azn— I .«. .«.^ * x
( 38o )' Or le coefficient de cos n (»'— ar) , dans le développement de a**" sin*"» î (ir'— «r) , est égal à
ùm am — i....m+ii+i ^ ' i.a.o....m — n
en supprimant le factenr a poar n:s=o, on aura donc, par la comparaison ,
De tout cela il résulte , en posant
, flsin'"»8in"'é'cosyfi(y — w) d^'^M "*" i.a.3...ayn dftf^dfi'^^
La comparaison de cette formule ayec le type général (i3) donne
^Co)= -" [g 5C«) = co8n»|
^Co) — o AW = sin iwr )
a*"*(i.a.3....m)*('»— iH-i)(m — ^»+a;....(m+»)* i3. L*éq[uation (ii) devient, en j faisant n^ o, a:o=i{M»
changeant m en m', on aura cette autre :
Si nous multiplions la première par -^-^^ » et que nous inté*
( 58i ) grioDS ensuite depuis 7« =' — i jusqu'à fî^^^i / ïl viendra
La seconde équation , multipliée par "-j-? «^ intégrée pareille»
ment , fournira un résultat qui ne différera de celui-ci que
Ï^ar le signe de m. La comparaison de ces deux résultats donne , orsque m et m' sont difFerens ,
Si mz=zm\ on a successivement^ en faisant p-l"^ =n^
etc. . . .
et de là.
Faisons n=zm, on aura (-ï-v) ^^C**^ •'•••• ^''*)*> ®*
/fl»^= i.a.3....a/»/(i~^')"«^ = ''"^Ti+i""'"^* • d'où enfin
(m— »+i)(ot— /i+Q)...(m+n).(i.a.3. ..mya»"^» , -.
( 58ù) Cela posé , considérons Vîntégrale double fZ„yti,têitàw , prise depuis /!«= — 1 jusqu'à ^= + 1 > et depuis w = o jusquà w =2ar, Yna étant une fonction de même forme que Z» , ensorte que
Yn^ = iCo)/l^+(x--^«)» ?^ (aCOsinw + JCOcos») etc. . . .
Si l'on a égard aux théorèmes (i4) et (i5) » et aux résultats miivans :
f smpw sinqw.dw = o,
f sîn pv ces qw.dw = o,
f sïnpircos pw.dw = O,
fsm^pwdir = /cos*/MrAr = r,
/ Ar = ar, en Terra que si m et w! sont différens ,
fZJTnudftdw = o , . et par suite , fZ^dfêdw = o , et que si mf=:m,
*X S(^^")aC») + ^C«)6C»))(m— it+i . m— n+a . . . m+n) ,
le signe ï s*étendant depuis ii = o jusquà n = wi, et le premier terme de la somme ^Co)aCo) -j- i^®)6^**^ devant être remplacé par a^Co)i(o)^
Si Z,„ = TC"») et qu'on substitue pour 5C») et ^C») leur» valeurs données plus baut^ on trouve ce théorème bien remarquable^
J'aiétant ce que deyient K^ en aocentnant /», ou bien,
fiwrjitidw' = -É:^. (16)
am-f-i ^ '
Formules pour I attraction des sphéroïdes infiniment peu différens iune sphère.
i4- Supposons d*abord le point attiré extérieur au sphéroïde^ ^t ce sphéroïde homogène, faisons /)=i. Soit i'=a(i+«y) l'équation de sa surface , m étant un très-petit coefficient dont nous négligerons le carré. Cela posé, nous aurons la valeur de V par la série (4) , dans laquelle
FW = / TW/^d/dfidw\
Intégrant par rapport à /, depuis /=o jusqu'à /î=:a(i-f»/)^ on trouve
en général , /rC") 4»'rfw^ = o, et
Faisons Ç« z=ifT^'^^y'ifikdw\ nous aurons
y ne contenant que fi et w\ et T'C"») étant une fonc tion entiè re et rationnelle des trois quantités V; V^ i — /••* cos »• , \/ \ — ^•ainw, Ç^^ le sera de même et satisfera à Téqu»tion (9).
De cette valeur générale de V^^^^ on tire
Le premier terme est, cotnme on voit, l'attraction d'une sptère
d'un rayon égal à a , et les autres sont de l'ordre «. Les deux
autres composantes de l'attraction du sphéroïde seraient aussi
du même ordre, d'où il résulte qu'au carré près de «^ toute
!.. . , dV
1 attraction est exprimée — -7-.
Si le point attiré est à la surface du sphéroïde, alor» r = a(i-f-«iy) , y étant ce que devient y lorsqu'on y change fi et «-^ en /i et «*, et les formules sont alors
V= Jîra*(i-.#y) + t£^^{(^, J^ Q, + Ç.....) - ^ = t ra (i-a-y) + a. (Ço +^Q^ +3Ç.. . . 0i5. Traitoiu directement ce cas particulier. Nous avons
(384) On tire de ces expressions ,
Cette intégrale doit être prise depuis / = o jusqu'à /z=:ay et ensuite depuis /=a jusqu'à. r'=:a(i+<»y')' La première in-
tégration suppose « nul-, mais alors ^= f — — -§- = f —7- ,
ensorte que la première partie de l'intégrale est égale à |^ -^^ . Le reste de l'autre est égal . aux infiniment petits près de l'ordre ••, à a3(r*^>y -t^^.
En prenant le rayon rpour origine des fê, on a u*=a'— ^-a^'ûr-J-r',
Posons a^=.rt, t<^i , le reste de l'intégrale cherchée sera
Ôr t = 1 > aux ouantitéK près de l'ordre « , de sorte que cette quantité sera éyidemment du premier ordre en « , tant que f^ sera sensiblement, diflférent de i, ou^ ce qui revient au même, tant que y' différera sensiblement de y* Nous pouvons donc supposer toujours y'=^y \ mais alors
on aura donc — ar -,- = ^+ J — + 4sra'«y.
Mettant pour r sa valeur a(i + »y), et observant que
— -j- =:^sra% aux quantités près de l'ordre «, on trouve
dr r,,
= — + 1 ira.
ar aa ^
dV
Substituant dans cette équation les valeurs de /^ et de -j-
données plus haut, on en tire
f^ — Ço+3Ç. + 5Q, + etc.....(3m + OÇ«....
Ainsi y se trouve essentiellement développé en une série de la forme J = l^^ + r,+ r.,
( 385 ) Yn ét ant une fonction entièr e ^t rationnelle des trois quantités ^, |/i — fù*co3ir, \/i — /«* satisfaisant à l'équation (9). Mais
alors on a Ç» =: fT^^^^dfidw = Jj - \ et comme , par ce
que nous ayons vu sur les fonctions telles que T^^^Ym,
il en résulte /rc»)r'«di»'rfisr' = .^^^ , ce qui confirme le
théorème (iS).
dV Les yaleurs de /^ et de — -y-- , peuvent donc s'écrire ainsi :
àr vca^ .'>^a\r ,QaY, SaT. m + 1 a«r„-|
En prenant pour a le rayon de la sphère égale en solidité au sphéroïde y et pour origine son centre de gravité , Y^ et Yi sont nuls. (Mécanique Céleste.)
Lorsqu'on connaîtra d'avance le développement de ^ ^ ces formules seront employables immédiatement. Mais dans le cas contraire , elles n'auront aucun avantage sur les précédentes , pubqu'on ne pourra calculer Ko > ^1 > etc. que par les inté*« grales doubles fT^^^^ydf^'dw, etc.
Je termine ici mon Mémoire ; tout ce qui reste à dire se trouve dans la Mécanique Céleste , et je n'aurais rien à y changer ; je me bornerai seulement aux observations suivantes.
Les séries (4) et (5) peuvent s'appliquer à des corps quelconques et fournir une théorie de leurs attractions , pourvu qu'elles ne cessent pas d'être convergentes, et j'ai montré en quoi consistait leur convergence ou leur divergence. On trouve dans la Mécanique Céleste deux théorèmes généraux , l'un sur les solides de révolution , l'antre sur les solides symétriques » par rapport à trois axes , basés sur la considération de ces séries et sur les propriétés des fonctions Z„ relatives aux^intégrales doubles. Pour que ces théorèmes soient certains^ il faut ne les appliquer qu'à des corps pour lesquels les séries employées soient essentiellement convergentes , et de plus , qu'à des corps continus ; car les propriétés des fonctions Z^ relatives aux intégrales doubles , supposent les intégrales prises dans toute l'étendue des valables ^ et w', ce qui ne pourrait plus avoir lieu si la forme du rayon changeait brusquement dans l'intervalle des limites de ces variables.
GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE
j!fote sur l^s tangentes aux sections planes de la surface engendrée par une ligne droite ; par M. Hachette.
Xai démontré > dans le Supplément de la Géométrie descriptive de Monge (paz.Bo , art. 58 et 69) , que la surface la plus générale engendrée par la ligne droite » était touchée, suivant une génératrice^ par une surface du même genre , que nous avons nommée hyperbo^ Idide à une nappe, et qui ]ouit de cette propriété^ «Tutelle peut être engendrée par une ligae droite , de deu?t manières aiiFérentes , ensorte que le plan qui toucbe cette surface en un point ^ est déterminé par les deux droites qui se croisent en ce point. J'ai fait voir qu'on pouvait prendre pour directrices de la génératrice de l'hyperboloïde, trois droites menées dans les plans qui touchent la surface générale en trois points quelconques ae la génératrice commune aux aeux surfaces. Si l'on considère le point de cette génératrice qui appartient à une section plane de la surface générale , la tangente en ce point de la section, est évidemment la droite d'intersection du plan de la section et du plan tangent à l'hyperboloïde. Les droites directrices de la génératrice de Phyperboloide étant seule* ment assujéties aux conditions de passer par trois points en ligne droite de la surface générale, et d'être menées dans les plans tangens en ces mêmes points , l'objet de cette note est de faire remarquer qu'on peut prendre pour les directrices, des droites
Farallèles au plan de la section de la surface générale; alors hyperboloïde à une nappe devient le paraboloïde hyperbolique , et la tangente à la section est nécessairement une droite de ce paraboloïde. On dédui.t de cette considération un moyen tràssimple de mener les tangentes aux sections planes de plusieurs surraces gauches employées dans la coupe des pierres, et notamment de celle qu'on engendre en prenant pour directrices de la droite mobile , deux cercles situés dans des plans parallèles , et une perpendiculaire à ces plans. Les petites voûtes qu'on nomme biais passé, arrière-voussure de Marseille, sont terminées par une surface de ce genre , dont les sections verticales forment les têtes de quelques» -uns de leurs voussoirs. On construira facilement les tangentes de ces sections , par la méthode que nou9 venons d'indiquer , et qui se réduit à trouver une seule position de la génératrice du paraboloïde tangent à la surface ^uche , qui termine la voûte.
Recherches sur un Jeu de combinaisons ; par C. J. Bhianchon j Capitaine (ïartilleéie ^ Adjoint au Directeur-général des nianufactures d^atmes.
(Art. 1.) Les n billets, ou numéros , -</, £, I^Of,.,.U, dont se tîompose une loterie^ étant tirés secrètement, etaubasard, par une société de n personnes , qui , chacune , en prennent un : nous allons faire voir par quel artifice on peut obtenir une car» taine donnée , qui , seule , décèle tout le mj'stère de cette répartition et permet d'assigner ce qui est échu à chacun.
(Art. a.^
Donnes Si la
peisonne
jetons; et, en outre, mettez-en à la disposition de toutes une quantité suflSr E santé D j ensuite de quoi , vous expliquerez aux actionnaires que celui qui recèle le billet numérote' U
doit prendre au tas D et à Toire insu.
fois autant de jetons qu'il en a dcjlk reçus.
Après cette dernière opération, faite en yotre absence, vous trouvez que , des D jetons que vous aviez laissés , il n'en reste plus que d. La connaissance seule de ce nombre d va nous conduire à la solution du problème.
