M. RODRIGUES
Appelons N cette résistance qui est dirigée normalement à la courbe donnée. Soient i t^t^^ les angles que su direction fait avec les aies des coordonnées. Cette résistance est, comme on sait^ égale et directement opposée à la pression que le point ererce sur Ja courbe dans son mouvement. Les équations de ce mouvement sont
dû*
^y V Tvr -.^. / l ( Mécanique de M- Poisson* -r=:7Vco,.'^ pag.37i,ton,.I.)
dt*
Je me propose ici de démontrer d'une manière purement analytique , que cette force N est égale et directement opposée à la résultante de deux forces normales à la courbe , l'une proventM dcS forces imprimées au mobile , et qui serait | dans l'état d'équ\«
libre , la pression que sapporterait la courbe , l'autre due à la rtlesse iu mobile égale au carré de cette vitesse divisé par le rajon de courbure^ et dirigée suivant ce rayon du dedans au dehors , Xendant en effet à éloigner le mobile du centre de la courbure ; et qu'on nomme pour cela force centrifuge.
Mais il est nécessaire de rappeler iei l'eiqpression analytique des cosinus des angles que la direction de ce rayon fait âVec les axes des coordonnées. Appelons ^^ ^% i^ ces angles ^ « et y les coordonnées du centre du cercle osculateur ^ r le rayon de ce cercle , on aura évidemment
t:os/=x^^=^, coW=^!^^, cos/* = î=^, r r r
et ces cosinus ainsi pris , appartiennent nécessairement au prolon-* gement du rayon k partir de la courbe, et en dehors de sa concavité»
Maintenant on trouve par la théorie des osculations^qu'en posant
l'élément ds de la courbe constant ,
d*^.ds* d*y.ds*
^^a—^ ^»^»+ d*j'*+ ^Z^ ' '^""^"^"^^^H-^^HF^*
d'z.ds^ ^ ds^
^'^'^^'^ d'x*+dy*+d'js^' '^* ™"" ^x^+ ^r'+ ^«* '
on aura dope
d'jp d*y : d*z
co8^=«^r^; — , cos V"' =T- r-~-, cos^^ss-^r-^ — , ds* ds* ds* '
ou en rétablissant l'indépendance des différenUelies
, dx djr A?
tf^-r-i- ^''T' C?.-7-
cos^s^i^f-r— r — 9 cos/^'rzr — r-^- — , cosd^*^s=— r— .. ds ■ ds ^ ds
Revenons maintenant aux équations du mouvement. On peut leur 4pnner la forme
dsd*x — dxd^s /__ dx d*s\ dsd'Y — dyd^s /. dy d*s\
dsdt* dsd*z — dzd's / - dz d*s ''
V as de J
dsdi* V as de J
COSi''
dx dy
Mais dsd'x — dxd^s = ds*d. — ;— « ds d^y — ^yc^J s= A'rf. -r- 1
ds -" '^ dt
dz dsd^z — rfz^ff = ds^d, -— ; a»
d'ailleurs --7— = f * , et par les valeurs précédentes de cos i f
cos J" , cos f^^ on a
cr =— — cos/^9 rf.-f-= cos J'S » -r=— — cos /'•
ds r ds r ds r
Ces é<{natioiis prtnent donc la forme
cos ^ — ( X -— 1 = iv cos f ,
r \ ds de/ '
^ cos i^'— (r— 4^ ^) = iVcos •', r \ ds di* / '
J:! cos J ^— (^Z — -^ ^^ = AT cos i^.
r \ ds de J
1^ . ., , „ dx à^s ^ djr d's „ dz d's
Ma.s,«bserveq«eJC— 5^^, Y-^—,Z^^^,
sont les composantes des forces normales imprimées au mobile ; en effet ^ pour avoir ces composantes y il faut des composantes totales XyiyZ y retrancher les composantes de la force tangentielle d*s , dx d*s df d*s dz d*s ^ ,, , ri
-— , savoir : -r — 5—, -r— -rr ":: — rr- ^^ v<>** ^*>"c P*r la que les Jr ' ds de^ ds de ds dP
.composantes iVcosf, ^cos i^, iVcos t^, de la résistance A^ sont égales
et de signe contraire aoz sommes des composantes • — cos ^^
dx d*$ X — -r— ) etc. ) d'où il est clair que cette résistance est égale
eC directement opposée à la résultante de deux forces normales à la conrbe , l'une provenant des forces imprimées au mobile y et l'autre due à la vitesse du mobile y laquelle se mesure par lu carré de cette vitesse divisé par le ra^on de la courbure , et est dirigée suivant ce rajon du dedans de la courbe au dehors > de manière à éloigner le mobile du centre de courbure.
