CARTES GÉOGRAPHIQUES

♦ 83. Globes terrestres. — L*étude que nous avons faite précédemment de la forme de la terre nous a permis de conclure que, si Ton voulait représenter notre sphéroïde par un ellipsoïde de révolution, celui-ci produirait sur Tœil le même effet qu'une sphère. Aussi est-ce cette dernière forme qu'on donne habituellement aux globes terrestres. Ceux-ci sont montés de la même manière que les globes célestes, afin que Tobservateur les fasse tourner à volonté autour de la ligne des pôles, de manière à pouvoir en examiner successivement les différentes parties. La construction est aussi la même que pour les globes célestes : on commence par tracer les méridiens et les parallèles terrestres qui correspondent aux cercles de déclinaison et aux parallèles célestes. Une fois ce canevas tracé, on place facilement lea différents points à l'aide des longitudes et des latitudes.

* 84. Cartes gëograpliiques. — Les globes terrestres ont l'avantage de montrer la terre telle qu'elle est, mais ils ne sont pas facilement transportables, et, comme on ne peut leur donner que de faibles dimensions, ils ne conviennent que lorsqu'on veut tracer les grandes divisions du globe. Il a donc fallu chercher à représenter sur des surfaces planes des portions plus ou moins étendues de la surface de la terre; tel est le but des cartes géographiques. Une partie quelconque de la sphère ne pouvant être développée sur un plan sans déchirures ni duplicatures, il en résulte qu'on ne peut obtenir une représentation exacte. On a, pour diminuer autant que possible les déformations, imaginé plusieurs systèmes; les uns et les autres ont leurs inconvénients. Nous exposerons d'abord les systèmes orthographique et stéréographique en les appliquant à la construction des mappemondes. On appelle ainsi une carte destinée à représenter un hémisphère entier ; ordinairement, on place l'un Il côté de Tautre les dessins ctxi\ reorésentent les deux hémi-

sphères. Nous uirons ensuite quelques mots du système adopté pour la carte de France et du développement des cartes ma* rines.

* 85. Projections orthographiques. — On appelle projection orthographique d'un point de la surface de la terre le pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur le plan d*un grand cercle auquel on donne le nom de plan de projection. Le plus souvent, on choisit pour plan de projection celui de Téquateur ou celui d'un méridien : nous examinerons successivement ces deux cas.

1« Projection orthographique eur Véquatevr. Soit PP' la ligne des pôles, EME' Téquateur, et PEF le méridien pris pour origine. Les méridiens passant par une droite perpendiculaire au plan de projection sont tous perpendiculaires à ce plan ; par

Fig. 47.

Fig. 48.

suite, ils seront représentés par des droites. Quant aux parai* lèles, ils se projetteront en vraie grandeur, puisque leurs plans sont parallèles au plan de projection (fig. kl).

Cela posé, la construction du canevas, c'est-à-dire des projections des parallèles et des méridiens, n'ofTre plus aucune difficulté. Traçons en effet une circonférence de cercle avec un rayon arbitraire ; ce sera Téquateur, et proposons-nous de projeter orthographiquement l'hémisphère boréal sur le plan de l'équateur. Le pôle boréal se projettera en 0,, au centre du cercle, et nous pourrons tracer une droite quelconque 0,E, pour représenter le méridien pris pour origine. Cette droite ne représente que le demi-méridien, l'autre moitié appartenant à l'hémisphère inférieur. Le demi-méridien perpendiculaire au

78 COSMOGRAPHIE ÊLÊMETTrAIRB.

méridien PEP' aura pour projection une droite perpendiculaire à 0|E| ; il sera ensuite facile, en partageant chaque demi-cii^ conférence en un certain nombre de parties égales, à partir de E,E'„ d'obtenir autant de méridiens qu*on le voudra (ûg. 48). Afin de ne pas charger la figure, nous les avons tracés seulement de 30 en 30 degrés.

Procédons maintenant au tracé des parallèles. La méthode étant générale, nous nous contenterons de projeter le parallèle de 30^. Ainsi que nous Pavons fait remarquer, le rayon CD se projette en vraie grandeur suivant OD, ; sa projection est le côté de Tangle droit du triangle rectangle ayant pour hypoténuse le rayon de la terre et dont l>ngle D,OD est égal à la latitude du parallèle : ce triangle est donc facile à construire. On peut encore expliquer la détermination du point D, sur la carte, en ayant recours à un mouvement de rotation facile à concevoir.

Supposons en effet que le plan du demi-méridien PE tourne autour de £0 comme charnière, d'arrière en avant, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan de Téquateur. Le pied D, de la perpendiculaire qui se trouve sur la charnière demeurera invariable, et le point D viendra en M sur la circonférence de Téquateur à 30^ du point E, de sorte qu'on n'a plus qu'à abaisser la perpendiculaire MD, sur le diamètre EE' pour avoir le point cherché. Le point D, s'obtiendra donc sur la carte avec la plus grande facilité, puisqu'il sufGra d'abaisser du point M,, projection du point M, la perpendiculaire M,D, à la droite 0,E,. Une fois le point D, obtenu, on aura le parallèle en décrivant un cercle du point 0, comme centre avec le rayon 0,D,.

Tous les parallèles s'obtiendront de la même manière; une fois le réseau achevé, chaque point de la surface se .placera ensuite au moyen de sa longitude et de sa latitude. Si les deux lignes dont l'intersection doit déterminer le point dont il s'agit ne font pas partie du réseau, on procède par voie d'interpolation.

2« Projection orthographique sur te méridien de Paris, Soit PEP' le méridien de Paris. Supposons qu'on veuille projeter sur ce méridien l'hémisphère correspondant à la partie ERE' de l'équateur (fig. 49). Ici, l'équateur et les parallèles sont perpendiculaires au plan de projection : ils se projetteront donc sur ce plan suivant des droites parallèles ; les méridiens dont le plan est incliné par rapport au plan de projection se projetteront suivant des demi-ellipses. On exécutera alors le réseau de la manière suivante :

Soit P,E,P/E/ le plan de projection sur lequel ori a tracé un cercle avec un rayon arbitraire; la circonférence représente les deux méridiens dont les plans coïncident et dont la différence en longitude est de 180«. P,P/ représentant la ligne des pôles,

ec'^^^As:

às ^

réquatour aura pour projection la perpendiculaire E,E|'. Nous avons tracé seulement les parallèles de 30** en 30** appartenant à chaque hémisphère (fig. 50).

Le méridien dont le plan est perpendiculaire au méridien de Paris se confond avec la ligne des pôles. Projetons maintenant un méridien quelconque, celui de 60®, par exemple. Nous avons déjà dit que ce méridien se projetait suivant une demi-ellipse, et, comme on sait construire une ellipse lorsque Ton connaît ses axes , il nous sufQra de les déterminer pour que le pro* blême soit regardé comme résolu. Or, nous connaissons déjà le grand axe PP' : reste donc à déterminer le petit. Abaissons pour cela du point R la jperpendiculaire RR, au plan de projection ; cette perpendiculaire sera tout entière dans le plan ERE' ; rinconnue est OR,. Or, c'est le côté de Tangle droit d'un triangle rectangle dont Thypoténuse est le rayon de la terre et dont Pangle ROR, est égal à la longitude du point R. Par conséquent, nous obtiendrons sur la carte le point R, en menant par le point 0, une droite faisant avec la ligne 0,E, un angle de 60® et en abaissant du point H, ainsi obtenu la perpendiculaire H,R, sur E,E|'. Cette méthode, tout à fait générale, donnera les projections d'autant de méridiens qu'on le voudra. On pourrait cnc:)rc avoir recours à un mouvement de rotation pour

déterminer le point R,. Supposons qu'on fasse tourner le plan de Téquateur autour de EE' comme charnière, jusqu'à ce que la partie antérieure soit rabattue sur EP'E' ; le point R viendra en H et la perpendiculaire RR, prendra la position HR, : il suffira donc, pour obtenir le point R| sur la carte, d'abaisser du point H,, situé à 60® du point E,, la perpendiculaire H|R| sur E,0; c'est précisément le résultat auquel nous avons été conduit précédemment.

La courbe P|R,P,' pourrait aussi se construire par points : ainsi la position du point S,, projection de S, s'obtiendra de la manière suivante : Le point S se trouve sur la demi-circonférence antérieure du parallèle HH', à 60® du point H, et sa projection n'est autre que le pied de la perpendiculaire abaissée de S sur l'intersection du plan du parallèle et du plan du dessin. Faisons tourner le plan du parallèle autour de HH' comme charnière, jusqu'à ce qu'il soit rabattu sur le plan du dessin. Le pied de la perpendiculaire sera invariable et le point S viendra se rabattre en Sa, à 60® du point H,. Nous aurons donc S, en abaissant de S, la perpendiculaire S|S| à H|H/. Ce procédé étant évidemment général, quelle que soit la latitude du parallèle auquel appartient le point dont on cherche la projection, on pourra avoir ainsi autant de points qu'on le voudra de la demiellipse qui représente sur la carte le méridien dont la longitude est donnée.

* 86. Remarques sur les projections orthogrrapliiques. —

Lorsque nous regardons le soleil ou la lune, c'est sous la forme d'une carte orthographique que nous voyons leur disque. En effet, à cause de la distance, les rayons visuels dirigés vers les différentes parties de l'astre peuvent être supposés parallèles et perpendiculaires au plan du cercle qui en détermine le contour apparent.

Ce système de projection a l'avantage d'offrir une représentation à peu près exacte des parties de l'hémisphère auxquelles correspondent les parties centrales de la carte , mais, dans le voisinage des bords, il y a nécessairement rétrécissement et déformation. Si l'on projette sur l'équateur, par exemple, on voit que la partie A (fig. 51) située dans le voisinage du pôle se projette à peu près en vraie grandeur, tandis que la partie B a une projection B' beaucoup plus petite.

Fig. 51.

* 87. Projections stérëographiques. — Définissons d*abord la perspective d'un point sur un plan. Soient V la position de Tœil de robservateur ou point de vue, T le plan du tableau et M le point dont on veut avoir la perspective (fig. 52). Joignons VM ; le point m où la droite VM rencontre le plan T est dit la perspective du point M. Si Ton détermine les perspectives des différents points d'une ligure, on aura la perspective de cette figure, 11 résulte de ces définitions que la perspective d*une ligne droite; ou d*une portion de figura planO dont le plan contient le point de vue est une ligne droite. On démontrerait aussi très-aisément que, si une courbe et une droite sont tangentes dans l'espace, leurs projections stéréographiques sont tangentes; il suffit pour cela de regarder la tangente comme la limite des positions d'une sécante qu'on fait tourner autour d*un des points de section jusqu'à ce qu'ils se confondent.

Fig. 53.

Fig. &S.

S'il s'agit de représenter, dans ce système, une partie quelconque A de la surface de la terre, on prendra pour plan du tableau un grand cercle. TT' de la sphère et pour point de vue l'extrémité V du rayon perpendiculaire à ce plan. Imaginons maintenant un cône ayant pour sommet le point V et pour base le contour de la partie superficielle A, l'intersection du plan TT' et de la surface conique est ce qu'on appelle la projection sté* réographique de la portion de surface considérée (fig. 53).

Quand on veut construire une mappemonde, on projette successivement chaque hémisphère sur le plan d*un grand cercle arbitrairement choisi. Nous allons indiquer la marche à suivre en prenant pour plan du tableau, soit le plan de l'équateur, soit le plan d'un méridien. Nous établirons auparavant deux propriétés remarquables des projections stéréographiques aux^ quelles nous aurons recours dans ce qui va suivre :

GOSMOGBAPHIE éLÊMENTAIRE,

10 Tout cercle de la sphère a pour projection stéréographiqtte

un cercle, , , ,. ^ - ,

2» L'angle de deux Hgnes courbes tracées sur ta sphère est égal

à Vangle de leurs projections.

Démonstration de la première proposition : Tout cercle de la sphère a pour projection stéréographique un cercle.

Rappelons d'abord la démonstration de ce théorème : La section antiparallèle du cône oblique à base circulaire est u/n cercle

Soit S le sommet du cône et AGB le cercle de base. Si par

l'axe SI et la perpendiculaire IH au * plan de la base nous conduisons un plan, ce plan coupera la surface du cône suivant deux génératrices SA et SB; c'est la section principale du cône oblique. Imaginons maintenant par une droite CD dirigée de telle sorte qu'on ait : angle CDS = angle SAB, un plan perpendiculaire à la section principale, c'est la section antiparallèle. Nous allons démontrer qu'elle est circulaire.

Pour cela prenons un point quelconque M sur la courbe et abaissons la perpendiculair o MP à CD. Il nous suffira de taire voir qu'on a

MP«=CPXPD :

or par MP perpendiculaire au plan de la section principale menons un plan parallèle à la base. Ce plan détermine une section semblable à la base, c'est-à-dire circulaire. Nous aurons

^°°^ MP»=PEXPF.

Mais les deux triangles semblables CPE, FPD donnent