CHAPITRE IV

sim LE MOUVEMENT Il'uN CYLINDRE PESANT ET NON HOMOGÈNE QUI TOUCHE UN PLAN HORIZONTAL FIXE.

l^n cy/indre pesant, à hase circulaire , dont le centre de gravité est hors de l’axe , est posé sur un plan horizontal qu’il touche suivant une génératrice. On l’abandonne à luimême sans vites.se initiale , et il s’agit de déterminer son mouvement oscillatoire. (Concours d’agrt'galioii de 1848.)

Soient 01 a position initiale du centre de la section droite qui contient le centre de gravité du cylindre {fig. 84), A le point de contact avec le plan horizontal ; prenons pour axes des coordonnées dans le plan delà section la verticale AOjy et l’horizontale Ax; au bout du temps t , les points O et A sont venus en C et B, et le centre de giavité du cylindre est en G. Soit N la résistance du plan , laquelle est égale et contraire à la pression exercée sur lui parle cylindre; si l’on joint cette force à la pesanteur qui agit sur tous les points du mobile, on pourra le traiter comme uncorps entièrement libre.

Or l’étude du mouvement d’un corps solide libre se ramène à celle de deux autres mouvements, savoir: le mouvement de translation de l’un de ses points (on choisit le centre de gravité) et le mouvement de rotation du eorps autour de ce point.

Considérons d’abord le mouvement do translation du centre de gravité. Ce point se meut comme un point matériel où les masses de tous les points du cylindre seraient réunies, et où seraient également transportées parallèlement à elles-mêmes les forces de la pesanteur et la résistance i\. Donc, si l’on désigne par .M la masse du cylindre,

35o TltOrSlÈME l’ARTIF..

par Xi , j'i les coordonnées du point G, on aura

d'jc, rf’r.

= O , M = N — Ma-.

tlO ’ ®

Ces équations , prises isolément, ne suffiraient pas pour déterminer le mouvement de translation , attendu qu’il y entre la force variable et inconnue N , qui dépend du mouvement de rotation. Cependant, comme la première est immédiatement intégrable, on en tire

rfx,

-r- = const.

dl

Or la constante est nulle , puisque le mobile n’a pas de vitesse initiale; donc

x, = const.

Ainsi le centre de gravité ne sort pas de la verticale LL', qui passe par sa position initiale. Quant à la loi de son mouvement sur cette verticale , elle ne saurait être établie indépendamment du mouvement de rotation qui va maintenant nous occuper.

Le corps tourne autour de son centre de gravité, comme si ce point était fixe, et sans qu’il soit rien changé aux forces motrices. De plus , il résulte de la nature du mobile, qne la section droite BCG reste toujours comprise dans le même plan vertical ; donc la rotation a lieu autour d’un axe parallèle à l’axe du cylindre, et, par suite, l’équation du mouvement de rotation sera de la forme

il Ct>

MK’ désigne le moment d’inertie du cylindre par rapport à l’axe de rotation, w la vitesse angulaire, et S Q<7 la somme des moments des forces par rapport à cet axe.

Soient l’angle BCG = 6 , CG a , m = —

EXERCICES 11E MÉCANIQUE. .'{.'Il

(iVous écrivons le signe — devant parce que le centre

de gravité va d’abord en s’abaissant, et qu'ainsi l'angle 9 décroit quand t augmente.)

La somme des moments des poids des diverses molécules du cylindre par rapport à l’axe est nulle , puisque cet axe passe par le centre de gravité; il reste le moment de la force N , qui est N. CD, ouNrtsin 0. L’équation précédente devient donc

/ ?. ) MK’ = — N(j sin 0.

Comme on a y, — CH — a cos 0 , il en résulte

dO

a cos

h a sin 0

dO

et, par suite, la seconde des équations (i) se transforme ainsi :

/ rfô’ . rf’0\

(3) M« 1 COS0— -Hsin 9 1 = N — Mg.

Kliminant N entre les équations ( 2 ) et (3 ) , il vient

rf’9 / . dV' . d’9\

K’ h as sin 9 -4- <i’ sin 9 cos 9 h sm’ 9 — - ) = o .

dt' \ dt' dt^f

Cette équation dilférentielle déterminera 0 en fonction de t et de deux constantes arbitraires.

En la multipliant par 2^i0, on l’intègre une première fois ; ce qui donne

/rf9\’ /rf9\’

(4) K’I— 1 — 2 flg cos 9 fl’ sin’ 9 I — j =r.

Soit a. la valeur initiale de 0 , on aura

et , par suite ,

(5) ^ïag.dt

2 ag cos a , '

K’ -f- rt’ sin’ 9 cos 9 — cos ot

Celte quadrature ne pourra être calculée (ju’approxiniativenient.

0 étant connu en fonction de f, on aurait N par l’équation (a), et aussi j'i = Clî — ttcosô; on connaîtrait, de plus, le chemin OC parcouru par l’axe du cylindre, car

OC = OD — a sin fi = ronst. — « sin fi.

11 est aisé de déterminer la trajectoire décrite par chaque point du cylindre. Remarquons, en elfet, que la verticale LL' étant fixe, ainsi que l’horizontale OI), et la distance CG demeurant invariable , le rayon mobile qui passe par le centre de gravité est dans la condition d’une droite assujettie à glisser sur deux axes rectangulaires, de manière que la partie interceptée entre ces axes soit constante. Or on sait que chaque point ni pris sur celte droite, ou sur son prolongement , décrit une ellipse dont les demi-axes sont les distances w(i, mC, et coïncident avec les deux directrices fixes.

Si l’on suppose que le centre de gravité du cylindre soit très-peu distant de son axe, la quantité a sera très-petite, et l’on pourra négliger, sans erreur sensible, le terme «’ sin’ 0 sous le radical de la formule (5). Ce terme sera également négligeable si, a restant quelconque, on suppose B très-petit; dans l’un et l’autre cas, la formule se réduit à

V ng (h — -

— K(/fi cos 9 — cos a

C’est la formule du pendule simple ordinaire ; elle est réductible aux fonctions elliptiques. On en déduira, comme dans la théorie du pendule , la loi des petites oscillations du cylindre de part et d’autre de la verticale LL'.

L’équation (4) aurait pu être obtenue directement par le principe des forces vives, sans passer parles équations différentielles du second ordre, oti entre la pression !N.

D’après ro principe, qui est évidemment applicable ici , on a , en général ,

■ G) 2 mv' = c + 9. J y. dx \ dy 7jdz).

Or, dans tout système de points matériels, on a aussi ILinv- r= M(>î -H ïww’,

1 ', désignant la vitesse absolue du centre de gravité, et w la vitesse relative du point m dans son mouvement autour de ce centre.

dj^ . dx, Ici puisque --

o; et, d’après la valeur de

d’ailleurs

a siii 0

df)

Ti"

dO'

mr' — = MK’ dr

dO’

dt'-

Pour un point quelconque du cylindre, on a X = o, Z = o, Y= — mg ,

et la résistance normale N n’intervient pas dans le second membre de l’équation des forces vives -, on a donc

f 2(Xrfx -+- Ydy + ’Ldz) — — Mg-^i = Mg-a cos 6 + const.

Ces valeurs étant substituées dans l’équation (G), on retrouve l’équation (4)-

ai)