FF

— -JfT = —

Elles se réduisent à deux distinctes , comme il est aisé de le voir.

Des équations (5) et (6) combinées, on déduit, sans difficulté,

Y.r, — X.r, = o et Z — Y 2, = M g- jr, ^ | .

Ces équations mettent en évidence deux propriétés de la pression; i” les composantes X, Y étant proportionnelles à ar,, y,, il s’ensuit que la pression est toujours comprise dans le plan vertical qui contient la tige; 2 “ les composantes Z, Y n’étant pas proportionnelles aux coordonnées

Z,, y, (puisque / ou a-j- —

s’ensuit que la pression n’est pas dirigée suivant la tige. Les deux équations précédentes permettent, en outre, d’exprimer X et Y en fonction de Z sans coefficients différentiels ;

Y=[z-Ms(.-î)]*, X=[z-Ms(,f)]|;

on en conclut

■diffère essentiellement de «L il

Tout se réduit donc à déterminer Z en fonction de 6. La troisième des équations (5) donne, à cet effet,

Z = M g -f- « ros 0 . __ 4 - rt sin 0 . - •

' " i/t ’ rll ’ /

Digilized by Coogle

;iji

Oii cüiiiiail déjà ~ en fonclion de 6; on en tirera ? et substituant, il viendra

z=m[s(,-:) par suite,

H- ac cos 6 -t-

— cos’ 9

[ g"’ I I — -(- a’ c’ -H 2 agc | i -f- cos o”|

f/incliiiaison y de la pri-ssioii sur la verticale sera également connue en fonclion de S , puisque

cos7= -•

La grandeur et la direction de la pression ne dépendent explicitement que de la variable 6, et non de t|i. Quand l’angle 9 sera constant, c’est-à-dire dans le cas où la tige décrira un cône droit, la pression sera constante, et sa direction décrira également un cône droit autour de la verticale. La valeur générale de P se réduit, dans ce cas, à

on a , d’ailleurs , d’où

ou bien

•=Mg yj

I H- - tang’ a ;

cos 7 — —

lang’ a

tang 1 = J «ang a .

Comme - est i, l’angle au centre du cône droit que décrit

la pression est plus petit que celui du cône que décrit la tige.

Ces dernières formules , relatives au cas du cône droit , s’obtiendraient directement et d’une manière beaucoup plus

simple, en remarquant que les forces effectives sont alors immédiatement connues de grandeur et de direction, puisque chaque point m décrit un cercle dont le rayon p est rsin a , avec une vitesse

I' = r « = r sin a y / -

cos a

La force effective a donc pour valeur — * ■ ' tang «, et

comme sa direction ne varie pas d’un point à un autre, la résultante des forces effectives est égale à leur somme

mrg

^ =zMa J tang a .

Cette résultante, prise en sens contraire et composée avec la pesanteur M g , donne , pour la pression P, la valeur déjà trouvée.

Les équations différentielles en y), Ç de la page 335 , permettent de comparer la pression P exercée par la tige mobile sur le point fixe , avec la pression que supporterait ce même point , si l’on remplaçait la tige par un pendule

simple de longueur /=« H Cette dernière pression,

qui n’est autre que la tension du fil auquel serait suspendu un point matériel de masse M, a pour expression MX Z: et si l’on ajoute membre à membre les trois équations que nous venons de rappeler, multipliées respectivement par Ï .1 trouve

or,

cos 9 4 - c

et

l cos 9 ;

donc

cos 9 4- c .

On connaîtra ainsi, pour chaque position du pendule, la \aleiii delà tension MX/. Mais, bien que le inotivement du

EXEhCICES UE MÉCANIQUE.

pendule simple coïncide avec celui de la lige, les deux pressions P et M X /sonl distinctes en grandeur et en direction.

La composante X de la pression P peut s écrire ^

ou bien , comme = — X | ,

on a de même

Ma

On conclut de nouveau de ces trois formules que la pression P n’est pas dirigée suivant la tige , mais seulement dans le plan vertical qui contient celle-ci. De plus on volt que cette pression est la résultante de deux forces, l’une dirigée

suivant la lige, et égale h MX /.y, c’est-à-dire à la pression due au pendule conique multipliée par y , l’autre verticale cl égale à Mg’ — y^, c'est-à-dire à la composante qu’on obtient en décomposant le poids Mg de la tige en deux forces parallèles appliquées au point fixe et au centre d’oscillation.

Dans toutes les formules qui précèdent , on n’a pas supposé que le centre de gravité G de la lige mobile coïncidât avec le point fixe. On aurait alors a = o, etpar suite / = oo ; en sorte que le mouvement de la tige ne serait plus assimilable à celui d’un pendule simple de longueur l. Mais , dans ce cas , le poids de la tige étant constamment détruit par le point fixe, il n’y a pas de raison pour que la lige sorte du plan OCD qui passe par sa position initiali* et par la direction do la percussion, et elle devra décrire ce plan avec la

vitesse conslaiite 'n —

MK’

TKOISIEME PARTIE.

Au reste , ces résultats sont aussi mis en évidence par les équations (i) et ( 2 ) qui deviennent complètement intégrables.

L’équation ( 1 ) se réduit à

+ sin’ 9

et comme le premier mentbre n’est autre que^- j

cette

équation exprime que la vitesse d’un point quelconque de la tige demeure constante pendant toute la durée du mouvement-, de plus , on a, par l’équation (3) , c = o)’.

L’équation ( 2 ) n’est pas modifiée; on a toujours

sin’O— = fit

et c’ = w cos £ sin 2 .

Kliminant — ^

fit

emr<

il vient

, fit :

sin a cos £ = ;« , sin 6 0 — d cos 6

V^sin’ 0 — nd \j \ — //?’ — cos' 0

L’intégrale est

cos 0 = — nd cos («t — p) ;

et, pour déterminer la constante p, on a cos a. = yj i — m - cos p :

par suite, l’intégrale précédente prend la forme

(ij ) cos 0 = cos a cos w/ -t- sin a sin ut sin e.

Or, si l’on conçoit l’angle trièdre dont les arêtes sont la verticale Oz, la direction initiale OC de la tige et une droite variable Om faisant avec OC, dans le plan OCD, l’angle ; l’expression de cos 9 est précisément celle du cosinus de la face angulaire rO/n, opposée à l’angle/^ — e\-

KXF.nClCKS ItF, MÉCAMQl E. ^45

Donc la position de la lige coïncide à chaque instant avec celle de l’artHe Oin, ce qu’il fallait démontrer.

On tire ensuite de l’équation (a) ,

6) m . dt sin’ 0

w m . dt

sin’ ( wt — P) -T~ "d cos’ ( wf — P)

<‘t intégrant , on a

(8) 'ang(-^— v)

lang {wt — P) m

On peut convenir que l’angle soit nul avei' (. et la constante y sera déterminée par l’équation

tang V =

cos a

l.a question que nous venons de traiter est comprise, comme cas particulier, dans le problème du mouvement d’un corps solide pesant autour d’un point fixe. 11 a paru préférable de chercher directement les formules qui ramènent la question au pendule conique. Cependant il n’est pas inutile, au point de vue de la comparaison des méthodes de la dynamique , de montrei' comment les équations (jui conviennent au cas général d’un solide mobile autour d’un point fixe, se modifient, lorsque ce corps se réduit à un système de points pesants, en ligne droite.

Les équations générales du mouvement de rotation d'un corps solide autour d’un point fixe, sont

(q) I n = (C — a ) rp -I- M„

où/>, q, i: désignent les trois composantes do la vitesse instantanée de rotation autour des axes principaux du mobile

rolalifs au point O; A, 13, C les trois moments diiiertic prineipaux, et L,, M,, î\, les sommes des moments des forces appliquées aux did’érents points du mobile, par rapport aux axes principaux.

Ici, l’un de ces axes (Oz,) sera la droite AB elle-même, et les deux autres (Oj:,, Oj ,) seront deux droites rectangulaires tracées à volonté dans un plan perpendiculaire à AB passant par le point O ; par suite , on aura

C = o, A=B = M(rt= + K’).

La position du mobile à chaque instant dépend , en général, de trois angles qui déterminent les positions des trois sections principales XiO vi, y, Oz, ,ZiOxi, par rapport aux plans fixes des coordonnées z.

Le premier de ces angles , ordinairement désigné par la lettre ip, est celui que l’intersection du plan X, Oj, avec le plan xOjr fait avec l’axe des x, et comme cette intersection est évidemment perpendiculaire au plan zOz, ou ^OA, ce premier angle n’est autre que le complément de l’angle A'Ox déjà désigné par é.

Le second angle mesure l’inclinaison du plan mobile XiOj^, sur leplanxOj'; c’est l’angle z OA ou 6.

Le troisième angle , qu’on désigne par <p , est celui que l’axe Ox, fait avec l’intersection des deux plans XiOj', , xOy. 11 estévidept qu’ici nous n’avons point à considérer cet angle ; les deux premiers et 0 suffisent , comme nous l’avons dit plus haut, pour déterminer la position de la droite mobile. L’analyse devra donc laisser ce troisième angle <p indéterminé.

La pesanteur étant la seule force appliquée aux diH’érents points de la tige , donne une résultante appliquée au • point (’r de l’axe Ozi parallèlement à Oz ; et, par suite, les couples 1.,"*, M, , > i provenant de la translation de celle

EXEIICICES DE MÉCAMQIE. .547

force au polul fixe O, sont

Li = — Ma^cos ïOvi = M ag sin 9 cosip,

M, = Mog cos zO .r, z= — M ag sin 9 sin 7 ,

Ces valeurs étant substituées dans les équations (4)i la troisième de ces équations devient uue identité, en sorte

que —demeure arbitraire. Cette indétermination revient

à celle de l’angle <ji ; on conçoit, enefl’ct, que le mobile étant réduit à son axe de figure O ^i, il n’y a pas lieu de déterminer la vitesse angulaire de rotation /' autour de ctU axe.

Les deux premières équations ( 9 ) deviennent

dt

— qr = J sin 0 cos q.

prz= — ? sin 9 sin «p.

La théorie générale du mouvement d’un corps solide autour d’un point fixe fournit de plus entre />•</> l‘‘® 1 *'^*'*

angles et y, les trois équations snivaules (où d'-^ a été changé en — d'^, parce que notre angle est le complément de celui que l’on considère dans cette théorie) :

rf 9 . d^^

P —■ — cos O — sm U sin 9 — ■

^ • dt de

n = sin O cos cp sin 9 — - ,

' ^ dt dt

dq

dt