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- , -r 'j'z dt
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à celle équation, il faut associer
■ çôï -l-ïi'î»! -t- Ç'î£ = O.
(.*n en tiie. par la méthode ordinaire des mulliplica-
rs:-
leurs .
KXEIU.ICKS I>F. MÉCVMl.aF.
dr-
dt'
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La longueur / est arbitraire ; si l’on pos<‘
les trois équations précédentes coineidcnt avec les équations bien connues du pendule conique.
Ainsi ce procédé , très-didérenl des deux premiers, nous ramène à la même conclusion , à savoir que la tige se meut
comme un pendule simple de longueur a -h — •
Poursuivons maintenant la recherche des principaux résultats renfermés dans les équations (i) et ( 2 ).
On tire de ces équations les valeurs de /h et r/if en fonction de 6,
sin 6 d^
Ces Ibrmules sont, réductibles aux fonctions elliptiques , <!i ne peuvent conséquemment s’intégrer que par approximation. Quand la tige sera homogène, on aura aisément la longueur du pendule simple correspondant. Si l’on supposait, par exemple, que le point fixe O lût ruue des extrémités delà tige, on trouverait, en désignant par I. sa
:HG
longueur,
K’ j’r‘tlr 2
n aL 3
Ainsi, dans ce cas, la longueur du pendule simple serait de celle de la tige.
Les constantes c et c' se détermineront d’après les données initiales. Soient a. l’angle AOs que la tige Alî, dans sa position initiale, fait avec la verticale 83) ; CD la direction de la percussion qui lui a été imprimée , et qu’on peut supposer perpendiculaire à la tige. Celle-ci commencera évidemment à tourner dans le plan OCD 5 car il n’y a pas de raison pour que le mouvement commence d’un côté de ce plan plutôt que d’un autre, et, d’ailleurs, on peut considérer ce plan comme celui de deux axes principaux relatifs au point O. On appliquera donc la formule de la vitesse angulaire de rotation , comme s’il y avait un axe (ixe perpendiculaire eu O au plan OCD. Soient m cette vitesse angulaire, {jh> l’intensité de la percussion , y la distance OC ; on aura
or la vitesse initiale f d’un point quelconque M de la tige est rti). Si donc on remplace, dansle premier membre de l’équation (i) , la quantité 4- sin’ ou par la valeur ci-dessus de m’, on aura l’équation
(3) w’ = c 4 --^ cosa,
qui déterminera la constante c.
Quant à la constante c', on a, d’après ré([uation ( 2 .),
EXF.HCICT.S DK MÉCAXIQL'E.
or sin a représente la vitesse initiale de la projeelion
horizontale du point de la tige dont la distance au point lixe est runité : on a donc , en désignant par e l’angle do la direction CI) avec une perpendiculaire au plan zOA ,
il en résulte
<• = w cos e.sin a.
Nous ne nous arrêterons pas au cas où la tige s’écarte très-peu de la verticale. On néglige alors les quantités trèspetites du troisième ordre en 6 et a , et les valeurs de G et i|» s’obtiennent en fonction du temps, sous forme finie, par les formules du pendule conique.
Quelles conditions doit remplir la percussion initiale pour que la tige décrive un côtie droit autour de la verticale?
On a eoiistamment, dans ce cas,
9 = a , et , par suite , -j- = o.
D’après la valeur précédenttî de ^ » on en conclut
sin’ a -I — -p cos a — c'’ = o ;
mais cette équation exprime seulement que ~ est nul pour 9 = c’est-à-dire à l’origine du mouvement : il faut y joindre la condition ^ = o ; ce qui donne
/ cos a sin* a
11 reste à substituer, dans ces deux étjuations, les valeurs ties constantes c et c' tirées des équations (.1) et (4); la
338 TKOISIKME PARTIE,
première se rétluit alors à
, cos E = I , d'où £ = O , et la seconde se réduit à
, g sin’ “
/ cos a
e = O signifie que la percussion doit être dirigée perpendiculairement au plan vertical qui contient la tige. L’équation
g sin’ a
/ co s a
permettra d’assigner la grandeur de la percussion correspondante à un angle a donné 5 et réciproquement, si la percussion est donnée, on en conclura l’angle a, en résolvant l’équation
cos’ a H cos a — 1 = 0 ,
qui admet toujours pour cos « une valeur réelle plus petite que I. Enfin , l'équation (2) montre que le cône droit sera décrit d’un mouvement uniforme ; la vitesse de ce mouvement est
dt sin a
Désignons cette vitesse par k , et remplaçons '») par la valeur précédente ; nous aurons
On voit que, dès que l’angle a sera donné, cette vitesse A sera déterminée indépendamment de la percussion ; quelle
que soit cette vitesse, il y aura une valeur minimay/^j
au-dessous de laquelle A ne saurait tomber : mais cette limite ne sera jamais atteinte, car il faudrait que « fiit zéro; la tige
EXERCICKS DE MÉCANIQUE. 33q
serait alors verliealc, et comme w serait nulle aussi , U ii'y aurait pas de percussion; la tige resterait donc eu repos.
Pour compléter la solution du problème, il nous reste à calculer la pression variable P que supporte le point fixe. Cette recherche conduit à des résultats dignes de remarque. La méthorle consiste, comme on sait, à imaginer qu’on applique en O une force égale et contraire à la pression ; on peut alors regarder la tige comme devenue libre , et appli- «[ucr les six équations d’équilibre d’un corps solide. Soient X, Y, Z les composantes de la pression P; z, les coor-
données du centre de gravité de la tige; les forces perdues s’expriment aisément en fonction dex,, y,, Zj, et les sommes de leurs composantes parallèlement à chaque axe sont
D’après cela , les trois premières équations d’équilibre , qui renferment seules les composantes X, Y, Z de la pression, sont
HF
dt^
\ dF
On a , d’ailleurs ,
X, — a sin 0 cos •{/ , j, = a sin 0 sin t|< , Ztxx a cos 0.
Ces équations feront connaître les trois composantes de la pression en fonction des variables 0 et tp , tpii , elles-mêmes, sont des fonctions connues de t, par les formules précédentes ; mais le calcul direct des valeurs de X, Y, Z sérail fort compliqué. On le simplifie notablement, en ayant recours aux trois équations des moments ; ces éxfuatioiis, dans
34o TROISIÈME PARTIE.
lesquelles nous introduisons les coordonnées .r,, n, ,
sont
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