DIX -HUITIÈME LEÇON
M. ÉUe de Beaumont IsuiU).
Kéeeiiu pentagoilal.
Messieurs,
t terminé ma derDière leçon en vous exposant les Ita empiriques dont M. Elîe de Beaumont s'est sen'i Reconnaître, dans les positions relatives des 21 grands H de comparaison, des systèmes de montagnes ob- I en Europe, des circonstances qui semblaient inditine loi de corrélation entre ces orientations. 11 fut Unené à penser que, si les grands cercles de compal des diirérents systèmes de montagnes n'étaient pas i au hasard sur la surface de la sphère, cela devait h ce qu'ils faisaient partie d'un réseau assujetti à un B principe de symétrie.
rut d'abord que ce principe de symétrie pourrait autre chose que celui qui existe dans le réseau ayant tose 8 triangles trirectangles, et composé de 3 grands • pei"pendiciilaires entre eux, et d'une série d'autres B cercles coordonnés aux premiers. Mais, ayant câlin grand nombre d'angles du réseau ainsi formé, il j|Ua que les points du quadrant dont il se rapprole préférence n'avaient pas de rapport avec ceux qui kient attirer les angles déduits de l'observation. Il px conséquence, renoncer à cette première tentative,
et se demanda s'il n'existerait pas sur la sphère un autre réseau régulier répondant à la question.
Deux, ou si l'on veut, trois systèmes réguliers de grands cercles peuvent seuls occuper la surface de la sphère d'un réseau qui la couvre entièrement.
Le premier de ces systèmes est le système trirectangulaire. Il se compose de trois plans qui se coupent à angle droit, déterminant sur la surface de la sphère, 8 triangles trirectangles égaux.
Les polyèdres circonscrits répondant à ce système sont: Toctaèdre régulier, le cube et plusieurs dodécaèdres ; enfin des solides à 24 et à 48 faces. Ces polyèdres forment le système régulier de la cristallographie.
On pourrait considérer un second système de quatre Iriangles équilatéraux de 120 degrés, lequel couvre aussi la sphère ; mais ce dernier système peut se déduire du système trirectangulaire, dont il n'est qu'une hémihédrie correspondant au tétraèdre de la cristallographie.
Un troisième système se compose de 20 triangles équilatéraux, «'assemblant, cinq à cinq, autour de douze points diilërents, par leurs angles de 72 degrés, et cinq fois 72 faisant 300, remplissent tout l'espace angulaire autour du point de réunion.
Mais on ne peut aller plus loin, on ne peut assembler autour d'un point six triangles sphériques équilatéraux, parce que, à cause de l'excès sphérique, le triangle sphérique cquilatéral a toujours un angle supérieur à G0^ On n'en peut donc réunir six autour d'un point.
Le triangle cquilatéral à angles de 12" est donc le plus petit de ceux dont la réunion peut embrasser la sphère, et il en résulte qu'au point de vue de la mécanique terrestre^ il jouit de certaines propriétés qui, sans doute, ont joué un rôle important dans l'histoire de la terre.
Les côtés des 20 triangles équilatéraux sont formés par 15 grands cercles.
Avec ces quinze premiers cordes primitifs, M. Elie de Beaumont considéra un certain nombre d'autres cercles, liés ans premiers par les relations les plus simples, et il taicula les angles que tous ces grands cercles font entre eus dans leurs intersections mutuelles. 11 ne tarde pas & reconnaître que ces angles ne sont pas indifféremment répartis sur tous les points du quadrant, qu'ils ont une propension marquée àse grouper autour do certains points, et que ces points coïncident, à peu près, avec ceus dont tendent à se rapprocher, de leur côté, les deux cent dix angles qui résultent do l'intersection deux à deux, des 21 grands cercles de comparaison, déduits de l'observation.
Dès lors, le secret du caprice apparent qui rapprochait de certains points du quadrant les angles formes par les intersections des grands cercles de comparaison provisoire pouvait être considéré comme dévoilé, et comme n'étant autre chose que la manifestation, dans l'agencement réciproque de ces grands cercles, de la loi de symétrie qui existe dans l'ordonnance des 20 triangles équilatéraux.
Ce système de grands cercles, auquel M. Elie de Beaumont donna le nom de réseau pentagonal, paraissant répondre au problème posé, il fallait l'étudier, car il n'était généralement pas connu.
Je vais résumer, aussi brièvement que possible, les principales propriétés de ce réseau.
Les grands cercles primitifs auxquels appartiennent les côtés des 20 triangles équilatéraux sont au nombre de quinze.
Chacun d'eus fournit deux côtés de triangles, placés, sur ta sphère, en opposition l'un par rapport à l'autre.
Et, comme chaque côté appartient à deux triangles contigus et doit être compté detix fois^ cela donne les soixmtit côtés des 20 triangles.
hes soixante angles de 72"" des 20 triangles se réunissent cinq à cinq en douze points D, dont chacun est l'antipoile d*un point semblable.
En chacun de ces points D, chaque angle est opposé à un côté, il est divisé en deux parties égales par un des grands cercles dont la prolongation divise en deux parties égales ce côté opposé.
Cette prolongation passe par le centre I du triangle, forme un des apothèmes de ce triangle, puis l'apothème d'un triangle voisin. Et, comme la même chose se passe à l'antipode du point D, le même cercle forme encore les deux apothèmes, en tout quatre apothèmes ; et, comme il y a quinze cercles, on a ainsi les soixante apothèmes des 20 triangles.
Les trois apothèmes de chaque triangle équilatéral se croisent^ en son centre, sous des angles de 60 degrés, et se divisent en six triangles scalènes égaux et symétriques deux à deux, dont les angles sont de :
La sphère entière se trouve ainsi partagée en 120 triangles rectangles scalènes.
Quatre de ces 120 triangles peuvent être réunis par leurs angles droits en un point H.
Ainsi, les quinze grands cercles primitifs, en se coupant sur la surface de la sphère, donnent :
120 triangles scalènes rectangulaires égaux (angles de 90% 60% 36*),
Dont :
6 se réunissent au point I pour former 20 triangles équilatéraux (72'') ;
4 se réunissent au point H pour former 30 losanges (120% 72») ;
10 se réunissent au point D pour former 12 pentagones (120*).
Tout cela forme un système assez complexe, qu'il serait assez difficile de se représenter sans figure, aussi est-il convenable, pour se bien rendre compte des relations de ces diverses parties, de la figurer sur une boule en bois, par exemple.
Quelque chose d'analogue existe pour le système trirecfangulaire, chacun des 8 triangles trirectangles, qui eml>rassent la sphère entière, peut être partagé en six triangles rectangles scalènes égaux. Ils peuvent aussi être groupés, sans changer de place, en 12 losanges et en fi quadrilatères à angle de 120''.
Ce système, s'appelant le réseau quadrilatéral, celui des 1 20 triangles scalènes s'appellera le réseau pentagonal, le Quadrilatère dans Tun jouant le même rôle que le pentagone dans Tautre.
Examinons maintenant les principales propriétés de la ^3^étrie pentagonale.
U suffit, pour cela, d'étudier les différentes figures aux- ^^elles les 15 grands cercles primitifs du réseau donnent '<eu par leurs divers modes de groupement.
1 * Les cordes des trois côtés de chacun des 20 triangles
^ Uilatéraux forment un triangle équilatéral plan d'où ré-
*^ltent 20 faces, et leur réunion forme un icosaèdre régu-
^^^ inscrit dans la sphère, et dont les sommets coïncident
^^'"^c les centres des douze pentagones (point D).
S"" Les cordes des cinq côtés de chacun des douze pen-
tagones forment par leur réunion un dodécaèdre penta* gonal ou régulier, inscrit dans la sphère, et dont les sommets coïncident avec les centres des 20 triangles équilatéraux (point I).
3"" Chacune des trente intersections rectangulaires des grands cercles primitifs occupe le milieu de Tun des trente losanges résultant de l'assemblage quatre à quatre des 120 triangles rectangles scalènes.
Si par ce point milieu (point H) on mène un plan tangent à la sphère, on obtient un solide circonscrit à la sphère, et composé de trente losanges égaux.
On peut obtenir un solide inscrit, plus petit, mais absolument semblable, et dont les sommets quintuples se réuniraient aux centres D des pentagones, et les sommets triples aux centres I des 20 triangles équilatéraux.
Voilà donc trois solides dérivant directement de la symétrie pentagonale.
Mais la symétrie pentagonale se lie elle-même à la symétrie quadrangulaire.
Il est aisé de voir que les cent vingt triangles rectangles scalènes peuvent, sans aucun déplacement, être groupés par la pensée de manière à donner un système trirectangulaire (ou plutôt, plusieurs systèmes trirectangulaires).
Ce groupement peut s'eflectuer de cinq manières différentes, et on obtient ainsi cinq systèmes trirectangulaires indépendants les uns des autres, et assemblés suivant les lois de la symétrie pentagonale.
Chacun des cinq systèmes trirectangulaires peut donner de la même manière :
1 cube,
1 octaèdre,
2 tétraèdres qui en dérivent par hémihédrie, 1 dodécaèdre rhomboïdal.
On a donc, dans le réseau pentagonal, par ce fait :
3 cubi 5 octaèdres, 10 tétrafedres, 5 dodécaèdres rhomboïdaiix,
assemblés suivanl les lois de la sj'motrie penlagonale; ce (]ui conslilue un système de solides ijui donnera les grands cercles susceplibles de conciaurir avec les quinze grands cercles primitifs à la représentation de la symétrie pentagonale.
Pour cela, c'est-à-dire pour obtenir les grands cercles, il faut mener par le centre de la sphère six plans parallèles respectivement aux douze faces du dodécaèdre régulier.
Ces six plans dctermineronl,surla surface de la sphère, sis grands cercles qui auront pour pôles les centres des douze pentagones réguliers.
Ces six grands cercles seront seuls dans leur espèce ; ils constitueront en quelque sorte l'expression la plus élevée de la symétrie penlagonale.
Ce seront Icî si.\ dodécaèdres réguliers.
Puis, dix plans, respectivement parallèles aux dix faces de l'icosaèdre régulier.
D'où, dix cercles, ayant pour pôles les centres I des vingt triangles Oquilatéraux.
Après les précédents, ils forment l'expression la plus concentrée du réseau pentagonal.
Dix icosaédriques.
Plus tard aussi nommés octaédriques.
Puis, i5 plans respectivement parallèles aux 30 faces du solide régulier à 30 losanges.
1) est facile de voir que ces lii grands cercles dont les
pôles sont aux centres H des trente losanges, ne sont autres que les lo grands cercles primitifs.
Employons maintenant les solides dérivés des cinq sys< tèmes rectangulaires.
l"" Mener, par le centre de la sphère^ des plans parallèles aux six faces de chacun des cinq cubes, cela fenit 15 grands cercles; mais il est facile de voir que ces plans coïncident avec les 15 grands cercles primitifs.
2*" Mener, par le centre de la sphère, des plans parallèles aux faces des cinq octaèdres, ou, ce qui revient an même, aux diagonales des cinq systèmes trirectangulaires.
Chaque système trirectaugulaire a quatre diagonales, ce qui ferait vingt cercles.
Mais, chaque diagonale étant commune à deux systèmes trirectangulaires, le nombre des cercles est réduit à 10.
De plus, ces 10 diagonales des systèmes trirectangulaires ne sont autre chose que les diamètres de la sphère, qui joignent deux à deux les centres des 20 triangles équilatcraux; de sorte que les 10 plans qui leur seraient perpendiculaires rentrent dans ceux des icosaédriques.
D*où le nom d'octaédriques, plus facile à prononcer, donné à ces derniers.
3* Mener, par le centre de la sphère, des plans respectivement parallèles aux faces des cinq dodécaèdres rhomboïdaux.
D'où 60 faces, parallèles deux à deux.
D'où 30 cercles, perpendiculaires deux à deux, aux plans des 15 grands cercles primitifs, et ayant leurs pâles aux points T, sommets de petits pentagones situés symétriquement au milieu des douze grands pentagones.
30 dodécaédriques rhomboïdaux.
On a donc ainsi déjà :
— sas —
I ■ 6 dodécaédriques réguliers (donnés par le tif^onal] ;
10 oclaédriques, ou icosaédriques ; IS grands primitifs {donnés i la fois par les deux réseaux} ;
l 30 dodécaôdriques rhomboïdaux (donnés pai' les cinq
Hqrstèmes trireclangulaires).
En tout 61 grands cercles liés à la symétrie pentagonale et qui peuvent perœellre un essai de représentation des systèmes de montagnes.
Mais ces 6) grands cercles ne peuvent pas plus suffire au stratigraplie ponr représenter les accidents de ia surface du globe, qu'il ne peut suffire au cristallogi'aphe, pour représenter tous les cristaux du système régulier, d'avoir considéré le cube, l'octaèdre, et le dodécaèdre rhomboïdal.
Le cristallographe est obligé d'introduire des moditicalions qui n'étant pas fournies par un seul plan, symétrique sur les angles ou sur les arêtes, sont susceptibles de donner un nombre de formes infini, puisque la seule condition est que, s'il y a deux plans, sur une arête, par exemple, ces deux plans soient également inclinés sur les deux arêtes, et de nn^me pour chacune des six arèles.
Tels sont des solides, comme ;
Les hexatétraèdres, ou solides à 24 faces engendrés par par deux plans également inclinés sur l'arêle du cube.
Les trapézoèdres, ou solides à 48 faces engendrés par trois plans également inclinés sur les trois arèles qui concourent à un même angle solide.
Enfin, on considère des solides dans lesquels manque une moitié des faces :
Hémièdres : tels sont les tétraèdres, hémiédrie de l'octat-dre régulier :
eau pen- ■
) cercles I
Les dodécaèdres pentagonaux, hémiédrie de Thezatétraëdre.
Cependant, il faut remarquer que si, par le mode de génération, ces solides (autres que le cube, Fociaèdre et son hémiëdre, le tétraèdre régulier qui a seulemeut deox formes symétriques, gauche et droit, et le dodécaèdre rhomboïdal) peuvent exister en nombre infini ; la nature ne réalise jamais, pour chacun d'eux, qu'un très-petit nombre de combinaisons, qui correspondent à des rapports très-simples entre les deux lignes qui représentent Tinclinaison des faces modifiantes.
On sera donc aussi, sans doute, en droit de demander au système pentagonal quelque limitation analogue à celle que la nature impose aux cristaux des substances miné^ raies.
Il a été naturel de rechercher, dans la symétrie du réseau pentagonal et des plans qui en dérivent, des combi* naisons analogues, et qui permissent de représenter les directions des systèmes de montagnes^ comme les solides, dérivés du cube, représentent les formes des cristaux naturels.
On obtiendrait ainsi des grands cercles dérivant des grands cercles principaux, mais en supprimant une des conditions qui fixent ces derniers dans la position limite qui leur appartient, et reflétant cependant encore d'une manière très-marquée la symétrie pentagonale.
Mais avant d'entrer dans la définition de ces nouveaux cercles, il sera utile de convenir d'un moyen de représenter sur une projection plane tous les éléments du réseau pentagonal .
Projection gnomonique. — On éprouve de grandes difficultés à représenter, sur un tableau ou sur une épure, des
grands cercles de la sphère, oociipani ('es positions diverses.
H* Ce n'est ordinairement ni des projections, ni des Hgures ^^n perspective, et si les relations devieaneDt compliquées, on s'y perd, d'où l'emploi de la projection gnomonique.
C'est fa projection de la surface de la sphère sur un de ses plans tangents, par la proloogation, pure et «impie, des rayons partant du centre.
Sur une pareille projection, tous les grands cercles sont représenlt'S par des lignes droites, et, réciproquement, toutes les lij^nes droites représenlent de grands cercles.
Les arcs égaux peuvent y ^tro représentés par des ligues int'gales, ceux qui partent du centre de projection sont représentés par des longueurs, ayant avec eux des rapports plus ou moins complexes. Une partie des angles ont des ouvertures difl'érenles de celles qu'ils ont sur la surfane de la sphère.
On ne peul donc y mesurer, d'une manière certaine, ni les arcs, ni les angles. Mais on peut y suivre la manière dont tes arcs s'entrecroisent, et cela avec une précision aussi parfaiîe qu'on le voudra.
Revenons maintenant aux moyens d'obtenir Il'B cercles dérivés que nous cherchons.
Pour obtenir ces cercles, il faudra mener, par le centre do la sphère, des plans paralli-les à des faces de solides appartenant soit à la symétrie pentagonale propre, soit à l'agencement des cinq systèmes trirectangulaires qu'elle contient, mais déterminées, de manière qu'on ait supprimé «ne des conditions qui, dans les solides considérés jusqu'ici, imposaient une limite h leur nombre.
Ainsi dans le réseau penlagonal :
p Amsi
Les 6 plans parallèles aux 12 faces des pentagones réguliers, et donnant les 6 dodécaédriques réguliers.
Les 15 plans parallèles aux 30 faces des losanges donnant les 15 plans primitifs.
Les 10 plans 'parallèles aux 20 faces de ricosaèdre régulier, donnant les 10 icosaédriques.
Dans les 5 systèmes trirectangulaires :
r Les 15 plans parallèles aux 30 faces des 8 cubes, ce qui redonne les 15 primitifs.
2® Les 10 plans parallèles aux 40 faces des 5 octaèdres (ces faces sont parallèles quatre à quatre], ce qui donne les 10 octaédriques se confondant avec les 10 icosaédriques.
S"" Les 30 plans parallèles aux 60 faces des 5 dodé* caèdres rhomboïdaux, ce qui donne les 3 dodécaédriques rhomboïdaux.
Les solides dont les faces sont parallèles à ces cercles d'intersection, sont pour les systèmes trirectangulaires:
Le cube, forme primitive ;
L'octaèdre et le dodécaèdre rhomboïdal engendrés par une modification unique sur les arêtes du cube.
Cette modification étant unique, il en résulte que le plan modificateur doit être placé symétriquement par rapporta tous les éléments, qu'il touche, il est donc ainsi parfaitement déterminé. Supprimons cette condition, voici celle qui reste nécessaire pour le cube, d'après sa symétrie.
La modification sera nécessairement : un multiple de deux sur les arêtes, un multiple de trois sur les angles trièdres.
Les plans de troncature ne devront satisfaire qu*à une seule condition, c est que, sur les arêtes, ils seront également inclinés sur les deux faces séparées par ces arêtes.
Sur les angles, les 3 plans seront également inclinés sur les 3 faces quis'y réunissent.
Do reste, rinclinaison de ses plans pourra être quelconque; donc, leur nombre est infini.
Mais, si leur nombre est infini, leurs espèces sont trèslimitées. Voici à quoi elles se réduisent :
1* Sur les arêtes : deux facettes également inclinées sur les deux faces séparées par ces arêtes ; les arêtes étant au nombre de 12, le solide qui en résulte a donc 24 faces. C'est rhexatétraèdre de Haùy. Terminé, il représente le cube portant sur chacune de ses faces une pyramide triangulaire.
L'hexatétraèdre a une hémiédrie qui donne un dodécaèdre pentagonal, mais il est facile de se figurer Thexatétraèdre, comme composé, à la fois, de ses deux hémièdres : un dodécaèdre pentagonal droit ; un dodécaèdre pentagonal gauche.
Si Ton mène par le centre de la sphère des plans parallèles aux 24 faces de Thexatétraèdre, on obtient douze grands cercles, qu'on pourra appeler indifféremment: hexatétraédriques, ou dodécaédriques pentagonaux; et l'on aura autant de systèmes de douze hexatétraédriques, qu'on aura mené de plans doubles, également inclinés sur les deux faces du cube ; c'est-ii-dire un nombre infini.
De même, les modifications sur les huit angles trièdres, au lieu de donner un nombre infini de solides, ne présentent, dans la nature, que trois solides :
Le trapézoèdre,
L'hexakisoctaèdre,
El l'octatrièdre.
Sur les faces, enfin, on aura un solide composé de douze pyramides triangulaires, ayant pour base chacune des faces du dodécaèdre rhomboïdal.
On peut alors transporter, comme nous l'avons indiqué, dans le réseau pentagonal, les plans qui correspondent &
— liio —
ces divers solides, provenant des cinq systèmes trirectangulaires : hexatétraèdres, trapézoèdres, pyramides ayant pour base les faces du dodécaèdre rhomboïdal.
On a nommé les cercles correspondant à ces trois solides : hexatétraédriqnes, trapézoédriques, et diagonaux. Ce dernier nom provenant de ce que les plans qui les déterminent passent par les points de la surface de la sphère où aboutissent les diagonales des cinq systèmes trirectangulaires. Ces points sont au nombre de vingt; on peot, enfin, faire la même opération pour les solides résultant directement de la symétrie pentagonale, c'est-à-dire pour le dodécaèdre régulier, Ticosaèdre, et le solide composé de trente losanges.
Sans entrer dans le détail de ces opérations, on arrive, en résumé, à ceci que les cercles que l'on est amené à introduire comme auxiliaires les plus directs dans le réseau pentagonal, constituent quatre espèces :
Comme il y a quatre espèces de cercles principaux qui sont :
Les diamétraux,
Les hexatétraédriquesou dodécaédriques pentagonaux.
Les diagonaux,
Les trapézoédriques,
Et ils passent par les points :
D, centres dos 12 pentagones (pôles des 6 dodécaédriquos réguliers).
Il, centres des 30 losanges (pôles des 15 cercles primitifs).
I, centres des 20 triangles équilatéraux (pôles des 10 icosaédriques ou octaédriques).
T, milieu des arcs de 90° qui joignent deux i\ deux les intersections rectangulaires des grands cercles primitifs.
ou, si Ton veut, milieu de deux arcs H H consécutifs (pôles des 30 dodécaèdres rhomboïdaux).
Ces cercles auxiliaires ainsi introduits, passant ainsi tous parles pôles deTun des grands cercles principaux, coupent nécessairement ce grand cercle à angle droit.
Ces grands cercles auxiliaires sont donc tout simplement les perpendiculaires à chaque espèce de grands cercles principaux, et le réseau, limité à ces cercles, est composé simplement des grands cercles principaux et de tous leurs perpendiculaires.
. Lie réseau pentagonal, ainsi défini et limité à quatre espèces de cercles principaux, et h quatre espèces de cercles secondaires, perpendiculaires respectivement aux quatre espèces de cercles principaux, reste cependant infini, quant au nombre des cercles, puisque par deux points antipodes l'un de Tautre, comme :
2 points D, 2 points I, 2 points II, 2 points T,
on peut toujours faire passer un nombre infini de cercles. Mais, il est évident qu'entendre, avec cette largeur, le réseau pentagonal, deviendrait une règle absolument illusoire, puisque étant donnée une direction quelconque i la surface de la sphère, on pourrait toujours trouver, dans le réseau pentagonal, un cercle qui s'y adapterait.
Mais il y a un moyen bien naturel do donner un critérium qui permette de choisir, dans le nombre infini des Cercles d'une espèce, ceux qui jouissent d'une Haison plus intime avec la svmùtrie du réseau.
Ce moyen consiste à rechercher ceux de ces cercles, qui, outre les points principaux par lesqut'lsils doivent passer.
rencontrent encore sur leur route d'autres points principaux.
Et, dans cette considération des points importants du réseau, on sera naturellement amené à considérer, nonseulement les quatre espèces de points principaux :
D, II, I, ï,
mais encore des points où les cercles principaux se rencontrent à angle droit.
Tels seront les points a, où les cercles primitifs rencontrent^ à angle droit, les octaédriques (pôles d'hexatétraédriques) ;
Et les points 6, où les cercles primitifs rencontrent, à angle droit, les dodécaédriques réguliers (pôles d*hexatétraédriques);
Et même les points c, où les octaédriques rencontrent, à angle droit, les dodécaédriques rhomboïdaux (pôles detrapézoédriques, perpendiculaires en T aux octaédriques).
En jetant un coup d'œil sur la représentation gnomonique d'un des pentagones, on voit que chaque pentagone contient 5 points a, qui divisent en deux parties égales les côtés du petit pentagone T, T, T, T, T.
5 points è, qui divisent en deux parties égales les côtés d'un pentagone intermédiaire H, H, H, II, H, formé par les dodécaédriques réguliers.
Enfin, 10 points c, qui ne présentent qu'une symétrie bien secondaire dans le dessin de chaque pentagone.
On est ainsi amené à considérer, dans le réseau pentagonal, outre les cercles principaux et secondaires, les points principaux et secondaires suivants :
1" Ordre : 12 points D ; 2* ordre : 20 points I, 30 points II (points principaux déterminés par la rencontre de primitifs entre eux).
3' Ordre : 60 points T ; 4' ordre : 60 pointa A , 60 points B (points demi-principaux déterminés par l'intersection rectangulaire de cercles primitifs avec d'autres cercles principaux] .
3' Ordre: 120 points C (déterminés par l'intersection rectangulaire d'oclaédriques et de dodécaèdres rhoraboïdaux.
On peut les suivre sur la sphère ou sur la représentilion gDomonique d'un pentagone dont j'ai parlé dans lii dernière séance.
Les points T se distinguent 1res- nettement, d'ailleurs, des points A et B.
1° Parce qu'outre le primitif et dodécaédriquc rhumloïdal qui s'y coupent ù angle droit, il y passe encore deux fjciaédriques symétriquement placés; car leurs deux angles, aigus et obtus, d'intersection, sont précisément divisés en deux parties égales respectivement par le dodécaédrique rhomboïdal et le primitif ;
2° Parce que ces points T sont les sommets d'un petit pentagone concentrique au grand et formé par cinq octaédriques ; comme les points I sont les sommets de ce grand pentagone formé par les primitifs, et comme les points 11 sont les sommets d'un pentagone intermédiaire, symétrique aux deux précédents et formés par les dodécaédriques réguliers.
On limitera de cette manière le nombre des cercles employés dans chaque catégorie. Ainsi les cercles assujettis par leur détinition ii passer seulement par deux points H (antipodes l'un de l'autre), sont en nombre infini ; mais si ou leur impose, eu outre, la condition de passer par quatre points a [antipodes l'un de l'autre), ce qui donnerait la notation Jl. ft. a. H aa, etk cause de la similitude des deux
hémisphères, seulement II. a. a, on aura seulement 60 cercles qui répondront à cette définition dont 30 d'une espèce (pôle L 5), et 30 de Tautre (pôle L 6).
Cette concentration sera d'autant plus grande que le nombre des points par lesquels le cercle devra passer sera plus considérable, et que ces points appai*tiendront, dans l'échelle pentagonale, à une situation plus élevée,
La considération des dodécaédriques rhomboîdaux fait déjà entrer la représentation du réseau pentagonal dans une voie moins directement en rapport avec ses éléments constitutifs; puisque les points T qui leur servent de pôles ne sont plus déterminés comme le points D. H. et I. parla seule rencontre des quinze cercles primitifs.
II n'y a plus qu'un cercle primitif qui y passe, de sorte que, dans le réseau tout à fait primitif des quinze cercles, il n'y aura point à considérer de points T,
Je proposerais de les ranger ainsi :
Nombres. Pôl«.
il«f ordre : Primitif.Ti 15 j H oo ,^t./irn S Octiédriques 10 > 31 I - '^^^^^^ } Dodécaédriques ré-alici-s. . . 6 ) D
f 3® ordre : Dodécaé'lriijiics rhomboîdaux
r. ... l bi.<6ecleiirs de ran^Ie droit 30 \ T
