SECONDE PARTIE

Attraction des Sphéroïdes infiniment peu différens d'une sphère, et développement général ae la jonction Y.

9. Nous emploierons dans toute cette seconde Partie les coordonnées polaires , et nous désignerons toujours par r, ft, w Celles du point attiré, et par r , ^', w' celles du corps, ft, f* éfant mis pour cosé, cos*'.

On a az=:fir, i= V^i — ^"coswr, c = v/i— /i«*sinwr,

et

V'/a 2r/|>.'-|- v/ 1 — /!•» V" 1— T»'*cos(»-'— ir)]4-r*

L'origine des coordonnées étant prise dans le corps même , soit

T = TW + T^'H + rc*)^* + etc. ... (3)

le développement du radical

[i a[V+ /r=;rVî^=7^cos(fl-'-^)]f+f^'-;

]r pourra se développer dans les deux séries suivantes :

^ /^^Co) /^(i) ;r(3)

^ = ^ + ^ + ^ + etc. . . . , (4)

r = vC») + vCOr + vC'Or* + etc.. . . , (5)

dans lesquelles

yw = ff'T^-^W^^Wdfidw' 1 vW = f/Ti^W'-^dr'df^'dw' y ^^

La série (4) sera convergente si r est toujours > /, ce qui est le cas d'un point extérieur à un sphéroïde infiniment peu diffe—

(375) . rent d'une spbère, Torigine étant au centre du sphéroïde.. La série (6) , au contraire , sera convergente si r est toujours < /, ce qui est le cas d'un point intérieur à une couche sphéroïdique. Ces conditions de convergence sont indispensables pour la certitude des résultats.

Développement de la fonction T.

lo. La fonction T n est autre chose que le radical

[(a: — a)* + (y^ by + (* — c)* ] *, dans lequel on ferait xz=fêt, y^=^\/T^^coswt, ar= V/ 1— -jJ^sinir'/ ; a=fê\ ft=V/i— V'cosw-, c= V^i— ^'•sinw ; or on a

3r» + jy + di* — °-

Cette équation devient, par la transformation, ,, ^.dT d^T

— 5 +?:=;? +^-âi^ = ^' (7)

Si l'on y substitue pour T' la série (3) , on trouve , pour dé-, terminer T^'"^, l'équation

rf(i — /«• ) —5 — ^ a

^-^ + -^ + mCm+OT'^'-^ = o.

Représentons par Z„ l'intégrale de cette équation ; cherchons-en l'expression , puis nous en déduirons TC"») par quelques conditions particulières à ce coeiEcient. On aura

dZn, d*Z„

^JL + ^+ m(m+i)Z„ =^ o. (8)

Posons Z«=yo-Ky,(^'^8in»4-»^0cosir)-J^s(^^*^«m2ir+^^*^C08a»),,.eto.

le coefficient général jr, sera donné par l'équation

Pour le déyeloppement le pins général de Zm, il fiindrait pou-* voir supposer n purement algébrique dans cette équation ; mais nous n'avons pu intégrer qu en le supposant un nombre entier, ce qui , du reste , n'influera en rien sur lapplication que nous voulons faire au coeflicient T^^^ (*).

• Faisons jr,r= (i — a**)*^«> ^ ^^^^

(m — »)(fn + n+ i)ar. — a(n + 1> -^ + 1- y ^= o. (9)

Si au contraire nous faisons ^^1.= (i — ^') '*jp-«, nous ayons

(m+n)(m-n+i)x^— fl(n— 1> -^+(1— /•*)--^"=o^ (lo)

Ces deux équations ne dilTèrent que par le signe de n, ce qui tient à ce que ce signe est indifférent dans l'équation qu'on transforme. On aura

Les équations (9) -et (lo), différentiées p fois de suite et multipliées après la différentiation y la première par (i — ^*)"^', la seconde par (1— /**)''*'■, donnent

dFx (to— «— p)(m+n+p+i)(i— ^•)«+^^

dr*-'jr + Ç ^î— =0. (.a)

Supposons d'abord n^m, ou tout au plus égal à m, et faisons p=:zm*^n dans l'équation (ii)> nous aurons

(^) L'analyse ^ui Ta suivre avait été employée en très-grande partie dans un deuxième Mémoire de M. Ivor^, sur Vattracaon des sphéroïdes (Transactions phi!osop})iques , tom. 103 , année i8ia , iT« partie ) et dans la Section xi du troisième Supplément aux Exercices dû Calcol intégral, par M. Legendre. Je ne connaissais aucun de ces ouvrages lorsque je lis mon traraill

(•377 > d^oùy par Tîntégration, on tire

d"-"ar.

Faiâons niaintenant p = o , p=i^....p = 7n— -n-* i dans b' même équation; nouâ trouvons

f ,«»^»+.«î: yL x î •

^ '^^ dft df»* ^ (m— n— OCm+n+fl)'

etc. ...

Si l'on substitue l'expression du premier membre de la dernière équation dans le second membre de la précédente, et ainsi de suite jusqu'à la première équation , on trouve

" (i — fr'ydf"*-" i.2.3...m — «.TO+n+i . • .am'

Si dans cette expression Ton met pour , -^/ la valeur que

nous en avons donnée plus haut, et qu'on change les constantes, 4>n aura

Cette expression, contenant deux constantes arbitraires, est précisément l'intégrale complète de l'équation (9) ; elle se com-^ pose d'une partie irrationnelle et d'une autre entière et rationnelle du degré m — n. Car il est facile de s'asturer , par la

dîfférentiation , que cette dérivée , ^[^ • est exactement

divisible par (1 — ^•)".

11. Au lieu de fairep=: m— n dans l'équation (11), faisons p=m+n dans l'équation (ia); elle dévient inunédiatement

(378) intégrable et donne

Faisons daltaB cette équation p^so, p-=: i.. . .p=m+/t— i ; traitons les résultats comme ci-dessus , et nous en tirerons

mais jr„ = (i — /•t')'""^— «• ^^ ^'^ra donc encore pour x» cette expression^ aussi générale que la première^

Identifiant les parties entières et rationnelles > dans les denx expressions , et en déterminant les constantes pour que les premiers termes soient les mêmes ^ on a cette relation remarquable ^

— K^—f^) Çii-h» •

Supposons maintenant n*^m\ aucune valeur de p ne peut alors rendre l'équation (ii) immédiatement intégrable; mais si dans Téquation (ifl) nous faisons p=n~^m — i, que non» intégrions, etc. ; enfin si nous traitons cette équation par tut procédé pareil à celui que nous ayons employé ci - dessus , nous trouverons

Cette formule ne contient aucune partie entière et rationnelle » ainsi Ton ne doit pas supposer n > m , lorsqu'on ne veut pour Xn que des valeurs de cette espèce.

Noas aurons donc dans cette hypothèse , qui est la seule qui convienne pour la fonction yc™),

et par suite ,

J étant nne constante ; mais elle peut être censée comprise dans u^^") et^C»), Si nous posons JRm = — 7^ > nousauron*

(i3) Z«=BCo)fl„+(i— /t»)*^(^COsinw+^COcos»-) + etc..

+ (i—,*»)» ^^ (^C«)8in nw + ^»>cos n») ,

JîCo), ^Ci) ^(0 ^(«) ^C») étant des constantes arbitraîre»,

au nombre de am + 1 . Avec un peu d'attention y on yoit que cette formule donne pour Zm une fonction entière et ration-* nelle des trois quantités ^, V^i— ^"cos»-, |/i— /•*sin«', la plus générale qui satisfasse à l'équation (8).

Réciproquement , toute fonction entière et rationnelle de ces trois quantités peut se développer en une suite de fonctions telles que Z». ( Voyez la Mécanique Céleste.)

12. Pour déduire TC"») de l'expression générale (i3), j'observe que J'C") doit être symétrique par rapport aux variables fi, fi, w, w\ et ne doit contenir que les cosinus des multiples de w' — «-. Si donc on fait R'm égal à ce que devient jR^ en accentuant ft , on aura d'abord

+ i.(,^.)Î0-^'.):^^CO»»(ir'-,).

LoLi....Li^ étant des coefEciens numériques. Pour les déter-^ miner } je suppose /Mrs//; alors le coeiTicient de cosn(»-' — w)

devient Zr«(i— ^O* V~T^) • ^® terme le plus élevé par rapport à ft , dans ce coefficient , est égal à

(— i)"Z»„(a7ii.a7îi— 1 nf^n+ i)/"»*";

lissi^==/, 7'={i-4i[>Mn*K'^'-ir)+icos(ir'-^)]+t*r% il est aisé de s'assurer que dans 7^"') le terme du plus haut

maissiA*=^ et exposant est