ASTRONOMIE

Recherche des variations qu éprouvent les ascensions droites et tes déclinaisons des Etoiles, en vertu d'un petit déplacement de Véquateur et de la ligne^ des équinoxes ; par M. Puissant (*).

Pour démontrer ks formules de nutation données par Lambert ^ M. CagnoH a recours aux analogies différentiel lea de la Irigono-s mélrîe sphërique. D'autres géomètres ^ et notamment MM. Biot et Delambre y sool parvenus à ces formules par des considérations purement élémentaires) mais, en ne renonçant pas à l'usage du calcul différentiel, on peut les obtenir à priori y et très-simple** ment; par U méthode suivante.

Equations fondamentales.^

Désignons par E le lieu d'une étoile , par P le pAle de Péqnaleur céleste., par P' celc^î 4.® l'écliptique ^ et soient A Tascenaion droite nipyenne de l'étoile, D sa déclinaison moyenne supposée boréale,, L sa longitude supposée moindre que 90^, A sa latitude boréale. £nfîn, appelons j^ robliquité de réciiptiqiie.

Cela pos^; dai^ le triangle sphérique £PP'j on aura éôdwmnent

PP' = 0^ PEt=qc^ — Dy F'JE: = 9o» — A,

angle P' = 90 — Zf , axigle P'PE = 90 + ^^ et ce même triangle offrira les relations

(t) sin Z^ = sin « cos A dn JL 4* ^^ j» sia A |

, , ^ tane a sin j^ — cos m sin L

(30 ^ag^=? . . ■ ■ . r ' 3L

COS Xi

(3) ços. ^ cps D =:^ Ç09 A cqs J!^. ,

{10 ain A = COS # sin D.t sin «co^ D ûa A,

S.CtLVTlpW.

La variation d'obliquité due \ un mouvement de rotation de Téquatcur autour de la ligne, des équinoxes y n^ point d^influence

(*] Voyez , pour PintelligeDce de cet «rtide , le Traité d'astronome phj-^ ^ir^lic , par M* biot ) tom. Il, pag* 1 1 1 et lui^iuçiet.

SUT les latitudes ni sur Ifis longitudes de9 astres , mais elle afTecte leurs ascensions droites et leurs déclinaisons* Quant au déplacement des points équinoxiaux, il produit nécessairement nn chan* gementy tant dans ces dernières coordonnées que dans les longitudes. Les effets réunis de ces deux causes étant supposés trèspetits , il en résulte qu'en dififérentiant les équations (i) et (3), et faisant varier à4a->fois A, D , m et L^ on parviendra , après quelques transformations faciles, aux formules dont il s'agit. £a <iffet| on trouve |>ar la première équation »

,^ , /ces m cosxsinL — sinjusinxx , , si n « ces a cos Zr dD=dm{ jr ^ J+dL. =r ;

et comme Péquatîon (a) peut s^écrire ainsi s

^ sinji cos 4« 7 cos X = cos sin L cos A — sm « sm x >

COSyf

il en résulte Que l'équation différentielle précédente , en ayant d'ailleurs égara à la relation (3), se réduit à celle-ci s

(5) dD = d^ sin A ^ dL sin « cos A , Telle est la variation en déclinaison cherchée.

L'équation (3; étant différenliée y on en tire

^ j ^^ dD cos ^ sin Z> dL cos A sin L ^

sin A cos D ' sin ^ cos D *

mais les équations (i) et (4) donnent

. . sinZ> — cos«sinA . f> . ^ . ^ ^

cosA sinZr = . = sm « sm Z/ 4- «osa ^a ^ cos 77,

Substituant cette valeur dans l'équation précédente ^ ainsi que celle de dDy on obtient , réductions failes j

(6) dA:=i''^dmco%AULXï^D'\-dL{co%m -f- sin « sin u^ tang Z>).

I.es formules (5) et (6) seront celles de nutation lunaire en déclinaison et en ascension droite ^ si on met pour dm et dL leurs valeurs relatives à ce phénomène. Or, l'observation et la théorie de l'attraction universelle ont fait connaître que la variation d'obli*quîté et celle de la longitude sont dépendantes de la longitude yioyenne du nœud ascendant N de la lune, et que Ton a

- ,, - __ . qffyô cos 2« sin iV

^ ^ ' ' ços« sin«

g" fi étant le demi-grand axe de rdlipse de nuUlîon, et 9 -^ co»?.<>

cosm son demi petit axe. ( Mécanique céleste , tom. H , pag. 55i j et abrégé d'asironomie de Delombre, pag, 5i4. ) Gela posë^ soit, pour abréger |

dm=:mco$N, dL^.'^n sin N,

les formules (5) et (6) se changeront en celles-ci

nut. en décii. =:msinJcosN — n sin cos ^ sin iV ,

«.,f ^« -.-• j c = — iw lang Z> cos yf cos iV nut. en asc. dr. / ^

\ -r- n sin et tang Z> sin A sin iV— n cos # sin A''} mais en général

sin X cosy = i sin (x +j-) + J sin ( x — ^) ,

cosarcosj'srr Jco8(j:+j-) + icos(x— jk)>

sin a: sinr = i cos( x —j ) — î ços ( x + j^ ).

Ainsi

^Z>ou

nul. tndécli. =|(to-— iisin«)sin(-<^+A'')-|-i(m+ 7isin«)sin(yf— A^)

dA ou

j f ?= — n cos • sin iV

nut. enasc* dr. <

l — tangZ>[^(iw-/isinj^)cos(-^+iV;+i(w«+nsin«)cos(-i^-A')]

Si donc D' et A^ sont respectivement la déclinaison et l'ascension droite apparenta^ on aura

D' = D + dD , A'=iA + dA.

Ces deux formules de nutatîon sont calculées dans la supposition que la déclinaison D est boréale } mais il est facile de voir que si cette déclinaison était australe, il fnudrait seulement prendre la valeur de dD aveo un signe contraire.

En faisant dm = o dans lea formules (5) et (6), on obtient sur-le-champ celles de précession en ascension droite et en déclinaison; mais on a rfZ» = 5o*,i. On voit par-lk combien la méthode précédente est générale et simple.

De la vis d'Archimède ; par M. Hachette.

'^ On suppose la vis réduite à un tube faëliçoïde (pi. 3) Oceb (fijî. 1,11), O'cVA' (fig. 1, b), dont Taxe est i? (fi?, i, a), E*K' (fîg. I , b). Cet axe fait, avec la tangente à l'hélice au point rC, à'), et avec le plan horisontal du niveau des eaux , les angles E'OM% E'CT.

Le point O , (y étant Torigine du tube héliçoïde , et en mcme tems Toriflce par lequel l'eau s'introduit dans le tube , l'élénjent de l'hélice en ce point doit, en tournant autour de l'axe E y {E' £^), prendre des positions telles que l'eau puisse s'écouler sur cet élément comme sur un plan incliné \ ce qui ne peut avoir lieu que lorsque le tube héliçoïde tourne dans un sens contraire à celui du point générateur de l'hélice.

Si on suppose que le tube, après avoir fait plusieurs révolutions autour de son axe , passe de l'état de mouvement à celui du repos, il sera divisé en plusieurs portions contenant alteruativement ou de l'eau ou de Pair. Soient (c , c^ ) , (e, #' > les points pour lesquels les tangentes à l'hélice sont parallèles au plan horisontal, la portion ou tube contenant i'eau sera la plus grande possible, lorsqu'elle sera égale a la portion d'hélice cek y c'efk*^ comprise entre les points (c, cf) , (e, e' )) l'eau n'obéissant qu'à la loi de la pesanteur, remplira cet espace, et l'air compris entre deux portions consécutives d'eau y sera de même densité que l'air alrao6phérique.

Four que l'air atmosphérique remplisse les intervalles qui réparent les arcs d'hélice remplis d'eau , il faut , à chaque révo-: luttoa du tube , introduire un volume d'air atmosphérique égal au volume d'eau qui s'échappe par l'orifice supérieur du tube.

Le tube héliçoïde et son inclinaison par rapport au plan du niveau des eaux, étant donnés , la position de ce plan par rapport au cercle décrit par l'orifice inférieur du tube , est déterminée \ lorsque l'arc d'hélice, correspondant à l'arc de cercle que cet orifice décrit au-dessus du niveau des eaux, n'est pas égal en dëvelop-r pcmcnt , à l'arc d'hélice qui doit contenir le maximum d'eau , Pair compris entre deux portions consécutives d'eau n'est pas de même 4 usité que l'air atmosphérique ; et une partie de la force qui fait

tourner ce tube, est employée à produire d«8 mouveincns d'air qui 6oat perdus pour l'effet utile de la vis.

Si le cercle décrit par l'orifiee inférieur du tube , plonge entièrement dans un réservoir, l'ean élevée dans le tube tend à descendre avec une vitesse qui croit en même tems que la hauteur du niveau de Teau dans l'intérieur de ce tube } et lorsque cette vitesse est égale à celle que l'eau acquiert par la rotation de la vis , l'eau cesse de s'élever.

En augmentant continuellement la vitesse de rotation de la viS; la force centrifuge devient plus grande que la gravité , et l'eau, au lieu de monter^ s^échappe par l'oriUce inféricuc du tube;.

Détermination des points ( c , c' ) , ( e , e' ) de théUte , pour lesquels la tangente à cette courte est parallèle au plan du niveau des eauv.

X Voyez la construction d^ cette tangente , supplément de U Géométrie descriptive ^ pag. 86 , art. 96. )

angle TOE' = a , angle M'OE*^ = /S , CE' = h y E'M'^EM^EVJ'^^^, E'T^Et = ^^.

COSjS C08«

P£:i::£i:sin arc Oc 5=r^=;;4î=r^ =="««f«(*^*)-

V'E taug/B

Un sinus est toujours pltis petit que l'unité^ donc on doit avoir /S>a. Cette condition étant sadsfaite^ ainsi que celle de l'art. I , Peau pourra s'élever dans le tube hcliçoïde*

Tous les points tels que {c ^ c') ou {e ^ e') , pour lesquels U tangente à l'hélice est parallèle au plan du niveau des eaux | sont Situés sur une arête du cyh'ndre droit qui a pour Base le cercle décrit :ar Porifice inférieur du tube. Lorsque cet orifice sera en (c, c^)^ e point du tube pogr lequel la tangente sera ho^isontale / occu-^ pera la position [e, c* ) , telle que l'arc d'hélice ce , c'^e^ sera de même longueur que l'arc (c^ . cV), et tandis que l'orifice inférieur du tube décrira l'arc de cercle ce , fig. 1 a , c^i , fig. i k , l'élément du tube près cet oriiice , aura ( I ) l'inclinaison convenable ^ pour recevoir Veau du réservoir ; car si l'on suppose l'orifice inférieur en na point (m, m*^; de l'arc de cercle (ce, ç^t), l'élément du

tube en ee point sera parallèle à rëlëment de l'hëlice ( ce ^ cV) au point (m^ n)\ donC| si le niveau des eaux passe par le point (c I c'')yOVL au-dessus de ce point, cet arc d'hélice ce^ dle^^ conte* nant l'eau , sera le plus grand possible ; mais il peut arriver que Tare d*hélice correspondant à l'arc de cercle que rorifice inférieur du tube décrit au-dessus du niv«au des eaux , et qui se remplit d'air, ne soit pas égal en développement à la portion d'hélice (ce, c^a^) : dans ce cas (111)^ on n*élevera pas à chaque révolution de la vis, une portion d'eau égale à celle dont cet arc est capable. Le maximum d'effet de la vis dépend donc du rapport entre une portion d'hélice , dont la limite est déterminée par rinclinaison du tube héliçoïde , et la portion d'arc de cercle décrit par l'orifice inférieur du tube au-dessus da niveau des eaux.

Note sur la vis d'jérchimède ; par M. Navier , ingénieur des ponts et chaussées.

La vis d'Archimède est une des machines les plus propres à piquer la curiosité ^ et sur la nature de laquelle il est le plus dimcile de se former des notions exactes. Sa tliéorie a été traitée par plusieurs savans. Pitot a donné des recherches sur ce sujet dans les Mémoires de Pacadémie pour 1736. Soit MN, M'JS' (fig. a 9 pi. 5) un tube roulé en nélice sur un cylindre; et soit mené des plans horisontaux;?^,/?'^^, etc., tangens aux révolutions de l'hélice ; ces plans intercepteront sous eux des arcs ' pNq , p'N'q'f etc. 9 dans lesquels il se tiendrait de l'eau , si Tou suppose qn'nne vis étant en repos , on en verse par son extrémité supérieure. C'est ce que Pitot nomme arc hydrophore* 11 suppose que quand une vis est en mouvement , les arcs hjdrophores montent remplis d'eau . et calcule en conséquence la quantité qu'elle peut fournir , et l'effort qu'il faut employer pour la faire mouvoir.

Daniel BernouUy a traité dans son Hydrodynamique y qui a paru en 17381 la théono de la vis d'Archimède , à-peu-près de la mémo manière que Pitot y quoiqu'il y ait toute apparence qu'il n'avait pas connaissance de son travail.

Euler a repris la théorie de la vis d'Archimède dans un Mémoire imprimé dans le tome 5 des Mémoires de Pétersbonrg.

Je ne connais point sur ce sujet de recherches analytiques postérieures à celles d'Euler qui méritent quelque attention.

Tous les ingénieurs connaissent un tableau d'expériences faites 6ur la vis d'Archimède , sous la direction de M. Garipuy y directeur du canal du Languedoc. On se servait de vis dont l'angle d'in*

cHnaîson de l'hélice sur Taxe était de 60* anciens^ On a varié les hauteurs y les diamètres et les inclinaisons. li est résnlté que la vis ne montait point d^ean quand son axe faisait avec l'horison un angle d'environ 60% et qu'elle donnait le plus grand produit quand cet angle était ue 3o* } en sorte qu'il paraît que i*ang1e a'inclinaison qui comporte a vitesses égales le maximum d*eau élevée y est la moilié de l'angle que l'hélice fait avec son axe, et est indépendant de la vitesse de rotation. Il est très-^remarquabie que ce résultat^ si simple et si utile, n'ait c'té trouvé par aucun aes savans qui se sont occupés de cette machine.

Le rapprochement des expériences faites dans les épuisemens par la vis d Archituède, a appris que moyennement un homme pouvait y en vingt-quatre heures | monter 90 mètres cubes d'eau à un mètre de hauteur, par le moyen de cette machine. (Yojez lo Traité de la construction des ponts , par M. Gauthey, tom. II.)

Ces deux résultats suffisent sans doute à tous les besoins de la pratique , et on n'a ici pour objet que de faire quelques observations sur la nature du mouvement de la vis.

li y a dans toute machine deux élémons qui constituent son produit; l'un est la quantité d'eau quelle monte, et l'autre la vitesse d'ascension. Quelquefois ces deux élémens sont très-distincts, comme dans une pompe où on considère facilement à part le volume d'eau monté à chaque levée du piston , et le nombre de levées que le piston fait dans un tems donné. Dans la vis d'Archîmède , ces deux élémens sont confondus , et il paraît que c'est à cela que tient principalement l'espèce d'obscurité qu'offre le jeu de cette machine.

Du volume d'eau monté par une vis.

Soit faite la projection de la vis sur un plan vertical passant par son axe, et supposons que le point M (fîg. 3. pi. 5) projette sur l'axe soit Torifice d'entrée du tube ; soit MT la tangente à l'hélice au point M'y soit menée l'horisontale MN ^ et nommons <t l'angle nMN que fait l'axe de la vis avec l'horison, et ê l'angle constant nAf 7* que cet axe fait avec l'hélice-

L'angle que fait la tangente MT avec l'horison est | — - «. On voit d'abord que l'eau n'entrera point dans le tube si tf = «• Si 4 est > «, l'eau tendra à y entrer avec la force accélératrice ^ sin ( 4 — a), g étant la gravité. Or , pour suivre la compa* raison de la vis avec une pompe , le volume d'eau monté à chaque levée du piston, est propoitionnel à la force accélératrice à laquelle l'eau cède en franchissant la sodpape. De même, dans la Yis , le volume d'eau monté sera proportionnel à la quantité g^ sin ( « — * ).

(47) Dt la vitesse avec laquelle Peau monte dans la vis.

Soit ¥ la vitesse angulaire împrimëe à la vis , et r le rayon du cylindre. La vitesse de rotation vr se communiquera à l'eau qui y sera contenue : il en résultera que cette eau prendra, dans le sens des hélices | la vitesse frsin^^ laguelle équivaut, dans le sens de l'axe de la vis , a la vitesse \nr sin tf cos 1, et dans le sens vertical , à la vitesse vr sin i ces ê sin a. Cette dernière quantité exprimera donc la hauteur verticale dont l'eau contenue dans la via montera dans une seconde.

D€ V inclinaison sous laquelle la vis donne le plus grand

produit*

Le produit d'nne machine est proportionnel au volume d'eau élevée multiplié par sa vitesse verticale. Donc le produit de la vis est proportionnel à la quantité

^ sin ( ^ — « ) l'r sin tf cos é sin « ,

ou I en supprimant les facteurs constans , à la quantité

sin ( — « ) sin « ,

En déterminant a. de manière que cette quantité soit nn maxi'» mum , on trouve « s=^ ^ 4 , conformément a l'expérience.

De la force nécessaire pour monter par une vis une quantité d*eau donnée à une hauteur donnée»

Il ne parait point facile de déterminer par le calcul le volume d'eau qu'une vis monte dans une seconde , ou do moins on arri* ▼erait pour cela à des fommles très-compliquées^ et on ne pourrait guère tenir exactement compte de circonstances importantes, telles

3ue la contraction a Tenlrée de l'eau dans la vis , et le frottement e l'eau dans les tubes. Mais comme on vient de trouver une quantité à laquelle ce volume est proportionnel, il saffit de faire nsage des expériences connues sur les vis de divers diamètres pour le calculer dans tous les cas par une simple proportion. La quantité d'eau qu'une vis de position et de construction données montera par seconde étant fixée , il s'agit de savoir quelle force il faudra appliquer à la manivelle.

On remarquera à ce sujet que^ si on fait abstraction des frottemens et contractions , il ne pent y avoir dans la vis aucune perle de force vive* Donc la force vive imprimée à la manivelle doit

vis.

être ëgale a la force vire représentée par l'ascension de l\ plus celle que Peau peut conserver à l'instant où elle quitte la Or 9 il est aisé de voir que cette dernière force vive est nulle; car le mouvement giratoire de la vis ne peut imprimer à Teau ^ clans le sens des hélices, la vitesse vr sin ê , que parce que les hélices se meuvent en sens contraire avec cette même vitesse : ea sorte que Peau se trouve emportée par la machine, en sens contraire de son mouvement , avec une vitesse égale à la vitesse relative avec laquelle elle se meut dans la machine. Donc elle n'a aucune vitesse à l'instant où elle la quitte , du moins si Ton néglige la vitesse provenant de la force centrifuge y comme cela est d'usage dans des cas semblables.

Il suit delà qu'abstraction faite des frottemens » la force vive dépensée à la manivelle doit être entièrement utilisée pour l'élévation de l'eau. Ces frottemens sont d'ailleurs très-peu considérables ^ en sorte que l'effet utile doit différer peu de la force vive dépensée.

Les causes de déchet dans la pratique , sont les pertes d'eau qui ont assez souvent lieu par les jointures de Fenveloppe eiLtérieure, et sur-tout la nécessité où l'on est d'élever l'eau un peu plus haut

aue la buse de décharge, parce qu'elle doit retomber de la vis ans cette buse. On peut avancer que moyennement l'eau est élevée à o^,5o au moins plus haut qu'il ne serait nécessaire; en sorte que les vis ne montant guère l'eau dans les épuisemens à plus de a à 3 mètres, cette circonstance fait perdre une partie très-sensible de la force dépensée.

On peut admettre qu'un homme employé à faire mouvoir une manivelle , y dépense dans sa journée une force vive équivalente à i55 mètres cubes d'eau élevés à un mètre. Mais les yïs sont mues ou par des manivelles inclinées qui fatiguent beaucoup plus les hommes y ou p<ir des balanciers auxquels il y a lieu de croire qu'ils communiquent moins de force vive } en sorte que je ne croîs pas qu'on puisse estimer à plus de 120 mètres cubes d'eau élevés a un mètre la force vive réellement transmise par les manœuvres aux vis. Si on suppose la hauteur moyenne de l'élévation de l'eau de a mètres , l'eau aura réellement été élevée à a'^.So ; en sorte qu'il y aura un cinquième à retrancher sur la force vive dépensée : cela réduira les 120 mètres cubes d'eau élevés à un mètre de force vive dépensée, à 96 mètres cubes d'eau élevés à la même hauteur. £n admettant qu'il y ait 6 mètres cubes d'eau élevés à un mètre , pour représenter les frottemens et les pertes d'eau , l'effet utile serait réduit à 90 mètres cubes, conformément à l'eipcriencc.

Sur les cas où réquation déduite du principe des vitesses virtuelles a lieu entre les espaces finis, décrits par les corps, lors des changemens de position d'un système ; par M. Navier , ingénieur des ponts et chaussées.

M. Lagrange a observé dans la Mécanique analytique que ^ pour que l'énoncé du principe des vitesses virtuelles exprimât dans tons les cas les véritables lois de l'équilibre , il fallait que Ton prit les espaces infiniment petits décrits par chaque point dans le premier instant du mouvement dans le sens de la force qui lui est appliquée. M. Fossombroni, dans un Mémoire imprimé a Florence en 1796 y a remarqué qu'il j avait beaucoup de cas où le principe avait lieu en prenant les espaces finis décrits par les corps dans les changemens de situation du système; mais il n'a point donné de règle générale au moyen de laquelle ou pût distinguer. ces cas.

Soit l'équation dn principe des vitesses virtuelles

P'dp' + Plldp^ + Pmàp^" + etc. = o ,

dans laquelle dp', dp^^ dp^'^ etc. sont les espaces infiniment petits parcourus por le point d'application de chaque force dans le sens de la direction de cette force , quand le système change in^nimenC peu de situation : et P' y P", P'", etc. des forces qui se font équilibre sur le système j en satisfaisant à l'équation précédente. On pent l'écrire de cette manières

do' dp'' dp"'

dp' dpn dp"' etalors— r— y ^4-"i -^ — 9^^- ^^^ cl^^ quantités finies^ qui di dt ai

représentent les vitesses que prennent dans le premier instant les

points d'application de chaque force dans le sens de sa direction ,

Mrsque l'on imprime un mouvement au système.

Or il est aisé de voir que si , dans des cas particuliers ; les

dp' dptt . ...

vitesses —^ — ^ 9 etc. restaient constantes lorsque le système dt dt

passe d'une position à une autre } les espaces finis que décrirait

chaque point dans les mouremens da système ; dans le sens des^

idirections deé forces ^ seveieut proportionnels à ces mêmes r!« tesses. Donc on pourrait snbstitaer ces espaces finis aux vîtessct dans Tëquation ci-dessus ^ sans en changer la nature , et sans

3u*eUe cessât d'exprimer les conditions de l'équilibre. U ne reste onc plus qu'à chercher quelle doit être la disposition d'one machine .pour que y dans toutes les situations qu'elle peut prendre, les vitesses virtuelles des points d'appKcation des forces conservent une valeur constante*

Cela posé » soit une machide quelconque en mouvement , à laquelle des forces sont appliquées. Tous les points d'application décrivent , dans un même instant infiniment petit , des petits espaces que je nomme de\ dt^^ def"f etc. Soit S^, 1^, k^'j etc. les angles que la direction de chaque force fait avec l'espace parcoiirii par son point d'application , on aura

dp' zpudef cos #%

dpJ/ = delcos a^,

dp'f'=de»fcosê"', etc.

Or, pour que <^\ dpf^^ dp"', etc. aient des valeurs constantes dans toutes les situations du système^ il faut nécessairement, en général, que les valeurs de dery dc^^ de^, etc. soient constantes, ainsi que celles des angles ê', a^, è"', etc.

Pour distinfaer. maintenant les cas où de', da^, <&"', etc. ont des valeurs constantes » on remarquera que Lzzlo ^ M = o, etc. étant les équations de condition du svstéme^ ei^mées en fonction des coordonnées or', J^, «' ; ** , r^> ^^ «*«• des corps j on obtient, en les différentiant, les équations dL =s o , dJkt = o, etc. ; d'où l'on déduit les relations que comporte la nature du système entre les espaces infiniment petits dx'y dy^ dz'i etc. que chaque corps pent décrire en même tems dans le sens de chacun» de ses coordonnées. On a ensuite

db' =\/dx'* + dy^ + ds'* , de^ = \^dx^^ + dy^* + ^"», A» = i/dbt"'«+ 4fy*i'^ + aie"'» , etc.

pour les espaces effectifs que ces corps décrivent. Or, les valeur» de dç', dis//, d^"^ etc. ne peuvent être constantes qu'autant que dx^j djr'y dz'f etc. le seront aussi. Mais il faut pour cela que les 'équations <2L as 0| dM t=s 0| etc., d'où les valeurs des différent

lîôtleê sont dédoitet^ soient indépendantes des cootdotin^es , et pât < conséquent que les équations primitives jL = o , Ms=:o^ soient des fonctions linéaires de ces coordonnées , afin que la différen-» tiaiion les ait fait disparaître «, d*oii Pon conclut que les espaces ef-* feclifs infiniment petits parcourus en même tenis par les différent points, ne peuvent en général avoif des Valeurs constantes dané toutes les situations d'une machine ^ qu'autant que les équations de condition seront des fonctions linéaires de4 coordonnées. Si cette condition est remplie y et si ensuite la machine est tellement disposée que les directions de9 forces fassent toujours des anglet égaax avec les espaces que décrivent les points d'application , leA vitesses virtuelles seront constantes , et les espaces finis décrits pai^ les corps dans le sens de chaque fbfce ^ «seront proportionnels auié Vitesses virtuelles, et pourront lea remplacer dans l'équatioià d'équilibre. •

Il est aisé de voi^ que lorsque la disposition d'une machine salîsferft à ces conditions , les valeurs que ces forces devront avoir pour se faire équilibre , seront les mêmes dans toutes les situations du sjstéme. D'ailleurs, le réciproque n'a pas toujours lieu, comme on peut le voir dans l'exemple suivant* Soit un levier aux extrémités duquel sont suspendus deux poids P' etP^j (fig. a, pi. S). Ces poids se font équilibre dans toutes les situations du levier^ mais les angles formés par leurs directions avec les arcs que décrivent les points m^, m^, varient , et on voit aussi que les poids ne sont point réciproquement proportionnels aiix espèces finis décrits par les points m', m^ estimés dans les sens des cordons m'P\ m"/'" j ils le sont seuleihcnt aux espaées finis réellement décrits par ces points.

Mais si la condition que les mêmes valeurs des forces se font équilibre dans toutes les situations d'une machine, est réunie à celle que les directions des^ forces fassent des angles constans avec les espaces que déci^ivent les corps quand la machine marche, le cas crexception remarqué par M. Fossombroni a également lieu , et il est aisé de s'assurer qiie l'existence de deux Quelconques des trois conditions que l'on vient d'indiquer^ eutralne celle de là froisicme.

On peut vérifier ce qui précède sur les machines simples. En considérant d'abord les machinés composées de poids suspendus à des cordes, on verra facilement que dans toutes les moufHes on snrstêmes de poulies à cordons parallèles , oii les équations de condition sont des fonctièns linéaires des coordonnées , puisqu'elles expriment senlement que la montée d'an poids est dans un rapport donné avec la descente des autres | et oà les directions des forces

U coofondenl arec les espaces réellement décrits par les corps ^ ces forces sont aussi toujours en raison inverse des espaces finis parcourus dans le même tems dans le sens de lears directions , et conservent des valeurs constantes dans toutes les situations du. ajstéme. Mais lorsque, dans le système de poulies, il jr a des cordons qui ne sont point parallèles , alors les équations de condition ne sont plus des fonctions linéaires des coordonnées; et on peut voir sur le système de trois poids P\ P'f et /^"'( fiig. b , pL 3;, que quoique chaque force reste toujours dirigée dans le sens de l'espace parcouru par chaque point d'application , les poids ne sont point entre eux dans le cas de l'équilibre en raison inverse des espaces finis qu'ils parcourent en même tems , et les mêmes poids ne se font point équilibre dans toutes les situations du système.

Dans le levier considéré d'une manière générale, les deux pre* mières conditions énoncées ci-dessus ne sont point remplies : aussi ne peut-on point , dans cette machine , mettre les espaces finis à la place des espaces infiniment petits* ,

Elles le sont dans le système de deux poids posés sur deux plans inclinés adossés et attachés à un même fil : aussi les espaces finis •ont-ils proportionnels aux espaces infiniment petits.

Ces conditions sont également remplies dans ta vis , 011 la même proportionnalité a lieu.

C5n peut donc établir la règle suivante :

Lorsque Ton veut savoir si, dans l'équation générale d'équilibre

P'dp' 4- Pffdp" + Pf'fdp'" + etc. = o ,

on peut mettre à la place de dp*^ dp*', dp"^, etc. les espaces finis décrits dans un même tems par les corps d'un système , sans que cette équation cesse d'exprimer les véritables lois de Téquilibre, il faut examiner si la disposition du système et des forces qui agissent sur lui est telle ,

1**. Que les conditions de la liaison soient des fonctions H* néaires des coordonnées » ou^ ce qui revient au même, que les rapports des espaces infiniment petits, décrits en même tems par chaque corps j soient constans ;

Q?, Que les directions des forces fassent constamment les mêmes angles avec les lignes que décrivent leurs points d'application ^

3"*. Que les valeurs des forces qui se feraient équilibre sur la machine I soient les mêmes dans tontes les situations de celte machine.

. Si| sur ces trois conditions, il y en a deux quelconques de remplies , la substitution des espaces finis aux vitesses virtuelles sera permise*

Application du principe des vitesses virtuelles ^ aux machines élémentaires qui ont pour objet de trans* mettre le moui^ement circulaire d*un cercle à un autre cercle y situé ou non dans le même plan, que le premier ; par M. Hachette.

Considérons d^abord deux cercles màmi» dont les plans sont parallèles , et qui doivent tourner autour de leurs lignes des pôles, commo axes. Ayant mené un plan perpendiculaire à ces lignes y qui les coupe aux points [At\d){ fig. j ^ pi. 4) } soit menée la droite Ad. Le» vitesses de rotation d'un point pris sur chacune des circonférences àes cercles donnés , étant connues , on divisera la droite Ad ta deux parties ABy Bd^ telles que le rapport de ces deux parties soit égal à celui des vitesses des cercles données. Sur le4 droites- AB j Bdj comme rayons y on décrira deux cercles c et c^; et on. supposera ces cercles invariablement fixés aux xercl es donnés. Nous n'avons plus maintenant à considérer que les deux cercles c et c' situés dans le même plan , et qui doivent tourner autour de leurs lignes de pôles A et d. Pour transmettre le mouvement circulaire du premier cercle au second , supposons qu'on ait fixé sur le premier cercle c une courbe aS qui tourne en même tems que ce cercle, et que cette courbe ^ considérée comme une rainure infiniment étroite , embrasse un point ou une cheville S située ea un point de la circonférence du second cercle d du rayon Bd et fixe sur ce cercle.

Quel que soit le sens dacs lequel on fera tourner le cercle du rayon AD , la courbe aS poussera la cheville S, et le cercle du rajon Bd tournera en même tems. Ce mode de transmission du mouvement circulaire étant admis, on demande quel est le rapport des deux forces ( P ) et ( Q ) appliquées tangentîellement aux cercles des ravons ABj Bd, qui se font équilibre. Soient dp et dq \ts arcs innniment petits parcourus par les forces P t\(^ dans le sens de leurs directions ^ il est évident que, d'après 1^ principe des vitesses virtuelles y on doit avoir

Pdp + Qdq = o j

et sk cause que les petits arcs dp , dq sont égaux aux arcs aa\ S^ décrits dans le même tems par les points a et 5 des circonférences qui ont pour rayons AB et Bd , on aura P.oa'— Q.5/ = oj d'où il suit que le rapport de deux forces P et Q est égal à celui

des arcs infiniment petits aa* et St. Donc ^ si Ton demande que cth deux forces soient égales , il faut qu'on ait

aa' = St.

Soit Bs l'épicvcloïde décrit ^ar le point B^ pendant que la cir* conférence du rayon Bd roule sur le cercle du rayon AB ^ et aupp^sous que cette courbe tourne en même tems que le cercle du rayon ÂB : tandis que le point B de cette courbe parcourra l'arc Ba , la cheville «> , d'abord en B , décrira l'arc BS. Or , d'après les propriétés de l^pkycloïde , les arcs Ba et BS décrits dans le même tems « sont égaux. Doue les arcs aa' et Si décrits dans un même tems infiniment petit , sont aussi égaux \ d'oii il suit qoe le forces P et Q qui sont appliquées tangentiellemenl aux cercles des rayons AB^ Bd^ et qui se font équilibre, sont égales entre elles. En prenant pour la coulisse ai toute autre courbe que l'épicycloïde ^ cette égalité n'aura pas lieu; et néanmoins 9 quelle que soit cette courbe y les deux cercles des rayons \^Jî j Bd tourneront eu même tems , par l'action d'une force ap* pliquée tangentiellement à l'un d'eux.

Substituons au mécanisme de la tig. i celui de la fig. a y le cercle du rayon AB porte une courbe ou coulisse aS : le cercle du rayon Bd est coupé suivant un rayon dSS' qu'on peut con* sidérer comme une autre coulisse ou raiqure } enfin, une cheville S est un point mobile qui glisse à^la-fois sur les deux rainures aS^ 4SS\ Quel que soit le sens dans lequel on fera tourner le premier cercle du rayon AB , la courbe aS fixée à ce cercle poussera la cheville, et la cheville poussera le rayon } d'où il suit que le second cercle tournera ; et nommant P et Q les forces tangentes aux deux cercles , qui se font équilibre # on aura, comme précédemment ,

• ' îPdp + Qdq = o.

Supposons maintenant que Ton demande la nature de la courbe ou coulisse aS^ pour que les deux forces P et Q soient égales. On satisfera à cette condition en faisant dp ^=: dq ^ ou ( fig, a ) aa' = SW j aa' et S'i' étant les arcs infiniment petits décrits dans le même teais par les points a et S^} l'un de ces points étant la naissance de la courbe aS sur la circonférence du rayon AB) l'autre, l'extrémité S' de la rainure elS'* Ayant décrit sur Bd, comme diamètre ^ vn cercle y et faisant rouler ce cercle sur le premier cercle donné du rayon AB , le point B engendre l'épicycloïde BS. Cette courbe étant fixée sur le cercle du 'rayon AB , elle prendra la position ^5, et le rayon dS' , entraîné par cette courbe , arrivera dans le même tçmSy en tlSS', Or, suivant les propriétés de l'épicycloïde , les %j:cs J^Qf BS clécrits dans le même tems par les poiilts a et B^

sont de même longueur ^ et tous deux égaux à Tare BS du dfa«* juêtre BcL Donc les arcs infiniment petits aa'^ S't' décrits dans le ménit: teiiis, sont aussi de même longueur^ donc les forces P et Q qui se font équilibre ^ sont égales entre elles.

Nous avons considéré deux cercles dont les lignes des pôles sont parallèles ; supposons maintenant que ces lignes servant d'axes de rotation se coupent^ et comprennent entre elles un angle donné*

Soient ( fig. 3, pL 5) «'L, W les lignes des pilles de deux cercles des rayons LM , Im \ les longueurs des arcs décrits dans le même lems par les points m et M de ces cercles, sont dans un rapport donné, par exemple de i à n , c'est-à-dire, que le point m décrit une circonférence entière du rayon /m, tandis que le point M 4

parcourt la jMNHWiMipartiede la circonférence du rayon Lm, Ayant f^ partagé Pangle Z^m des lignes des files en deux autre» angles ^ par ""^ une droite tt'B^ tell<^que les perpendiculaires ^^ ^ £4» abaissées d'un point B de cette droite sur les lignes V//, ^'l soient dans le rapport de /i à i , on regardera les deux cercles des rayons AB , B^ comme fixés , Pun au cercle du rayon LM, Tautre au cercle di| rayon Im , et on ne considérera que la transmission du niouve-^ ment circulaire du cercle ^|^, dont le rayon est jiB ^ au cercle do ra^'on Bm , en observant que ces deux cercles sont tangens Tua à l'autre y et que leurs plans font entre eux un angle ABm^ sup* plétnent de Tangle Am'm formé par les lignes des pôles qui servent d'axes de rotation.

La fîg. ^y^^\.S représente en perspective Tes deux cercles des rayons AB , Bm qui se touchent an point B , et les lignes des pôles autour desquelles ils doivent tourner , sont les droites A»' , ##'. Une courbe €tSa\ fixée sur le premier cercle , pousse le second cercle par un point S de sa circonférence. Nommant Pet Q les forces appliquées tangentiellement aux deux cer<^^ dp , dq^ le^etits arcs M décrits dans le même lems par les poimBde tan^enc^ la con- ^ dition d'équilibre sera Pdp — Qdq s= o. Si Ton demande que les forces P et Q soient égales, il faut qu'on ait dans foutes les positions àes deux cercles dp := da. On satisfait à cette dernière con* dition y en prenant pour la couriae aSa' ^ Tépicycloïde sphérique qui est engendrée par un point du cercle du rayon mB , et qui tf pour base \^) le cercle dn rayon AB* Si ce dernier cercle a tourné autour de Am^ d'un arc quelconque Ba , emportant avec lui Tépicycloïde dont l'origine est un point Bj Kc cercle du rayon Bm décrira dans le même tems autour de mm\ un arc BS égal en longueur k l'arc Ba { Traité des machines, cliap. 2^ art. 17 ]. D'où il suit qu'ont aura constamment , arc Ba = arc BS, et dp = dp*

{*) On «ppdle base d'un épicydoïde , le «ercU fixe mu lequel rotde le cercle mobile.

Le cercle du rayon AB restant le même, substituons au cercfe du rayon Be» ( fig. 4 ); "^ autre cercle du rayon Bd ( fig. 5 ) qui touclic le premier au point B y et supposons que les nouveaux axes de rotation soient les lignes des pôles AH^ dH ^ qui se coupent au point H y le mouvement circulaire du premier cercle pourra se transmettre au second cercle par le mécanisme suivant. Ayant fait une rainure suivant un rayon dS' du second cercle, on fixe sur le premier cercle une autre rainure dont la ligne milieu est la courbe aSa^ ; une droite inflexible , mobile aa tour du point //, passe par le point d'intersection des lignes milieux des deux rainures , et se prolonge au-delà de ce dernier point. Lorsque le cercle du rayon AB tourne, il emporte la courbe ^Sa'y entraine la droite inflexible ,*'1H cette droite fait tourner le cercle du rayon 9^* Dans ce mouvement ^ le point commun aux deux rainures et à la verge inflexible décrit le rayon S'Sd, en allant du point 5', extrémité de ce rayon , au centre d du cercle : la droite HS' décrit un cône oblique dont le sommet est le point H y et qui a pour base le cercle du diamètre Bd.

Quelle que soit la courbe aSa'^ la condition d'équilibre entre les forces P et Q tangentes aux cercles des rayons ABj Édy sera esprimée par l'équation P(fp — Qdq =: Oy dp et dg étant les petits arcs décrits dans le même tems par les points d'application.

Pour que ces forces soient égales , il faut qu'on ait àp z=i dq ^ quels que soient les arcs p et g décrits dans le même tcms. On satisfait à cette condition en prenant pour la courbe (*} aSs' l'ëpi* cycloïde sphérique engendrée par un point d'un cercle qui est situé osLUs le plan du cercle donné , dont le centre est en d^ et dont le rayon êtd ou ttB est moitié du rayon Bd ; la base de cette épi* cycloïde Mt le cercle durayon AB. Si ce dernier cercle tourne d'un arc ^fft , la droiiemfS décrit dans le mùme tems la portion de cône oblique qui corr^pnd à Tarn BS. Or, cet arc J?5 (Traité des machines, chap. 2, art. 8) est de même lonj;ueurque l'arc BS* d'un rayon double } donc les deux arcs Ba et BS^ oa p etq^ décrits dans le même tems par deux points des circonférences des rayons AB , Bdy sont constamment de même longueur.

Quel que soit le mécanisme par lequel on fasse tourner deux cercles, le principe des vitesses virtuelles donne 8ur-le*champ Téquation de condition qui exprime que les forces appliquées tangcntiellement aux cercles sont en équilibre. Il est évident que dans ce cas , les petits espaces parcourus par les points d'applica-*

/ (*) La nature de cette courbe fixée sur le premicv cerdc j dépend de U forni« d» la rainure tracée nv le second oerde.

tion des forces , sont dans la direction de ces forces. Si Ton cherchait cotic condition d'équilibre par le principe de la composiliou des forces ^ le problème serait beaucoup plus compliqué , comme on peut le voir par l'article suivant de M. Ampère , qui a considéré le cas le plus simple, celui de deux cercles situés dans le même plan et tournant autour d'axes parallèles.

« La courbe OMT ( pi. 4 y ^g- ^ ) tournant librement autour du point C ^ est soumise, i^. à l'action de la force Q appliquée à un point fixe M de cette courbe , perpendiculairement à CM. 2°. à la pression d'un point pouvant seulement glisser sur cette courbe, lié au centre fixe C^ actuellement enA/y et sollicité par la force Py perpendiculaire à CM.

On demande la relation entre P et Q , dans le cas de l'équilibre* MN étant la normale à la courbe OMT ^ et P représentée par MK étant décomposée en MNj et A/ 1/ détruite par le point C, P

MN= presse la courbe suivant la normale ; celte .force étant

cos ^ '

décomposée suivant MS, et MR qui est détruite par le point O^ on a