M — = — T COS

1,0 corps tourne autour du centre de gravité G comme autour d’un axe vertical passant par ce point, sans qu’il soit rien changé aux forces motrices. Le moment de la tension ’]’, par rapport au point G, a pour valeur absolue T.GI ou sin (’.|/ — çp), et cette force tend à diminuer l’angle Soit, comme à l’ordinaire, MK’ le moment d’inertie du corps par rapport à un axe vertical passant par le point G; l’étjuation du mouvement de rotation du corps autour de ce point sera

(a) MK- = - TA sin (■].-»).

Les équations (i) et (a) suffiront pour déterminer les inconnues ç , T en fonction du temps , après qu’on y aura remplacé .r, , y, par leurs valeurs en fonction de ç et de ip ; cette substitution faite, l’élimination de T conduira à deux équations dillérenliclles du second ordre, entre ç et (|(.

Ces équations ne sont pas linéaires; nous ne les écrirons pas , parce que nous allons exposer une autre méthode qui fournit immédiatement deux intégrales premières de ces équations.

Remarquons seulement que runc de ces intégrales, qui n’est autre que l’équation des forces vives, se déduirait assez facilement dusystèmedes équations (i) et (2), en ajoutant d’abord l’une à l’autre les équations (1) multipliées respectivement par 2f/x,, 2 r/y,, ce qui donne

M d ~ — 2 T ( sin Ÿ • d.r, -f- cos v . dy, ),

.i~>6 TROISIÈME l'ARTIE.

OU bien, vu les valeurs «le .r,, i ,,

(S ) + cos{^- - ï) ÿ J

=r 2 T /« sin (-|i — 7) «/'}' ;

puis, l’équalion ( 2 ) multipliée par ad>p donne MK>rf^^y=:— 2Tisin(J«- <f)d-p.

Or le second membre de cette ét^ation est précisément «'•gai à celui de la précédente pris en signe contraire, et comme les premiers membres sont des dilFérentielles exactes, on voit qu’en ajoutant membre à membre ces deux équations, on en aura une troisième intégrable.

Voici cette intégrale première,

Quant à l’autre intégrale, Euler (*) n’est parvenu à l’obtenir qu’après beaucoup de tâtonnements et par un procédé •létourné que nous ne rapporterons pas. Le lecteur curieux de connailn' cette analyse pourra consulter le Mémoire il’Euler.

2. Méthode plus simple. — Deux des principes généraux delà dynamique sont évidemment applicables ; celui de la conservation des forces vives et celui de la conservation des aires, ce dernier en prenant le point fixe O pour centre des aires. Chacun d’eux fournil une intégrale première des équations du mouvement.

ï mi’' = cnnst.

‘ t )r, dans tout système,

') Ai'Ei l'clui|Hilitiina' , 1778.

EXERCICKS DE MÉCAMQIIE. ^^>7

désignant la vitesse absolue du centre de gravité, et w la vitesse, relative à ce centre, d’un point quelconque du système. Calculons t', et 2mw* :

d-^ fit dt'

m = MK’

dt I

Par conséquent, on a l’équation des forces vives déjà ob-

tenue

,da d^ ,

>. nh ros (iji — r‘-r = b •

de dt

a". On a

/ dy dx \

) = corist.

Soient I, r,, les coordonnées d’un point quelcon(|ue (.r, j ) relatives au centre de gravité, en sorte que X = X, i , x = ,r, -t- r, ;

si l’on substitue ces valeurs dans le premier membnulc l'é- ({iiatiou précédente, et qu’on ait égard aux équations

il vient

ï m ( xd r — /r/a:) = M ( .r , rf) , — r, dx,) -hlmyidn — rjd^).

Cette équation exprime une propriété générale du mouvement, savoir que la somme des produits des inass(‘s de tous les points d’un système multipliés respectivement par les aires infiniment petites décrites par ces points autour d’un centre fixe, pendant rinslant dt, est égale au j)ioduil de la niasse totale M par l’aire décrite dans le môme inslanl par le centre de gravité, plus la somme des pioduits des inassi’s multipliées par les aires déci itesdans le mouveinciii relatif autour de ce centre.

358 TnOtSIÊME PARTIE.

Passant aux coordonnées angulaires et tp, on a X, rf/i — y, dx, = — [a’rfo -I- b'‘d-p + ab cos (■{/ — <f) (dif lm{^dr, — nd^)=—MK'd^;

et, par suite,

(4) + (6. + K’) g + ab cos(,|, - ,) = D^

C et D sont deux constantes arbitraires qu’on déterminera

d’après les valeurs initiales données de <f,

3. Avant d’aller plus loin, nous montrerons encore comment les intégrales premières (3) et (4) peuvent se déduire des équations de Lagrange.

En désignant par T la demi-somme des forces vives du système, par V la fonction des forces, par et les

dérivées ^ ^ , on a les équations (page 7 ),

( dV \

dt

d-ï \ \dp']

dX

de

d’où l’on déduit d’abord l’intégrale des forces vives,

T — V = const.

Mais comme il n’y a pas de forces appliquées au système, V est une constante ; un a donc simplement

T = const.

Or la valeur de T ou de a été calculée plus

haut :

T = 4- M [ n’ o” -I- ( è’ + K’) 'I''- + a ‘’OS ( '!' — ? )• ?' y ] î

on retrouve ain.si l'équalioii (3).

De l’expression de 'J’ ou tire

= ^Inli sin (-i •— » ). »’ il’,

'il

— M ab sin (-^ — » ) . v i ' ,

— = M -+- nlcos(i)/ — ?)+'],

^ = M[ (6' 4 - K') -y 4- a/>cos(-|. — »)?']■

fl >]/

,, , rfV dV

D ailleurs, V étant une constante, — et — sont iiulles.

Avant de substituer ces valeurs dans les équations (5), rfX dT , , , . .

remarquons que— et— etanlegalesel désignés contraires,

fl ^ (l *y

nous éliminerons de suite ces dérivées, en ajoutant ees cH|nations membre à membre, ce qui donnera

éijuation intégrable; d’on

dï dt