Sens de la thèse. — Les parties obtenues par la

division, si loin d'ailleurs qu'on la prolonge, demeurent elles toujours étendues ?

Dans l'affirmative, le tout continu se prête à un fractionnement sans limites, car l'étendue, quelle que soit sa petitesse, est essentiellement susceptible de division.

Dans la négative, les produits ultimes du fractionnement formant des points simples, dépourvus de toute extension, se refusent forcément à toute division ultérieure.

On le voit, de même qu'on ne peut attribuer au tout continu une divisibilité théoriquement illimitée, sans doter de l'étendue toutes ses parties potentielles, ainsi est-il impossible d'imposer des bornes à la divisibilité du continu jiermanent, sans en faire un assemblage de points simples, inétendus.

ii\U)nnée associée h une idée J'unilé. >^ Cir. Rt7 uf philoiof^hiquf. t. XLIIl, 1897, ]). 468.

Toutes ces formules iv expriment évidemment qu'un des nniliiples aspects Je la quantité. Le puissant génie d'Arislote a su comprendre au contraire dans sa laconique définition tout ce qui présente un aspect quantitatif : nombre, multitude, étendue, temps et mouvement.

Les deux opinions comptent des défenseurs et des adversaires de marque. Aristote, saint Thomas, et, en général, les scolastiques anciens et modernes partagent la première ').

50. Preuve de la thèse. — Dans sa Physique, Aristote formule d'abord la thèse avec sa concision habituelle : « id quod infinitum dividi potest, continuum est » ^). Le continu est divisible à l'infini. Il en donne ensuite une démonstration indirecte qui tend à établir l'impossibilité absolue de former de l'étendue avec des parties inétendues.

Supposez, dit-il, que l'extension résulte d'une union d'indivisibles.

De deux hypothèses, l'une : ou bien ces indivisibles s'unissent suivant un ordre de continuité parfaite, ou bien suivant un ordre de simple contiguïté. Une troisième hypothèse, d'après laquelle il y aurait un intervalle entre les points indivisibles, doit être rejetée, car entre deux points séparés l'un de l'autre il y a place pour une ligne étendue; et le problème se poserait à nouveau. Or, ni l'une ni l'autre interprétation n'est admissible.

D'abord, les parties ne peuvent être continues.

Les éléments du continu se reconnaissent à un double caractère : ils ont chacun leur situation propre dans l'espace,

') Cfr. S. Thom.'VS, Phys., t.ib. VI, lect. 1. — P. de San, histiluCioms Mctaphys. spec. Cosmologia, p. 217. [.ouvain, Funteyn. 1881. — Kleutgen, La philosophie scolasliqtie . t. III, c. 4. Paris, Gaumc, 1870. — Goudin, Philosophie suivant les principes de sai7it Thomas, t. I. q. 3 : « De la quantité ». — ScHiFFiNt, Disp. Mctaphys. spcc., t. I, thesis 15". Auguslae Taurinoruni, J. Speirani, 1887. — P. Lahous.'^e, Praelcctiones Metaphys. spec. Cosmologia. pp. 197-207. Louvain, Peeters, 1887. — Miellé, De siibstaiitiae corpwalis vi et ratione, p. 279. Lingonis, Rallet-Bideaiid, 1894. — Pesch, histiiutiones phil. 7iat., 1 vdl., p. 37, thesis 3''. Friburgi Urisgoviae, Herder, 1897. — Wii,- LEMS, Institutioncs philosophicac, vol. II, pp. 26-31. Tieveris, Officina ad S. Paulinum, 1906 ; et nuilti alii.— ('fr. eliam C.aktesiu?, Princ. phil., p. II, n. 10, 20, 23 et 34.

-') .Kristoteles, Nalina/is auscttllationis, Lih. IIl, c. I, i.

mais leurs limites sont indistinctes. Sans la première condition, pas d'extension spatiale : k défaut de la seconde, la vraie continuité des éléments disparait au profit d'une simple contiguïté. Or les indivisibles n'ont pas de parties. Si leurs limites se confondent, eux-mêmes se compénètrent totalement. A deux éléments ainsi fondus dans un même point spatial, libre à vous d'en ajouter dix, vingt, cent autres. Tous se compénétreront de la même manière sans jamais donner naissance à l'extension.

En second lieu, les parties ne se prêtent pas davantage à un ordre de contiguïté.

Deux choses sont contiguës, lorsqu'elles se touchent en gardant leurs limites respectives.

Considérons deux points en contact immédiat. Ou bien une partie de l'un touche une partie de l'autre, ou bien une partie de l'un touche l'autre tout entier, ou bien ils se touchent selon la totalité de leur être.

Les deux premiers cas sont irréalisables, pour la raison qu'un indivisible n'a point de parties. Le dernier ne peut engendrer l'étendue, quel que soit le nombre de points surajoutés, car il est essentiel à une réalité étendue de répandre ses éléments dans des positions distinctes de l'espace 'V

L'argumentation serrée du Stagirite échappe, croyons-nous, à toute critique directe. Aussi les adversaires de la doctrine aristotélicienne préfèrent s'en prendre à la doctrine elle-même ou à ses conséquences, plutôt qu'aux assises solides sur les- -quelles elle repose.

Les objections qu'on lui a faites sont nombreuses. Examinons les principales.

51. Première difficulté. — La théorie du continu fut prise à partie dans l'antiquité par un philosophe resté célèbre, Zenon d'Elée.

') Aristoteles, j\d/tt/a/is auscultiiliouis, I,ib. VI. c. I, 1-4. — Clr. S. I'ii<>- MAS, Physic, L. VI, Icct. i cl 7.

Aristote nous a conservé les quatre arguments par lesquels le sophiste essaie de prouver l'impossibilité du mouvement. Deux d'entre eux, appelés respectivement la dichotomie et V Achille — parce qu'à l'exemple du héros grec, ce dernier parut longtemps invincible ou mieux irréfutable — visent les partisans de l'espace et du temps continus, divisibles à l'infini. Les autres, connus sous le nom de la /lèche et du stade, s'adressent aux défenseurs de l'espace et du temps discontinus, susceptibles seulement d'une division limitée ').

Les deux premiers seuls nous intéressent. Au cours de ces dix dernières années, ils furent l'objet de fréquentes et vives controverses, à propos de la question de l'infini.

La dichotomie. — Le mouvement, dit Zenon, est impossible. En effet, le mobile doit parcourir d'abord la moitié de son chemin avant d'en atteindre la fin. Ce qui est vrai du parcours total, l'est aussi du parcours de la moitié. Mais si, comme on le suppose, la longueur du chemin est divisible à l'infini, le mobile aura une infinité de milieux à traverser avant d'arriver au terme de sa course.

Or l'infini ne se laisse point épuiser par étapes successives.

La divisibilité sans limites du continu se trouve donc inconciliable avec la possibililité du mouvement.

L'Achille. — Placez deux corps à distance lun de l'autre, mais dont le second est animé d'un mouvement beaucoup plus rapide que le premier. Vous supposez naturellement qu'ils finiront par se rencontrer. Erreur profonde dans l'hypothèse du continu.

En effet, l'un est en A, l'autre en B. Quelle que soit la rapidité de sa course, le second ne saurait arriver en B sans que le premier se soit déplacé et occupe une nouvelle position, par exemple C. Le deuxième corps continue son trajet

') .Ari&totei.es, op. cit., L. V, c. 9.

et vient se placer en C ; mais pendant ce temps, le jiremier est parvenu à atteindre la position D. Soumettez le parcours à (les divisions toujours renaissantes ; l'écart entre les deux corps pourra diminuer, mais jamais disparaître.

La rencontre est donc impossible, si le fractionnement du continu n'a point de limites.

52. Critique des arguments de Zenon. — L'Achille, comme le dit lui-même Aristote, est une forme « plus pompeuse et plus trafique» de la dichotomie. En réalité, les deux arguments ont une même tendance et reposent sur la même idée : établir 1 impossibilité du mouvement en i)artant de l'hypothèse que toute grandeur finie comprend une infinité de points à traverser. L'hypothèse admise, la conclusion s'impose : on n'épuise point l'infini en un temps fini ').

Où se trouve le vice radical de cette aroumentation ?

') Avant d'abnrder celte réliilatiun directe, le Slagiritc avait essaye d'une réplique « ad hominem ».

De ce que toute grandeur finie, dit-il. i enferme une muliiiude infinie actuelle de parties, vc»us concluez qu'il faudrait un temps infini pour la parcourir. De quel droit ? Le temps n'est il pas aussi une espèce de continu .' Dès lors, toute quantité finie de temps ne contient-elle pas, au même titre, une muliitude infinie d'instants.' Bien que finies toutes les deux, la grandiur temporelle et la <;randeur spatiale peuvent donc se superposer, car il n'j- a pas de contradiction ;i soutenir Cju'nn infini mesure un autre infini. Cfr. op. cit., Lib, VI, c. 1,9.

Gomme argument « ad hominem y^, la réplique d'Arislole est irréprochable. Il s'agissait de savoir s'il suffisait d'un temps fini pour parcourir une muliitude infinie. .\u point de vue doctrinal, elle laissait subsister la difficulté réelle : celle d'épuiser successivement l'infini en acte de la durée. C'est, d'ailleurs, la critique qu'en a faite lui-même l'auteur. Cfr. I.ib. VIII, c. 8, 5 : « Verum haec solutio advcrsus interrogantem salisfacii : interrogabatur enim an tempore finito possini infiniia pertransiri. vel numerari. Ouod autem ad rem et ad veritatem altinet. non satisfacit. Nam si quis omissa longitudine, et interrogalione illa an finito tempore possint infinita pertransiri, p.erc<>ntctur haec de ipso tempore (habet enim lempus infiniias divisiones). haec solutio non amplius saiisfaciet. i>

Dans la confusion de deux quantités essentiellement distinctes, la quantité continue et la quantité disvrdte ').

La première est une grandeur, une étendue dont la propriété caractéristique est d'être niesurablt. La seconde constitue une multitude actuelle. Dans l'espèce, il s'agit uniquement de la première qui ne comprend en soi aucune division réelle. Si donc l'espace à parcourir est de dix mètres et que l'unité de vitesse du mouvement continu est de cinq mètres à la seconde, il suffit de lui appliquer deux fois la mesure pour en épuiser la grandeur. En deux secondes cet espace sera parcouru.

Ces deux continus, dira t- on, dix mètres et deux secondes sont cependant divisibles à l'intîni ?

Soit. Mais avant de parler de multitude, il faudrait que la division fût faite — numerus sequitur divisionevi. — Or, par hypothèse, l'extension ou le continu est une longueur non fractionnée. On peut la diviser et prolonger bien loin la division par la pensée; mais par hypothèse encore, cette division donnera toujours un nombre fini de parties de plus en plus petites d'un espace et d'une durée finis ^).

53. Instances. — La solution aristotélicienne ne parait pas satisfaisante à M. Lechalas.

« Si nous supposons en effet, dit-il, qu'un point réel parcourt un segment de ligne, nous sommes en présence d'un mouvement en acte, et lorsque ce point passe au milieu de la ligne, la division de celle-ci est un lait actuel; il en est de même pour toute autre position du point, et par suite, si son mouvement est continu, on est obligé d'admettre un nombre

') A lire une critique de la solutiun aristolélicienne par JiMus Fischer, Zum Rauin und Zeitproblein (Arcliiv fur System. Philosophie, X. Band, 1904). L'erreur de cet auteur consiste dans une perpétuelle confusion entre l'inlini actuel cl l'infini en puissance qui est, en réali(é, le fini susceptible d'accroissement progressif illimité.

'^) .Arisioteles, iYd/ur.i/is atucullalionis L. VI 11, c. 8.

infini de divisions en acte (S.\\ serment considéré. Ceci suppose, bien entendu, qu'il s'agisse d'un mouvement réel » 'j. La distinction d'Aristotc entre l'acte et la puissance n'est donc pas pertinente.

Nous aborderons bientôt l'examen détaillé de cette nouvelle difficulté. A ce moment, qu'il nous suffise de répondre au savant mathématicien que la génération d'une ligne par le mouvement continu d'un i)oint est une fiction mathématique, irréalisable en fait ").

Pour M. Evellin, Zenon d'Élée aurait prouvé d'une façon définitive, que dans l'hypothèse de la divisibilité sans limites le repos est la loi absolue de l'être.

« Chaque moment du mouvement doit être un progrès, et il n'est progrès que dans l'épuisable et le fini ; voilà ce que la dichotomie montre aux yeux. Supposons pourtant que, par impossible, l'infini s'épuise, et que chaque progrès soit un infini épuisé; la différence des vitesses s'expliquera alors par un nombre plus ou moins grand d'infinis épuisés en même temps. Eh bien! pour que les mobiles animés de ces vitesses puissent enfin se rencontrer, il faudra supposer l'épuisement, non pas d'infinis en nombre donné, mais d'une infinité d'infinis » ').

Reprenons l'argument.

Toute partie du mouvement marque un progrès et tout progrès suppose l'épuisable, le fini. D'accord. Pourquoi ajoutez-vous qu'il en est ainsi de tout inotnenl à\\ mouvement? Par ce terme de moment introduit dans la majeure, ne faitesvous pas entrer dans le continu, le nombre, la multitude actuelle, bref les indivisibles? Or c'est tout juste le point en litige !

') LECH.\r,\s, Etude <//r l'espace et le tcmp^, p. loi. Paris, .\lcan, 1896. — Cfr. nouvello édition, c. 8, 1910.

'-') Ct'r. n. 55, pp. 9091.

•') ÊVELLIX, La divisibilité dans la grandeur (Rexiu de métaphysique et de morale, 1804). p. 134.

Assurément, une fois posée cette prémisse, il devient très aisé d'en tirer des conclusions plus absurdes les unes que les autres et de les mettre au compte des partisans de l'extension continue. Mais ceux-ci ne rejettent-ils pas expressément ce qui fait la base de tout ce raisonnement? Pour nous, le mouvement et la lono;ueur jouissent d'une réelle continuité et d'une véritable unité. S'il nous est permis d'y introduire par la pensée le multiple, d'y concevoir des moments indivisibles, nous ne pouvons oublier que ce jeu fantaisiste de l'esprit ne saurait atteindre la nature du tout continu ni en épuiser la divisibilité infinie.

Le moment dont il s'agit n'a donc de place, ni dans le mouvement, ni dans la longueur, puisque son existence est tout idéale.

Cependant, dira-t-on encore, le déplacement d'un corps est une série de progrès !

Oui, si l'on entend par là l'épuisement progressif, ininterrompu d'une extension finie que l'on divise mentalement en autant d'unités de mesure qu'on«désire. Non, si l'on désigne par le mot « série » une multitude infinie d'instants ou de moments réels ').

54. Deuxième difficulté. — « Serait-il possible, écrivait Cauchy, que les derniers éléments des corps ne fussent pas

') Plusieurs madicmaticiens ont tenté de réfuter les arguments de Zenon par des considérations d'ordre mathématique.

Citons entre autres : Milhaud (Revue philosophique, n» 187). — I'rontera, Etude sur les arguments de Zenon d'Élée contre le viouveïnenl. Paris, Hachette, 1891. — G. MoURET, Le problème d'Achille (Revue philosophique, 1892), ji. 67. — Le succès de ces généreux efforts nous paraît très problématique. Tandis ipie M. Froptera passe d'une série à sa limite sans songer que là gît la difficulté signalée par Zenon, d'autres voient dans ces arguments une critique des séries convergentes ou du principe fondamental du calcul infinitésimal, ce qui est aussi bien contestable.

Voir aussi la solution proposée |iar Bp.RcisoN, L'évolution créatrice, pp. 333- 340. Paris, Alcan, 1908.

Jusqu'ici la solution aristotélicienne semble être la seule décisive.

simples, ou ({ue dans un morceau de matière, l'on diit voir un composé qui n'aurait ])as de composants ') ? » Tel fut aussi à peu près le lan^^age de Leibniz, le père du dynamisme et l'inventeur des monades "). « Une loi essentielle de la raison, dit Évellin, nous contraint, le tout posé, à poser les éléments, comme la vraie raison d'être du tout, comme la trame même qui le crée et le constitue » ').

En dernière analyse, tout composé tire son origine de composants simples, car reculer la question ne serait pas la résoudre. Or l'étendue est un composé, puisqu'on peut la fractionner. Donc elle résulte, elle aussi, de l'union de points simples indivisibles %

Tout composé présuppose ses constitutifs ; telle est la proposition fondamentale de cette nouvelle critique.

Distinguons d'abord trois espèces de composés.

i" Les uns ont pour loi de formation l'agrégation successi\e des parties qu'ils contiennent ; leur unité est accidentelle. Tel est un monceau de pierres réunies par la main de l'homme. D'évidence, les éléments précèdent dans ce cas, d'une priorité temporelle ou au moins logique, la constitution du tout. Cette sorte de composition ne regarde pas l'étendue, qui n'est point une quantité discrète mais continue.

2° D'autres sont formés de parties actuellement distinctes les unes des autres, mais si étroitement unies, qu'elles donnent naissance à une véritable individualité : tel est, par exemple,

') Sept leçons de physique générale, p. 36.

') Œuvres philosophiques deLEUîNiz : MonaJologie, n<^* 2 et 3.

^) ÉVEXXIN, art. cité, p. ijb.

*) « Que peut-il y avoir de raisonnable, écrit Ubaghs, dans une théorie cjui ne vous présente que des composés dont les composants, comme des ombres fugitives, vous échappent sans cesse à mesure que vous croyez en approcher ?» Du dynamisme considéré en lui-même, clc, p. 35. Louvain, 1852. — Cfr. Balmès, PhUosop.'tie fondamentale, t. II. liv. 6, c. 3, p. 390. Liège, Lardinois, 1852.

le composé substantiel de matière et de forme. Ces deux principes constituent l'être corporel ; ils sont essentiels à son existence, mais il ne leur est pas essentiel d'avoir dans leur réalité propre la composition qui caractérise le tout. Ici encore les éléments contribuent à la formation du composé, à titre de causes réelles, et doivent le précéder d'une priorité de concept ou de nature.

3° Une troisième espèce nous est donnée dans l'étendue. Quelle en est la composition ?

A parler rigoureusement, l'étendue ne mérite point le nom de co?nposé. On n'y trouve pas en effet d'éléments distincts, actuellement circonscrits par des limites propres.

On ne peut davantage la concevoir comme le résultat final d'une agrégation progressive de parties, qui se seraient mêlées et fondues en un tout sans division ; les parties n'ont jamais préexisté à la réalisation du continu, pour le motif que le continu se forme d'un coup avec sa nature propre, son être indivis mais divisible.

Bien plus, la composition actuelle suit ici l'unité, car on la fait naître en brisant la continuité.

L'étendue, il est vrai, s'appelle composé potentiel, en ce sens que le fractionnement engendre la multiplicité. Mais de nouveau, cet état de composé potentiel n'est pas un caractère accidentel et surajouté aux parties possibles ; il en exprime au contraire la nature intime, puisque tout élément du continu est lui-même essentiellement composé. A chacun d'eux appartient l'infini de division.

Le multiple en puissance s'identifiant avec l'être intime de chacun des produits du fractionnement, ne possède donc sur eux aucune antériorité de temps ou de nature. De ce double point de vue, la fausseté de la majeure précitée devient manifeste ').

') P. i)K San, Institutioncs inetaphys. s/>ecia/is, p. 220. Louvain, FoiUe}'!!, i88i.

55- Troisième difficulté. — A l'effet d'établir les définitions génétiques de certains éléments de la géométrie, parfois aussi dans le but d'en faire mieux saisir la rigoureuse continuité, les matliéniaticiens recourent souvent à une fiction que l'on a traduite en fait. Le point en mouvement, dit-on, engendre la ligne ; la ligne en mouvement engendre la surface ; et le mouvement de la surface produit le solide ').

Donc toute étendue, quelle qu'en soit la forme, est un complexus de points simples.

Cette fiction n'est pas pour nous déplaire. Nous y voyons même un instrument utile et fécond, pourvu qu'on en réserve l'emploi aux mathématiques pures. Saint Thomas la connaissait et en fait souvent usage pour élucider le concept logique de l'étendue. « Sciendum est, dit-il, quod nos debemus imaginari punctum, quod est indivisibile in linea, moveri, et motu suo causare lineam, et lineam motam causare superficiem, et superficiem motam causare corpus. »

Mais ce maître de la pensée avait soin d'ajouter que cette représentation imaginative est sans application possible au monde réel. « Quibus sic causatis et iraaginatis, licet iwn ita sit fealUer, inlelHgiiuus praedictam definilionem » ).

L'examen attentif du fait nous montrera combien est fondée cette prudente réserve.

La ligne se définit : une simple longueur ininterrompue. Une ou plusieurs interruptions nous donneraient plusieurs lignes dont chacune vérifierait pour son compte la définition donnée. De là, la nécessité pour les parties de la ligne de confondre leurs limites et de former ainsi un tout continu, ou du moins de s'agencer suivant un ordre de contiguïté parfaite qui ne laisse subsister entre elles aucun intervalle.

Cela posé, à quelle condition le point pourra-t-il engendrer une ligne ?

') EvELi-ix, ait. cité, \i. 133. — Lkouai.as. ou7\ cité, p. 155, nouvelle éd. c. 8, 1910.

■-) S. Thom.vs, opusc. 1 : Looicit Snminii, tract. III, c. 3.

A la condition qu'à toute partie de son mouvement corresponde une position spatiale nouvelle, contiguë à la précédente, mais en dehors d'elle. Sinon, le point resterait immobile, ou son trajet serait discontinu.

Or, il est impossible de concilier le mouvement d'un point | avec ces exigences.

En effet, deux positions contiguës, occupées par des points, sont indivisibles comme les points qui les occupent. Si elles sont. en contact immédiat, elles se touchent selon toute la réalité de leur être, puisqu'elles n'ont pas de parties potentielles, et ces deux positions n'en font qu'une seule.

Ainsi en sera-t-il des autres qu'il nous plaira de concevoir. Toutes viendront se fusionner en un même point, conformément à la loi qui régit le contact immédiat des indivisibles.

Pour se soustraire à cette conséquence, inutile de supposer, comme l'ont fait certains mathématiciens, des intervalles réels entre les parties successives du mouvement, et d'attribuer au point la faculté de bondir de l'une à l'autre sans passer par le milieu ').

D'abord ce serait sortir de la question ; il s'agit en ce moment de la genèse du continu.

Et puis, ce saut brusque du point qui bondit d'une position à une autre éloignée, sans passer par l'intervalle qui les sépare, n'enveloppe-t-il pas un m^^'stère mille fois plus profond que la continuité de l'étendue ?

Entre les deux hypothèses, le cho'x cependant s'impose.

56. Quatrième difficulté. - Cette objection vise spécialement la divisibilité illimitée de la grandeur.

S'il n'est pas au pouvoir de l'homme d'atteindre le terme de ce fractionnement possible, au moins il est au pouvoir de

') Lkciiai.as, J'.titJc sur /'espircf et le tiiiips, p. 155, nouvelle éd., c. 8, 1910.

Dieu de briser d'un coup tous les liens internes du continu et de mettre en liberté les éléments qu'il renferme.

Supposé que cette division se fasse, quel sera le caractère des parties obtenues ? Les dira-t-on étendues ? Xon ; car dans ce cas, contrairement à l'hypothèse, la division ne serait pa>s achevée.

Reste donc à les regarder comme des éléments simples, indivisibles, à faire de l'indivisibilité le caractère essentiel des constitutifs ultimes de toute ,^randeur.

Dans ce nouvel argument, nous nions simplement la possibilité de l'hypothèse.

Assurément, la puissance divine s'étend à tout ce qui est intrinsèquement possible, mais elle s'arrête aux contradictoires, parce qu'il répus^ne à une activité positive d'avoir pour terme le néant.

Or, la division totale présuppose, dans l'étendue, l'existence d'une propriété qui est la négation même de sa nature. Il est contradictoire de vouloir construire le continu avec des indivisibles qui se touchent ; il ne l'est pas moins de prétendre le réduire en indivisibles. En effet, toute partie d'une grandeur donnée a pour propriété essentielle d'envelopper une multiplicité en puissance. Xier cette propriété ou supposer la division achevée, c'est nier l'étendue qu'il s'agit d'expliquer.

Ces matières sont troublantes. Tâchons d'éclaircir uotre pensée par un exemple.

Voici une ligne d'un mètre de longueur. Admettons que le Créateur en brise subitement tous les lie:is internes, et que la totalité des parties soit rendue indépendante.

Ces éléments simples se touchent-ils : Impossible : puisque des indivisibles en contact immédiat se compénètrent totalement, la ligne entière se condenserait en un point mathématique.

Force est donc de les supposer échelonnés, à distance les uns des autres, sur la longueur du mètre. Mais alors la division veut être continuée, car entre deux points successifs séparés existe un fragment étendu de la ligne qui n'a pas encore été

divisé. La division s'achève. La même question se pose derechef : toutes les parties possibles sont- elles en contact ou à distance ? Pour ne pas supprimer la ligne, il faut bien choisir la distance et soumettre les intervalles restants à une troisième division.

Mais à quoi bon reculer toujours ? X'est-il pas évident que l'hypothèse d'un fractionnement complètement effectué, nous place dans une voie sans issue où chaque pas nous montre l'impossibilité métaphysique d'atteindre le but désiré, c'està dire l'épuisement total du continu?

57. Cinquième difficulté. — Partisan convaincu de la doctrine aristotélicienne, le P. Lepidi se refuse cependant à en admettre la conséquence inéluctable, à savoir, la divisibilité sans fin du continu. Selon lui, l'extension ne contient que des parties étendues, mais au delà d'un certain degré d'atténuation, ces parties cessent de se prêter à un fractionnement ultérieur. Ce sont, comme il les appelle, de vrais indivisiblesétendus.

La nécessité, dit il, de fixer une limite à la division s'impose, si l'on ne veut introduire dans le tout de la grandeur une multitude infinie en acte. D'autre part, l'indivisibilité des éléments ultimes se concilie avec leur extension si l'on tient compte que !a division porte non seulement sur la quantité, mais aussi sur la substance de l'être quantifié. De ce chef, il peut y avoir obstacle au fractionnement. Il suffit que sous son étendue minime, l'être lui-même n'offre plus de parties intégrantes ').

Il existe, croyons nous, dans la théorie du savant Dominicain plusieurs erreurs.

« Toutes les parties d'une grandeur donnée, dit il, se distinguent les unes des autres, et jouissent, antérieurement à la

') P. Lepidi, Elemenla {^hilcsophuu christianae. l. III, pp. «,8 el set|. Louvaiii, Peeters, 1S7',.

division, d'une complète actualité. Leur nombre est donc infini, si la divisibilité n'a point de terme.

Cette conséquence est évidemment inadmissible : mais elle nous fournit une preuve manifeste de la fausseté de l'Iiypotlièse qui y conduit. Au lieu de faire du continu un multiple actuel, admettez avec Aristote sa rigoureuse unité jointe à une multiplicité purement potentielle et vous écartez l'épouvantail de l'infini en acte : l'infini de division ne pouvant être réalisé, même par Dieu.

De cette première erreur en est résultée une seconde : l'indivisibilité du continu. C'est, à notre avis, la conciliation des contradictoires que notre contradicteur a tenté de résoudre. Pas d'étendue sans une pluralité possible ou actuelle de parties. Or, dans toute réalité multiple, il y a nécessairement place pour une division à tout le moins mentale.

On ajoute que la substance y met obstacle. Que vient faire ce facteur étranger à la question ? Xe s'agit-il pas uniquement du continu en soi, abstraction faite de la nature de son support connaturel ?

Qu'il y ait dans la substance une cause limitative du fractionnement, Aristote, saint Thomas '), les scolastiques à l'unanimité l'admettaient, — ce qui ne les a pas empêchés de maintenir la divisibilité illimitée de l'extension mathématique. Qu'on ne l'oublie pas, celle-ci seule est l'objet de la discussion présente.

Au surplus, nous ne comprenons pas qu'une substance affectée d'étendue, si réduite qu'elle soit, puisse s'opposer à la division pour le motif qu'elle n'aurait plus en elle-même de parties intégrantes.

Pour qui regarde la quantité comme la cause formelle de

') S. Thom.\s, De sensu et sensiito, leci. 15. v> (A>rpiis matiieniaticum est divisibile in iniinitum in quo consideralur sola laiio quaniiiatis in qua nihil est repugnans divisioni infinitae. Scd corpus naturale, iiuod consideratur siib tota torma, non potest in iniinitum dividi, quia quando ad minimum deJuciiur, statim proptei debilitatem virfutis convertitur in aliud. >

la composition quantitative du corps, il semble d'une impossibilité métaphysique que les parties intégrantes de la substance ne correspondent pas adéquatement aux parties intégrantes de l'extension ').

a'"*^ Question : Les parties du tout continu sont-elles en acte

ou EN PUISSANCE ?

58. Portée de cette thèse. — Alin d'éviter les malentendus, fixons d'abord le sens de la question.

D'évidence, la réalité des parties que peut engendrer le fractionnement d'une extension donnée est actuelle, ou préexiste à la division réelle ou mentale. La réalité d'un tout continu équivaut exactement à la somme des réalités de ses éléments constitutifs ; l'actualité de l'un se mesure à l'actualité des autres.

Mais le concept de partie est double. Avec la notion d'une chose positive et réelle, il contient aussi l'idée de limite. Toute partie, au sens propre du terme, désigne une chose limitée ou circonscrite. Or, doit-on concevoir la limite sous la forme d'une petite entité indivisible^ rivée k tout élément fini pour en circonscrire le champ d'extension ? Ou bien faut-il v voir la simple négation d'un prolongement, dune extension ultérieure qui, sans rien introduire de réel dans l'être limité, nous indique cependant les bornes de son domaine spatial ? Il y a place, on le voit, pour deux opinions bien distinctes.

Quoi qu'il en soit de cette divergence de vues au sujet de la nature de la limite, les philosophes s'accordent à ne regarder comme actuelles que les parties affectées de limites

') Tel est l'avis de saint Thomas. Dans le texte précité, s'il impose des limites à la division du corps, ce n'est point dans l'absence de parties qu'il en place la raison, mais bien dans la nécessite pour l'être corporel de se transformer en un corps nouveau, lorsque sa masse n'est plus en rapport avec ses exigences naturelles.

propres. A cette condition seulement les parties possèdent un territoire réservé et se distinguent en fait les unes des autres. Par contre, si cette délimitation n'a pas lieu, tous les éléments de l'étendue restent indistincts, forment une unité réelle où la multiplicité ne pénètre qu'à la suite d'une division réelle ou mentale. En un mot, à défaut de limites propres, les parties se trouvent dans un état purement potentiel .

Le problème posé revient donc à celui-ci : Antérieurement à toute division, les éléments du continu sont-ils affectés de limites individuelles qui les rendent objectivement distincts les uns des autres ; ou bien n'acquièrent-ils ces limites que par le fractionnement ?

Avec Aristote et saint Thomas, nous souscrivons à cette dernière hypothèse.

59. Preuve de la thèse : Les parties intégrantes de l'étendue ne jouissent pas d'une actualité propre ; elles s'y trouvent seulement en puissance. — A en

juger par l'énoncé du problème, l'existence ou la non-e.xistence des limites au sein du continu est le point cardinal de la discussion.

Or, chez nos adversaires nous rencontrons deux opinions diverses sur la nature de la limite. Notre tâche sera donc de montrer que ni l'une ni l'autre de ces conceptions n'est applicable aux éléments constitutifs du continu réel.

V' Les uns n'accordent à la limite, entendue au sens formel du mot, aucune réalité positive ; ils la définissent : la simple négation d'une extension ultérieure. Selon les partisans de cette définition, qui nous semble d'ailleurs très correcte, toutes les parties d'une grandeur donnée se trouvent en contact immédiat, mais pos.sèdent chacune une 'situation spatiale propre nettement définie.

A cette première catégorie d'antagonistes posons la question suivante : Dans une surface d'un centimètre carré, corn-

bien y u-t-il de parties actuellement distinctes ? Les éléments intégrants qui y sont contenus forment-ils un nombre fini ou une multitude infinie ? Une fin de non-recevoir serait non a\ enue, car des éléments distincts sont des unités susceptibles de sommation.

Choisit-on la première alternative, à sa\o;r. celle du nombre fini, ou se voit contraint d'imposer des bornes à la divisibilité du continu et de le réduire à une collection de points simples, létendus ; nous l'avons montré plus haut, l'unique raison ['our laquelle les parties deviennent réfractaires au fractionnement réside dans leur simplicité ou leur inexteusion ').

ïh'étère-t-ou la seconde alternative, on pose du même coup I iivfiuî en acte dans une grandeur finie, ce qui est une contradiction manifeste. Comme le dit Evellin, s< il n'est pas de pai'tie si petite qu'on la suppose, pourvu qu'elle soit supérieure à o, qui, répétée -à l'infini, n'engendre une quantité supérieure à :.Hite valeur assignable ^ ").

: IVautres philosophes atuibueut à li ^•■■"''■o mie réalite pt\>pre : ils la reg-ardeut comme un indiN .el. interjeté

i 0 les parties consécutives du continu.

Cette hypothèse renchérit encore sur les difticultés de la première. Si les éléments et leurs limites sont en multitude illimitée, toute grandeur finie se compose de deux multitudes victuellement infinies de parties. De plus, à supposer que les éléments de la grandeur gardent une certaine extension, l'infini actuel qui en torme la collection pourrait encore s'accroître par la division des piirties étendues, à tnoitis ih- U^ résinuhe tînaU^ment en indivisibles.

Si l'on veut, au contraire, limiter le nombre des éléments il de leurs limites, on fixe un point d'arrêt à la divisibilité du

') «.'ti. u^'" 4.g et suiv.

continu, ce qui revient à le faire naitre d'un nombre fini de points simples.

De toute manière, le continu sévanouil dc> qu'on introduit l'actualité ou la distinction réelle dans ses parties intégrantes ').

60. Nature des limites externes. — Toutefois, on ne peut le niéconnaitre, une grandeur linie, bien qu'indivise en elle-même, a des contours nettement déterminés, des limites

I ) Pour certains auteurs, entre autres Liberatore, ni la distinction actuelle ni la distinction purement potentielle ne résolvent le problème troublant du continu. Ce sont là deux solutions extrêmes qui prêtent le flanc à d'inextricables difficultés. La vraie solution consiste h placer entre les parties du continu une distinction actuelle, mais incomplcle.

« Pour que la distinction fût complète, dit Liberatore, il faudrait que chacune des parties eût ses limites propres. Or il n'en est pas ainsi dans le tout de la grandeur. Les éléments réalisent bien entre eux un ordre d'extraposition, mais ils restent enchaînés les uns aux autres de manière que la limite de l'un soit à la fois le commencement de l'autre. Ils ont une subsistance commune cpii sauvegarde l'unité réelle de l'ensemble. On y reconnaît par conséquent une vraie actualité, puisqu'ils ne se confondent pas avec le tout, et en même temps une réelle potentialité que dénote l'absence de division. >■• Cfr. Liber.viork, Institutiones mctaphysic<je,\.\\, p.73.Praii, 1883. A notre avis, cet essai de conciliation complique le problème de difficultés nouvelles, ou ne parvient à les éviter qu'en renouvelant sous une forme moins heureuse la théorie thomiste que nous venons d'exposer.

La distinction des parties, dit le savant Jésuite, est actuelle, c'est-à-dire que dans l'objet lui-même et antérieurement à toute opération mentale, i'une n'est pas l'autre ; le mot n'a pas en effet d'autre sens recevable.

Or une distinction actuelle, indépendante de nous, réalisée dans le monde des existences, ne peut s'établir qu'entre choses diverses. Elle suppose nécessairement une pluralité réelle, une multitude actuellement définie, — hvpothèse qui conduit à de véritables absurdités.

Veut-on dire peut-être que la réalité seule des parties est actuelle dans le continu : Mais ce point n'est pas en litige, car il est évident pour tout le monde que la réalité d'une grandeur donnée résulte uniquement de la réalité de ses éléments constitutifs.

Pour être actuelle, ajoute l'auteur, la distinction n'est cependant pas complète : en d'autres termes, deux parties consécutives étant toujours liées entre elles par des limites communes ne peuvent engendrer une muljitudc définie, attendu que celle-ci suit la division.

De nouveau, vaine échappatoire. Le multiple existe, là où se rencontrent

actuelles. Ces limites extrinsèques que sont-elles ? N'y a-t-il pas lieu de les regarder comme des indivisibles réels ? D'aucuns l'ont prétendu, à tort, croyons-nous ').

Une étendue quelconque se circonscrit par le fait même <ju'elle cesse de se prolonger. Au sens formel du mot, la limitation résulte de la négation pure et simple d'un au-delà réel. Elle n'exerce donc aucune influence sur le caractère ou la nature des parties qui constituent la chose limitée. Or, puisque toute partie potentielle d'une extension donnée se prête à une divison sans fin, ne serait-il pas illogique de soustraire à cette règle celles qui en forment les limites ultimes ?

On peut assurément les appeler indivisibles, lorsque, au lieu de considérer la réalité étendue qui cesse de s'accroitre, on ne regarde que la négation même d'une extension ultérieure ; de ce point de vue la division devient impossible, faute de sujet réel divisible. Mais les choses changent d'aspect si on envisage le côté interne de la limite. Nous trouvons alors le domaine de l'étendue avec sa divisibilité illimitée.

6i. Solution de quelques difficultés. Première objection. — Le tout du continu, disons-nous, est le tout d'un nombre, mais d'un nombre seulement en puissance qui ne

des choses qui, sans rinicrvcniion d'un agent extrinsèque, difl'èrent l'une de l'autre, et il est faux que pour le faire naître il faille une division entendue dans le sens d'une séparation réelle. Deux éléments conliyus, directement unis, constituent deux réalités distinctes.

Dès lors, ou bien les limites communes dont il est question forment un indivisible réel, et dans ce cas les parties sont suffisamment divisées pour engendre; un nombre. Ou bien les limites réelles sont elles-mênies divisibles, comme d'ailleurs toutes les réalités du ct)ntinu ; alors la distinction des parties existe seulement à l'état potentiel.

Rn dehors de cette double hypothèse, on pourrait supposer encore que les éléments de la grandeur se trouvent associés suivant un ordre de contigu'itc. Mais cette troisième supposition, l'auteur lui-même en convient, brise l'unité du continu, qu'il faut à tout prix sauvegarder.

' ) Cfr. (iouniN, Philosophie suivant les principea de saint l'iioinas, t . 1 1, p. 545. l'aiis, Poussielgue, 1864.

sera donné (lu'après une division réelle ou une opération ultérieure et accidentelle de la pensée.

Cette distinction entre le divisé et le divisible d'où dépend la solution du problème, est importante, dit M. Evellin, mais sans usage dans le cas présent. « Lorsqu'il s'agit d'un tout idéal défini, la possibilité intrinsèque se confond avec l'existence. On s'imagine faire passer à l'acte des parties qu'on croit virtuelles. Virtuelles, non, c'est latentes qu'il faudrait dire ; ajoutons, déterminées en elles-mêmes bien que latentes. Il n'en faut pas davantage pour qu'elles soient, car elles n'ont d'autre réalité possible, eu égard à leur essence, que cette détermination même, détermination invisible mais certaine » ' ).

A l'effet d'amener de la virtualité à l'existence les éléments du continu, le philosophe français pose en fait l'identité de deux choses bien distinctes : la réalité de la partie et sa limite.

Les éléments de la grandeur, dit-il, sont déterminés en euxmêmes, ils existent mais à l'état latent. Proposition vraie, s'il s'agit de l'entité réelle des parties; fausse au contraire ou du moins arbitraire, si l'on veut désigner par là l'existence de limites propres qui donncMitMit n < hacune des parti. ^ une individualité déterminée.

Toute la question revient à savoir si les limites précèdent ou suivent la di\"ision, car nul ne doute que l'être des parties soit aussi actuel que l'être total de la grandeur. Or pour être totalement déterminées quant à leur entité positive, il ne suit nullement qu'elles le soient c[uant à leurs contours respectifs. M. Evellin l'affirme en termes voilés, mais sans en donner aucune preuve.

Ainsi en est-il d'une seconde objection qu'il soulève contre l'existence potentielle des parties du continu.

62. Deuxième objection. — v II n'est nullement nécessaire, ajoute le même auteur, que l'entendement distingue

') EvKi.uix, La divisibilité Jii?is /,; gr.ifiJeitr fRertic Je m{taph\i.iquc tt Je morale. 1894), t. II. p. 133.

lOI —

les parties pour qu'elles soient. Il suffit qu'^ priori et avant toute opération de la pensée, elles existent comme possibilités inb-insèqiies de division. Or rien n'est moins douteux dans le défini. Comment admettre en eftet que ces possibilités soient en nombre égal, s'il s'agit d'un millimètre ou d'une longueur égale à l'axe terrestre ? La grandeur, dès qu'elle est donnée, se trouve, par là même, arrêtée dans son progrès ; elle ne peut ni se condenser, ni se dilater au gré de l'esprit » ").

Ici de nouveau l'actualité des parties que l'on veut coûte que coûte introduire dans le continu, fait le fond de l'objection. Renoncez à cette supposition et l'apparente contradiction disparaît. Si les éléments de la grandeur ne sont pas en acte, et s'il existe d'autre part une impossibilité absolue à ce que la division s'achève un jour, la loi de divisions toujours renaissantes s'applique aussi bien au millimètre qu'à l'axe terrestre.

Est-ce à dire que les parties correspondantes du fractionnement seront égales en grandeur dans les deux cas ?

Non, sans doute. Mais dans les deux cas, au delà du nombre fini des parties actualisées et toujours décroissantes en extension, il y aura la possibilité de pousser plus loin la division, sans espoir de la terminer jamais. Où git la contradiction?

Au point (le vue du résultat final, qu'importe la grandeur initiale? Dans rh5-pothèse d'un fractionnement illimité, serat-on plus près du but en divisant le millimètre qu'en fractionnant le méridien de la terre ?

L'exemple allégué n'est embarrassant que pour les partisans de l'actualité des parties. Notre théorie, au contraire, y trouve une confirmation nouvelle.

63. Troisième objection. — Voici un corps rectangulaire que je tiens dans la main. Sans que j'y introduise par la pensée aucune division, ne comprend-il pas des parties actuclle-

') ÉVELI.IX, art. citc,Y>. 133.

ment distinctes les unes des autres? N'y distinguons-nous pas le haut et le bas, un côté gauche et un côté droit, une ])artie antérieure et une partie postérieure? L'intelligence ne projette point cette distinction sur l'objet. La preuve en est qu'il nous esi interdit de substituer ces dénominations les unes aux autres aussi longtemps que le corps ne change pas de position.

Avant d'aborder la solution directe de la difiiculté, remarquons le caractère relatif àe ces appellations.

Dans l'objet placé devers moi, la face qui me regarde est bien antérieure relativement à la face opposée. Le contraire se vérifie pour celui qui se trouve derrière l'objet.

De même, retourne/ le corps sur lui-même sans lui faire subir aucn.n changement, le haut devient le bas, la partie gauche prend la place de la partie droite.

On le voit, ces dénominations dépendent de la relation des parties considérées avec un terme extrinsèque. Aussi en éprouvent-elles fatalement toutes les vicissitudes.

Or, cette relativité établie, le fait allégué s'accorde sans peine avec l'unité réelle du tout continu.

Les divers rapports que nous constatons entre le corps rectangulaire et le ternie extérieur de comparaison prouvent que l'intelligence a ici sa part d'intervention, qu'elle est réellement l'agent diviseur. C'est elle qui trace, pour établir ces rapports, les lignes précises de démarcation dans l'unité indivise de la grandeur.

Lorsqu'elle appelle, par exemple, antérieure la partie du solide rectangulaire qui me regarde, elle ne se borne point à considérer l'aspect purement négatif de la surface, la simple cessation d'une extension ; car cette idée, vide de toute réalité positive, serait impossible. La surface réelle et concrète, voilji l'objet de sa perception. Or toutes les parties qui y aboutissent sont enchaînées d'une manière continue à toutes les autres parties du corps, de sorte que, vue de l'intériour, cette masse ne présente aucune délimitation interne actuelle. Que fait

l'intelligence ? Elle arrête, aux quatre lignes terminales du rectangle, le progrès du continu et fixe du même coup les contours de la surface antérieure. Le virtuel devient actuel. La même opération mentale se renouvelle pour le« autres parties, et les distinctions se multiplient sous l'influence de ce travail intellectuel.

64. Instance. — On dira peut-être : la relativité de toutes ces appellations n'élimine point toute difficulté. Placé devant un même point de comparaison, le même objet reçoit simultanément des dénominations diverses, opposées l'une à l'autre. Le haut, le bas, la droite et la gauche ne sont jamais convertibles en même temps. L'intervention de l'esprit se trouve donc ici liée à des conditions objectives diverses qu'elle doit respecter. Ne faut-il pas que dans le continu certaines distinctions réelles de parties devancent l'action de l'intelligence ?

Sans doute, aux diverses relations simultanées dont une grandeur est le point d'appui^ doivent correspondre des fondements divers. Mais il n'est nullement besoin de dépouiller le continu de son unité réelle pour découvrir des bases objectives à ces rapports multiples.

Il est en effet essentiel au tout continu de s'étendre dans l'espace, de manière que chacune de ses parties possibles occupe une position qui n'appartienne à aucune autre.

Pour que ces positions se distinguent actuellement l'une de l'autre, il suffit de les délimiter, de les circonscrire par une désignation extrinsèque. Cette délimitation n'est point cause de l'extraposition mutuelle des éléments ; elle la présuppose et son rôle unique est d'en fixer les contours.

Antérieurement à tout travail de démarcation, deux parties quelconques occupent donc deux positions différentes dans l'espace. Mais l'extension de leur département respectif reste imprécise aussi longtemps qu'on n'y introduit point de limites déterminées.

La diversité des relations repose, on le voit, sur une diversité

objective de situations spatiales, préexistante aux démarches de l'intelligence, mais incapable d'acquérir sans elles sa pleine actualité.

O'T"' ()UEST10\ : i}VEi.\.E Dlbl INCJloN J'AL'T-II. PLACER ENTRE I.A (.)UAN"1 ITIC KT f.A SUBSTANCE ?