CHAPITRE III
SE R LE MOUVEMEHT d’uNE TIOE PESAKTE.
1 . Déterminer le mouvement d'une tige pesante, homogène et d’une épaisseur constante , dont les extrémités s' appuient sur deux droites fixes, l’une verticale. Vautre horizontale. (On n’a pas égard au frottement.)
Le système étant à liaisons complètes, il suffira de recourir au principe des forces vives, qui fournira une équation différentielle du premier ordre, propre à déterminer l’unique inconnue du problème, savoir, l'angle variable que fait la tige avec la verticale. Soient AB (yîg^.80) ladirection de la tige au bout du temps t, 0 l’angle qu’elle fait avec la verticale O7, M sa masse, l sa longueur, v la vitesse de l’un de ses points dont la masse est m, et dont les coordonnées rapportées aux deux droites fixes sont désignées par x et f, r la distance Am, y, l’ordonnée du centre degravité G; on a
ï mi-’ = r — 22 mgy = c — ig M J'i >
ou, comme yi= - cos G,
1 inv- = r — M / cos 0 ;
c est uneronstantc arbitraire. On a d’ailleuis
,r=:rsinO, y = (l — /'IcosG, ^
^ fl.r' -y fiy^ + — 2 /c) sin’ 6 J f/0-
dp dt^
donc
dtp
— - 2«i -t- (/- — 2 //) sin’ 0) = (■ — g M /c(Ts 0.
EXEKCICES DE MÉCANIQtE. 37 . 1 )
Si l'on suppose la barre liomogène et trépaisseur couslantc, celte équalion se simplilic nolablemeiil, parce que le terme en sin’ 0 disparaît du premier membre. La masse tu de chaque élément peut alors être représentée par ,sa longueur dr, et la masse M par /; on a
J^itir' = J r’(lr = —,
I (/= — 2/r)f/r= sin’ Û (/’ — /') = o.
L’équation du mouvement se réduit donc à l dO*
3 dt
• = c — s cosO.
Pour déterminer la constante c, supposons qu’à l’origine du mouvement, la tige inclinée d’un angle a ait reçu une
percussion à laquelle corresponde une valeur e i
et, par suite,
c= + g cos a.
dO^ 'is ,
— = e’ -I j- ( cos a — cos & 1 .
dt' l
Cette équation coïncide avec celle qui déterminerait les oscillations d’un pendule simple de longueur primitivement écarté de la verticale d’un angle n et animé d’une vitesse angulaire s, en supposant de plus que la pesanteur agît de bas en haut, dans le sens Oy.
Ainsi donc, si l’on suspendait au point O un semblable pendule Om', les positions successives qu’il prendrait dans le plan y'Ox, seraient à chafpie instant parallèles à cclle.s que prend la lige dans son mouvement.
3!î() ruoisiÉME rAiiTiE.
INous avons tonsicléré commi: connue la valeur initiale £
de ^ : si l’on no donne que rinlensile P de la percussion
appliquée en un point déterminé I de la barre (Jig. 8i), on devra calculer ç de la manière suivante ;
Le principe de d’Alerabcrt, appliqué aux forces instantanées, fournit l'équation ^
X„rîx„-|-
Xo, Yo désignant les composantes de lapercussion, etu'o,ro les coordonnées de son point d’application. Le terme soumis au signe ^ se rapporte tà un point quelconque de la
barre, à l’origine du temps. Soit AI = c; les liaisons du système s’expriment par les équations
= c sin a, / — f) cos a,
j: = r sin 3t, »• = ( / — r) cos a,
d’où l’on tire les valeurs de âx^, âjoi dx, àj, en fonction de la variation ox qui reste indépendante,
Sxn= c cos a. lîa, Syi, = — (/ — c) sin a. Sa,
Sx — r cos a . 5a, S y = — ( / — r) sin a . oa;
on a aussi, pour t — o,
. fl Y ■
—~=r cos a.£, -r = — (‘ — rlsma.î, fh (U '
£ tlésignant la valeur initiale de —
” rit
Ces valeurs étant substituées dans l'équation ci-dessus, on devra égaler à zéro le coellieieni de ox, et l’on aura , tontes réductions faites,
\,f COS a — Yu / — r SI II a
(lOù
l' XIIUCICE.S 1)1. MI■<.^MOI K.
3 [ X'„ (• COS a — Y» V / — <" ) sin a )
Le signe et la grandeur de £ dépendent delà grandi'ur et lie la direction de la percussion, et aussi de la position du point I.
Pourqu’il n'y eùtpasde vitesse initiale produite, il faudrait ipie l'on eût
\ç r COS a = Yj ( / — ,r) sin a ,
d'où
X, — c) sin a IC
Yo c cos a ID
Ainsi la direction de la percussion (K vrait passer par le sommet S du rectangle AOiîS. Cette condition est nécessaire et suflisantc.
2. Déterminer le mouvement trune fi^c pesante , libre de tourner dans l’espace autour d’un de ses points supposé fixe. (Concours d’agrégation de i843-)
On prendra pour origine des coordonnées le point fixe O 82 ), et l'axe des ü vertical dans le sens de la pesanteur. Les variables qui déterminent la position du système à cliaqucî instant sont an nombre de deux, savoir : l’angle AO Z — 6 que fai t la baguette A15 avec l'axe dcs. 3 , et l’augle A'Oj.' = (}) , que sa projection horizontale fait avec l’axe des .r. Soient M la masse de la baguetleque nous ne supposons pas homogène; a la distance de son centre de gravité Cr au point O; rie rayon vecteur Om d'un point (pielconque dont la masse est /n; r' la projection OP de r.
Les principes de ladynamique fournissent divers moyen.s d’obtenir entre 0 et les deux équations nécessaires à la solution du problème.
i". Prenons les etpialions de la dynamique sous la fonm <jue leur a donnée Lagrange ( ro}ez j>age 7 ).
TKOISIKME l'AllTlK.
JNous devrons d abord calculer les deux l'onctioiis l' et \ . \ désigne la fonction des forces qui se réduit ici à 2 fmgclzj on a donc
V = g tmz = Mag cos 0 .
Pour la fonction T, on trouve successiveincut {l’oyez page 8)
- j sin’oy’),
\ dt^ dt'
T z= i(0'î + sin’O. ,],'») M (rt’ + K*) ;
MK® désigne le moment d’inertie de la tige par rapport à un axe perpendiculaire à sa direction et passant par le
centre de gravité: 0' et >1' sont les dérivées — •
. dt dt
Cela posé , V équation des forces vives ï — V = const.
donne
(•) 0'’ -t- sin- 0. Cüs 0 c,
c étant une constante arbitraire.
Il sullit donc d’associer à cette équation l’une des équations ( 6’) de la page q. Comme ’P et V ne contiennent pas la variable tp, on choisira de préférence la suivante,
dY
const. ,
F.XEIU;iCi"S IlE MÉCAMOL'l’.. IfÜÎ
OU l)icii , VU l’cxprcssioii <lo T,
( 2 ) sin’6 -y = c',
c' étant une dcuxièmi; constante arbitraire.
Les équations (t) et (2) résolvent la question.
Si la tige pesante se réduisait à un point matériel distant du point O de la longueur /, les équations de son mouvement se déduiraient des deux précédentes , en y faisant •
K = O et rt = / ; l’équation (1) deviendrait ( 3 ) 6 '» -h sin’ 6 . -y* — ^cosO = r.
Quant à l’équation (2) , elle ne serait pas modifiée ; or l’écpiation ( 3 ) coïncide avec (i) (juandou yjiose
11 suit de Là que la tige pesante se meut autour du point O comme le ferait un pendule simple, dont la longueur serait ^ 7 les circonstances initiales étant supposées
les mêmes.
Le problème est ainsi réduit aux formules du pendule conique.
Avant d’aller plus loin , il ne sera pas inutile de nous arrêter un instant sur les autres procédés qu’on aurait pu suivre pour parvenir aux équations (i) et {2).
2“ A l’équation des forces vives, mise sous la forme (i), nous aurions pu associer V équation du principe de la conseivation des aires, qui a lieu pour le plan horizontal seulement,
TnoiSlKMt P\UTIK.
.ou
d-ij
= const.
Et comme r = csin 0 . celte inlégrale première ne difl'ère pasde l’équation ( 2 ) . Elle exprime que l'aire décrite autour du pouit () pendant chaque instant ^^^par la projection horizontale d’une partie quelconque Om de la tige, est constante.
S". I-c mouvement de la lige serait complètement déterminé , si l’on connaissait celui de l'un de ses points. Soit/ la distance à l’origine de ce point auquel nous conviendrons de rapporter tous les autres, cl dont nous fixerons plus loin la position sur la tige mobile; désignons par scs
coordonnées; les coordonnées x, y, z d’un point quelconque sont liées à 4,7;, ^ par les équations
De plus, on a
