de d^ 3â , ,db , de
Ainsi, --j- + jT +;t- = o^ ce qui vérifie Féquation (i),
8. De Ja comparaison des formules d'attraction sur les points intérieurs et extérieurs, on déduit très-simplement le théorème suivant, dû à M. Yvory.
u Si Ton a deux ellipsoïdes homogènes qui aient le même ?? centre et les mêmes foyers , l'attraction , suivant chaque axe , n aue l'un des deux corps exerce sur un point de la' surface V de l'autre , est à l'attraction de celui-<ïi sur le point corresponr dant de la surface du premier , comme le produit des deux V) autres axes du premier ellipsoïde , est au produit des deux rt autres axes du second. )i
M. Yvory appelle points correspondans sur les surfaces de deux ellipsoïdes rapportés aux mêmes, axes, deux points dont les coordonnées sont entr'elles dans le rapport des axes âuxquek elles sont parallèles.
La démonstration directe de ce théorème est très-facile , et M. Poisson a même observé qu'elle s'appliquait à une loi quelconque d'attraction et conduisait toujours au même résultat (^). Ainsi , par exemple , considérons deux sphères concentriques , l'attraction de la première sur un point de la surface de la seconde , est à l'attraction de celle^i sur un point de la surface de la première , dans le rapport des carrés des deux sphères , indépendamment delà loi de l'atb*action. Soient A y A\ r, ¥ les attractions et les rayons des deux sphères , on aura la relation
qui servira à faire connaître l'attraction d'une sphère sur un point extérieur, lorsqu'on connaîtra celle qu'elle exerce sur un point intérieur, et réciproquement. Si r>/, et si la loi de
l'attraction est c^lle de la nature, on aura ^' = -3 — -y et
^ r= 5 «■/ , pour l'attraction de la sphère dont le rayon est r sur un point intérieur. A étant indépendant du rayon r, il
{*) Voyez le Bulletia de la Soâc'te' Philomatique, année 181 a, tome 111, pag. 180.
s'ensuit que Faction d'une couche sphérique sur un point intérieur est nulle. Réciproquement, pour que ce théorème existé,
il faut que ^ soit indépendant de r \ mais alors on a. ui'z=z •- ,
H étant une constante par rapport à r^ c'est-à-dire que dans ce cas les sphères attirent les points extérieurs en raison inverse du carré de la distance à leur centre , ce qui exige évidemment que l'attraction même d'une molécule suive la même loi. a La loi de la nature est donc la seule dans laquelle une >) couche sphérique n'exerce aucune action dans son intérieur. ^^
