C. semi-priucipaux \ , Bi^scdriirs de . Ilcxatélrat

.. ^" ) .« ^^.^ ) Paiiple de GO- ) (iriques^... 30 - 90 a

bis^ejteurs. / 4e ordre ^,,^^^^^,^ ^^ i)„.j,?e. peu-

\ ^ l'angle de 3G0 ( lagouaiix.. 30 ) 6 En tout '. i2l

Aussi M. Pouyannft ne considère-t-il pas les dodécaédriques rhomboîdaux comme devant faire partie du même cadre que les autres cercles principaux du réseau. 11 les rapproche sous le nom de semi-principaux de deux autres espèces de cercles qu'il appelle, comme les dodécaédriques rhomboîdaux, biseclcurs du triangle rectangle scalène. Ce groupe comprend donc :

Les dodécaédriques rhomboîdaux, bisecteurs del'anf^le, droit pôles T.

n 1, bisecteiii'3 de 1 D, bisecteurs de

2" Les bisecteurs de l'anylo de (jO" l'angle droit, pùles A.

3° Les bisecteurs do l'angle de 36° i l'aagle droit, pôles B.

Ces diverses remarques nous montrent que, pour que l'application du réseau pentagonal puisse se faire d'une manière qui rappelle l'application du système de Ilaûy, aux cristaux naturels, il faut que le géologue n'emploie, autant que possible, que les cercles qui se dérivent avec une symétrie assez grande des lois du réseau penlagonal, et que, s'il est obligé d'user des derniers cercles pour la représentation d'un systfeme, il faut que ce soit très-rarement.

En appliquant le calcul des probabilités à la manière dont M. Etie de Beaumont a représenté les 24 syslèmes de montagnes sur la surface de l'Europe au moyen du réseau pcntagoual; en faisant abstraction du Utmdmck et des Alpes occidentales, quî sont identifiés à des cercles de 3° catégorie, et retranchant l'Oural elles Açores, placés en dehors de l'Europe, le Ténare et l'axe volcanique qui ont servi â installer le réseau, M. Pouyanne trouve que, sur les J 8 systèmes qui restaient, A apparliennent aux trois premières séries.

Ce calcul montre donc que l'application, faite par M. Elie de Beaumont du réseau pentagonal aux accidents géologiques de l'Europe centrale et occidentale, roste bien au-dessus de cette objection, que le grand nombre des cercles considérés pourrait donner une telle facilité de représenter les phénomènes naturels, que la valeur de l'introduction du réseau pentagonal dans la question serait prf'sque annulée.

Dans la prochaine leçon, qui fera ta dernière, j'examilerai la manière dont M. Elie de Beaumont a cru devoir

^—DiGrai m

adapter le réseau pentagonal à Tensemble des accidents de la surface terrestre, et je discuterai quelques-unes des confirmations de la méthode, et aussi des objections qui lui ont été faites.

Je voudrais terminer celle-ci par quelques mots sur la notion du poids des cercles^ et enfin par de courtes considérations théoriques par lesquelles M. Elie de Beaumont a cherché à expliquer comment on pourrait se rendre compte des circonstances qui ont pu produire la réalisation du réseau pentagonal à la surface du globe.

Le réseau pentagonal divise la surface de la sphère en 120 triangles rectangles scalènes égaux et symétriques deux h deux. Un point quelconque pris dans l'intérieur d'un de ces triangles a son homologue dans tous les autres, d'où il résulte qu'il y a toujours, sur la surface de la sphère, 120 points d'une espèce déterminée quelconque; il y a, par exemple, 120 points C.

Néanmoins, il y a des exceptions apparentes, par exemple, pour les points placés à la limite de deux triangles; ils appartiennent à la fois aux deux triangles, de sorte qu'il n'y aura que 60 de ces points, ainsi points T, «, b.

Mais, chacun de ces points pourra être considéré comme double^ et comme résultant de la réunion, à la limite, de deux points qui, placés symétriquement dans deux triangles contigus, se sont rapprochés de manière à se confondre.

Ainsi les points T, les 60 points a^ les 60 points A, peuvent être considérés comme représentant 120 points T, 120 points a, et 120 points A, qu'on peut supposer placés deux à deux à des distances infiniment petites.

De môme chacun des 30 points H, placé à la réunion des angles droits de six triangles scalènes, peut être décomposé en 4 points H.

Chaque poinL 1, situé à la réunion des angles de 611" de triangles rectangles scalcnes, peut ùtre décomposé en oints I.

Ihaque point D, situé à la réunion des angles de 36° de triangles rectangles scalènes, peut être décomposé en

points D.

in appliquant ce principe de classificalion, et en faisant

calculs nécussaires, M. Elle de fieaumont arrive aux ibres suivants pour représenter le poids d'un ceixle du ;au.

le son Lôlê, M. Pouyanne a repris la question un peu àremment, et il arrive à des résultats qui difTèrent sensînent de ceux de M, Elie de Beauniont.

'oici les deux appréciations pour les quatre séries de :ips principaux :

B Poirl» ■]« oenJcs. liliu ck BetominiL. l'ui.>innP.

• lotal ilu réseau " BK.OôJ

litif I.IUI OSl

édrique . ûlu 8flf

'caédrique régulier ;iliU BtO

îcaédrique rhoniboïdol loi 216

icteur I. H .. iS

îcUur D. H in il)

il^traédrique U fi. T. T. 6, HTft t T. . . - .. Un

HoTTa r,i fil)

Il h a II b. Ha hba 'ii ^ J2

Il ad I(i ' m

lette notion des poids relatifs des cercles du réseau ne t que nous afTermir dans la pensée que le véritable et moyen de montrer les rapports entre les accidents .éraux de la surface du globe et les éléments du réseau tagonal, sera de chiTcher, autant que possible, à repréler théoriquement les premiers par dos cercles pris OÙ les plus importants du réseau.

Il est évident^ en effet, que ces derniers sont plus intimement liés que les autres à la symétrie pentagonale, etlui rattachent bien plus directement le système naturel des fissurations du globe.

Il est d'ailleurs naturel, sans attacher une importance absolue aux considérations qui vont suivre, de se demander comment on pourrait, d'une manière générale, s'expliquer l'établissement de ces grands cercles conune représentation des grandes lignes d'accidentation terrestre.

« Bien que nous nous soyions jusqu'à présent abstenus, a dit M. Elie de Beaumont, de toute considération théoce rique, il semble naturel de se demander s'il n'est pas a possible de justifier par des remarques à priori^ Téta- « bliscement d'un système régulier, comme le réseau penu taironal.

a D'abord, tous les phénomènes se passant sur la surface a d'une sphère, s'ils ne se sont pas produits d'une ma- <c nière quelconque et indéterminée, la loi qui les régit c( doit (Hre liée avec les propriétés géométriques de la c( sphère et il est naturel de penser que ce sera l'arrangec ment le plus symétrique, et en quelque sorte, exigeant 0 le moins d'efforts, qui se sera réalisé.

c( Or, c'est ce qui arrive pour le réseau pentagoîiaL

a Consi(térons reflet de la contraction que la masse a interne du globe a éprouvée de siècle en siècle, par suite « de son re/roidisseinent progressif. Cette contraction, cf quoique tendant à déterminer sur Técorce du globe une « compression et non un écartement, produit cependant « des effets analogues à ce qui se passe dans le basalte i( qui, en se refroidissant, se divise en prismes, à 3, 4, et a plus souvent à 6 faces. Dans le cas du basalte, qui par G les dimensions mêmes des phénomènes peut être consi-

iàété comme se refroidissant dans un iilan, les prismes ont 3, 4, ou fi faces ; parce que te Irianple équilatéral, te carré et Vhesa^one régulier sont les seuls pol3'gones réguliers qui soient susceptiblci^ de couvrir un plan de parties toutes égales entre elles.

0 Mais ces conditions de symétrie changent quand on passe du plan k la spli'n'e.

9 Nous avons montré qu'une surface sphéiique, k cause des exc^s sphériques, n'est pas divisible en hexagones réguliers, ni en carrés ; et qu'elle ne peut dire divisée qu'en triangles équilatéraux, en losanges réguliers^ et en pentagones réguliers.

« Et de n?ême que, sur le plan, Vhexngone est le polygone qui a le plus grand nombre de côtés, et le périmètre minimum, le pentagone, sur la sphère, ayant les mêmes propriétés, y joue précisément le même rûle que l'hexagone régulier dans le plan.

o De sorte que, les quinze gi-nnds cercles qui divisent la sphiire en douxe pentagones réguliers jouissent d'une propriété de contours minimum, qui en fait le système de lignes de plus facile éo'asement. Si tous les ridements de l'écorce terrestre s'étaient produits simultanément, ces quinze cercles' se seraient peut-être dessinés seuls : mais, comme la production des dillerents systèmes de montagnes a été successive, les cercles oclaédriques, dodécaédriques et autres, ont été probablement les intermédiaires nécessaires, pour passer de l'un à l'autre des cercles fondamentaux.

B Tout ensemble, ajoute M. Elie de Beaumonf, constitue peut-être comme ime sorte de clavier, sur lequel la nature, toujours en action, exécute, depuis que le globe terrestre a commencé à se refroidir, une sorte ! d'harmonie séculaire. »

Le réseau pentagonal étudié et connu, après avoir constaté d'une manière générale la similitude ou l'analogie des angles qu'il contient avec ceux qui avaient été donnés par la discussion des observations de direction, et par conséquent, la grande probabilité que ces cercles s'appliqueraient à la représentation de ces directions ; il fallait l'installer dune manière définitive, de manière à désigner, parmi les cercles principaux auxiliaires du réseau pentagonal, celui qui devait représenter chaque système de montagnes.

La considération des valeurs des angles ne suffisait pas pour y parvenir; car, chaque valeur d'angle des cercles donnés par Tobservation pouvait être rapprochée, en général, de plusieurs valeurs d'angles tirées du réseau, qui en différaient toutes de quantités inférieures aux erreurs possibles des observations.

Ces valeurs se rapportaient à des parties du réseau trèsdifférentes les unes des autres, et leur adoption aurait placé le réseau dans des positions tout à fait dissemblables sur la surface du globe. C'était un dédale à peu près inextricable, et dont il aurait été très-difficile de sortir, même après avoir calculé un nombre extrêmement considérable d'angles formés par les cercles du réseau.

11 y avait là une donnée première à chercher qui n'était comprise, ni explicitement ni implicitement, dans la notion abstraite du réseau pentagonal.

Il fallait trouver, au milieu des irrégularités infinies des accidents orographiques, un point de départ assuré pour placer la figure parfaitement régulière du réseau pentagonal dans la position précise oii elle a présidé à leur production.

M. Elie de Boaumonl, arrêté d'abord par cette difficulté, imagina de la tourner par un expédient, en quelque sorte,

mécanique. Il pensa que, &i les lois de lit symétrie penla- ^onale étaient réellement empreintes dans les formes orographiques qui accidentent l'écorce terrestre, les quinze grands cercles primitifs du réseau devaient en représenter, en quelque sorte, la forme primitive, et les autres grands cercles principaux les formes dérivées les plus importantes, et que, si on mellait en repard l'un de l'auîre un globe terrestre et un réseau pentagonal réduit à ses cercles principaux, on devrait pouvoir, h la simple vue, saisir entre eux des rapports qui conduiraient à trouver la position dans laquelle le réseau est réellement en harmonie avec les conSgurations géographiques; que, si une représentation du réseau pentagonal était promenée sur la surface d'un globe terrestre on parviondrait bienlùt à saisir, entre les cercles principaux du réseau et les grandes configurations orograpbiqiies, des relations qui permettraient de mettre le réseau à saplace, à la suite de quelques essais.

En conséquence, il plai;a sur un globe de 50 centimètres de diamiilre un filet mobile (en tils de soie), composé en principe de vingt mailles nyanl chacune la forme d'un triangle équilatéral de la grandeur voulue pour que le filet s'a]iplique exactement sur la surface sphérique et l'embrasse avec une rigoureuse précision. Puis, sans compléter d'abord enlifarement le réseau, il y ajouta les cercles et portions de cercles nécessaires pour en rendre la forme et les principales applications faciles à comprendre et à exécuter.

11 y figura, outre les grands cercles primitifs, auxquels appartiennent les côtés des vingt triangles équilatéraux, une partie des autres cercles principaux du réseau, des octaédriques, des dodécaêiiriques réguliers, des dodécaédriquesrhombnïdaux^ et même quelques cercles auxiliaires. Les cercles étalent liés entre eux d'une manière invariable.

mais leur ensemble était mobile sur la surface du globe. Quelques tâtonnements préliminaires le conduisirent à installer tout simplement le réseau sur le triangle trirectangle, ou à peu près tel, qu'il avait trouvé être formé par les grands cercles de comparaison provisoires des systèmes du Tmare^ de Taxe volcanique de la Méditerranée, et de la grande traînée volcanique des Andes et du Japon. Ce triangle se trouvait représenté par un grand cercle primitif (Ténare) et par deux dodécaédrtques rhomboîdaux. Un point T coïncidait avec TEtna, un centre de pentagone tombait vers le milieu VAUemagne, et le grand cercle primitif, qui passait à l'Etna, touchait le Vésuve, et allait passer au Monna Roa, dans les îles Sandwich. On pouvait voir, d'un coup d'œil, qu'installé de cette manière, le réseau s'adaptait assez heureusement, et même avec des circonstances d'une précision vsingulière, qu'il était difficile de considérer comme fortuites, à la structure de la surface entière du globe.

M. Elie de Beaumont présenta ce réseau ainsi installé à rAcadémic des sciences dans la séance du 9 septembre 18*)0, accompagné d'une Note sur la corrélation des directions des différents systèmes de inontagnes^ qui a été imprimée clans les comptes-i^endus^ tome XXXI, page 32îi, et qui a été développée dans la Notice sur les systèmes de montagnes.

Une étude attentive, poursuivie au moyen de réseaux funiculaires, établis sur différents globes et de constructions correspondantes, exécutées sur un grand nombre de cartes, ayant confirmé M. Elie de Beaumont dans le choix de l'installation qui vient d'être indiquée, il n'hésita plus à la traduire en chiffres.

La position du réseau était déjà fixée par la coïncidence d'un point T avec l'Etna et par la direction du grand

cercle primitif, qui de ce point allait passer au Monua Roa, mais, il la fixa plus explicitement encore, en annonçant que le centre du pentagone, qui embrasse l'Europe, était situé par lat. 50^ 46' 3" 08 N, long. 8** 53' 31" 08 E de Paris, et que l'orientation, en ce point, de Tun des côtés des vingt triangles équilatéraux était N 13° 9' 41" 03. 0. Ces trois chiffres déterminaient implicitement la position de tous les points du réseau pentagonal. Ils permettaient de calculer pour chacun d'eux sa latitude, sa longitude, et l'orientation des cercles qui y passent, en se servant des valeurs, déjà calculées pour beaucoup d'entre eux, des arcs et des angles qui lient mutuellement, de proche en proche, tous les points du réseau.