GÉOMÉTRIE
^ Théorème. Si Ton construit la déydoppante d'un arc de cercle , puis la déTeloppaute de cette déTeloppante , et ain^i de auite ; la ' «érie infinie, compoeée de Tare de cercle etdeaes développantes successives, peut être sommée par un arc fini de spirale logarith* miq:ue.
Démonstration, Soient têtu les coordonnée^ polaires d'un point de la «ypirale logarithmique dont Téquation est t = /.u^ ou u = e*, i étant un arc du rayon i , u le rayon vecteur corres-
Fondant à t, et e la base des logarithmes Népériens, On a pour équation différentielle de la spirale :
udt
«t pour réiément de cette courbe ,
V/û*SF+"3i?", ou dttV/â,
dont Tintégrale est ut/a +canst. Quand Varc de spirale est nul, tt= 1 , et le rayon de courbure = V^a. ( ^oyez le Traité du grand Calcul différentiel de M. Lacroix, page 480 , etrartîcle de M. Poinsot , page i3k de ce volume de la Correspondance )^ D'où il suit que la cpnstante égale «— V^a , et que l'arc fini de spirale logarithmique correspondant i Tare de cercle /, est
(a— Oï/â, ou («*— OV/â.
Mais on sait (Voyez Farticle de M. Poinsot, page ai45 du pre-niîer volume de là Correspondance ) au*en nommant t un arc de cercle du rayon 1 ; t^, t yf ,.., les développantes successives, on a
« + t' 4- t* + <• + etc. = e»— 1 ;
d'où il suit que cette somme est égale au quotient qu'on ob^ lient en divisant par t/a , ou par le rayon de courbure de la spirale qui correspond au rayon vecteur i , l'arc de spirale logarithmique compris entre les rayons vecteurs qui passent 'par les extrémités de Varc de cercle t, { Cet article est extrait d^un Mémoire de M. Duboii-'Aimé , ancien élève , membre de la Corn'mission d Egypte. )
Théorème, Si, par un point donné, on mène trois plans perpendiculaires entr eux, qui coupent la surface d'une sphère , fa somme des aires des trois sections circulaires sera constante, qaelle que soit la position des plans coupant.
( 394 ) Démonstration. Soient a/, y\ z' les coordonnées da point donné rapportées à trois plans rectangulaires parallèles aux trois jplans coupans , et x* -+- y» + a* = jR* l'équation de la sphère; les équations des plans coupans seront
Les rayons r, K> r" des sections circulaires ont pour expressions :
/ = \/R*—cc!\ r" = \//l*— y% r^ = /il-— »'%
la somme des aires est^ en' appelant sr le rapport de la circonférence au diamètre,
,(r*4- /» + r^') , ou srpil' — (x'' + y» + z'»)] , quantité constante qui exprime Taire d*un cercle dont le rayon est
V/3ÎR' — {af^ 4- y ' + *'•)• ( Ce théorème est extrait de la Géométrie de position ^ pag. 167.)
Propriétés des surfaces du second degré ; par M. Fregier , ancien élève.
M. Fregier résout d'abord ce problème :
tt Avec une équerre pour tout instrument > mener une tan* 9) gente à une section conique , par un point pris sur la courbe, n
Il fait passer par le point de contact deux droites quelconques perpendiculaires entr'elles , et il suppose que le point de contact étant fixe , les deux droites tournent autour de ce point; chaque couple de droites rencontre la courbe en deux pomts , par les-
3uels on mène une corde. On prouve que, toutes les cordes éterminées de la même mamère, viennent se couper en un seul point qui est sur. la normale. La normale étant connue, la tangente l'est aussi.
Cette proposition a son analogue pour les surfaces du second degré, ce qui donne lieu au théorème suivant:
Trois droites rectangulaires se meuvent dans une surface du second degré, en se coupant toujours sur un point fixe de cette surface ', les jplans menés par les intersections déterminées sur la même surface par chaque système de droites rectan^ gulaires , viennent concourir en un point ; le sommet du cône circonscrit suivant la courbe déterminée par chacun de ces plans, engendre une surface plane.
M. de Stainvîlle , Répétiteur-Adjoint à TEcole Polytechm'que , et M. Lambert, Professeur de Mathématiques au Lycée de Bourges, ont envoyé plusieurs articles intéressans , qui ne pourront paraitfe. que dans les prochains cahiers de la Correspondance,
(395) S n. SCIENCES PHYSIQUES.
Ritpport fait à V Institut y par M. Poisson ^ surun Mê-*^ moire de M. Hachette, relatif à V écoulement des, fluides par des orifices en minces parois , et par des. éijutages appliqués à ces orifices.
Le travail de M. Hachette peut être divisé en trois parties :. l'une a pour objet de mesurer la contraction de ]a veine fluide, dans le cas d'une mince paroi; l'autre traite de la cause des sin-* guliers phénomènes que présentent les ajutages cylindriques ou coniques ; enfin dans la troisième , l'auteur décrit la figure de la veine fluide , et les variations qu'elle éprouve pour différentes formes de Torifice. Nous «ne nous arrêterons pas à faire sentir toute Tim-^ portance de ces diverses Questions , soit dans la pratique , soit par ] rapport à la théorie de récoulement des fluides ; et sans autre . préambule > nous allons analyser successivement les trois parties , du Mémoire que la Classe a renvoyé à notre examen.
