CHAPITRE PREMIER

MOUVEMENT n’uN FII. î'LEXIBLE CHARGÉ OE DEUX MASSES PESANTES.

Un fil flexible inextensible et sans masse est suspendu à un point fixe O et chargé de deiLX masses pesantes m, ni' ( Gg. 88). On suppose qu'à l’origine du mouwinent ces deux points matériels aient été écartés de la verticale O y, sans rester en ligne droite avec le point fixe, mais sans soitir d’un plan vertical passant parce point, puis abandonnés à eux-mémes , et l'on propose de déterminer les petites oscillations du système. (Concours d’agrégation de i844-)

Le mouvement oscillatoire de chaque point aura évidemment lieu dans le plan vertical yOx, qui passe par la position initiale du Gl; désignons par a cl b les deux longueurs O m , mm'-, les Inconnues du problème sont les deux angles

l/l O y — 0 , fil' my' ~ ®

que font ces deux portions du G1 avec la verticale.

1. Soient .r, j, x' , j' les coordonnées des deux points /U, Ht'; e, e' leurs vitesses, au bout du temps t -, g l'intensité de la pesanteur. Le principe des forces vives et celui des

36Y) TnOlSlKME PARTIE,

aires fournissent les deux wjuaiiuns

-f- m' c'* = 2 g- ( my -t- ni' f') -i- c,

'"("ŸF [^ lïïr-’- -)•

Pour y introduire les deux inconnues 6, ip, on a les relations

i r = fl sin 0 , | x' = fl sin 0 -t- i sin ç ,

y z= a cos 0, ^ y’ = a cos 0 -h b cos vj ;

d’où l’on tire

. rfe*

dt’

d d a"* , , . dtj do

V ’ = fl’-p- -t- b' -I- 2 fli cos (ÿ — 0) — — dt^ dr VT /

■^dF~^^ F. '■

dt'

dt

d'fJ

dt'

dt'

— y ' — ■ — OU —ix'dr' — y' dx')^ — ; - 7 -

■' ,h^ dt' - ' dt‘ dt^

lit' dt

(d'f) d'ij

dt'

^ , ,Jd'd d'^\ , . 'f0'\

- ab COS 0) H- + ub sin 0)

Les équations des forces vives et des aires prennent la forme :

(«I -+- m ) fl- — h ni b' -t- 2 m ab cos — 0 ) — -

' ' dt' dr- ' dt dt

: 2 g [(/« -|- »i') n cos 0 -I- m'b cosiy) -h c,

, ,, d'O ff.Y’o

(„, + m O'^-h m ah cos{?- 0} H- j

+ fl,'flfcsin(y-0)(^-^;;)

= — g\^[rn -+- nt') a sin 0 -+- m'b sin ç].

Voilà les deux équations propres à déterminer 0 et « en

KXEllf.ir.ES DE MÉCAMyiiE. MiJ

fonction <lc t. Supposons que l’on ait, pour t = o,

i'=:0, i>' = 0, 0=:a, f= pi

il en résulte, pour la constante arbitraire ç, la valeur <• = — 2 ^ [ ( m + m') a cos a. m'b cos p ].

On ne peut pas intégrer, en général, sous forme finie, les équations (i) et ( 2 ). Nous nous bornerons au cas où les oscillations sont supposées très- petites, a, |3, 0 , ® sont alors des quantités très-petites dont on peut négliger les carrés et les produits , vis-à-vis des premières puissances 5

les dérivées sont aussi des quantités du même ordre

que les fonctions 0 et (j> ('*'). Comme l’équation (i), dans laquelle c sera remplacée par sa valeur, ne renferme pas de termes du premier ordre, on devra y conserver ceux du deuxième ordre.

On trouve ainsi :

\ ( III m ) n’ -h m b' — h 2 w ab

(3) I ' ’ dt' dt dt

' / ,d'‘ 9 ! t i d'‘f> d‘‘if\

' ' dt' dt' \(U' dt'j

( = — §■[("'-+- '»') a 9 -h m' ba\.

L’équation (3) est du premier ordre, mais elle n’est pas

{') En effet, soit S=/(l); on a

^=/'(0. Or J\t + h)-f(t)=hf'[t + ih),

t éianl comprise onirc o et i. /■( <) sont par hypothèse des

quantités très-petites, qiiGl que soit i\i€crois&cnu‘nl fini è j donc /*' (t -r-e/f )

est aussi une quantité ires-peiite , ou , ce qui revient au meme, — reste

constamment très-petite en même temps que la fonction 0^ En ffénéral , ifuand une^fonction continue prend de très-petites valeurs pour toutes les valeurs de la variable comprises entre certaines limites, la funetioff'dêrivèc est egalement très-petite dans le mrme intervalle.

liiiéairi*, c’csi pourquoi on la diirérenlie; puis on eu re-

tiauche le produit de l’équatiou (4) par et l’on obtient.

suppression faite du facteur commun — ^ ) ’ tion linéaire

,IH ' ~tï?

dt

qui peut remplacer l’équation (3).

Eliminant ensuite entre cette dernière et l'équa-

tion (4) , on a

lit'

C’est avec les équations (5) et (6) que nous achèverons la solution du problème; mais auparavant nous montrerons comment on aurait pu les obtenir par des calculs plus simples.

2. Partant du principe de d’Alembert, exprimons directement que les forces perdues se font équilibre <à l’aide des liaisons du système. Les composantes de la force pei'due, au point /«', sont

d'x' m — — ) dt'

dt' j ’

cette force, pour être détruite par la résistance du 61, doit être dirigée suivant 'm/n', ce qui fournit l’équation

il)

Le 61 Om est sollicité, au point /u, par le poids rii^ et par la tension du 61 mm'; en conséquence, les composantes de la force perdue au point m sont

dt'

EXF.nCICKS l>K MÉCAÎVIQLE. Miÿ

ffUC force doit ctic dirigée siiivaiil Oui , ce (|ui fournit la deuxième équation ,

(a-'îlj-X

\ dt'

-dF,

j-hx ,n\^g

(ics équations, associét^s aux liaisons

.r’ -f- jr’ = «’, ( j: — j/)’ + (/ —y)’ =

résolvent le problème. On petit s’exercer à retrouver les équations (j) et ( 8 ) , en partant de rt^uation des vitesses virtuelles ,

m fjx -f- m 1» X -f- m

df‘ dr

et la combinant, par la méthode des multiplicateurs , atet; les équations de liaisons.

Dans le cas des petites oscillations, on a simplement

X = a<i, x' = n 0 4- è Ÿ , y = a, y' = Il b, ■

d’x d^Q rf’x' rf’0 , rf'®

— a-—, ="-rr-H-è -r-, )

(S— + '"'fë

dO dr d'y

dt'

dt‘

dt‘

dt' ’ dt

et, par suite, les équations ( 7 ) et ( 8 ) se réduisent à rf ’0 , d'-if

[m -h m') gO z= O,

Im -y m ) a —, h m b ■

qui coïncident avec le système (5) et ( 6 ).

3. Enfin, on peut encore employer avec avantage les équations de I^agrange (page y) :

\dd')

dl

dt

/rfT\

\dj)

dT

dt

dO

où 0' Cl f' ilésigneiit los dérivées —5 ^ désigne la demi-

somme des forces vives du système, et \ la fonction des forces. On trouve d’abord aisément

\ = [m + m') ga cos 0 -f- m' gb cos y ,

T = -H m'ja’0'‘ A- ni' -+- 2 m' a b cos(ÿ —

Ces valeurs, substituées dans les deux équations précédentes, fournissent les équations générales du mouvement ,

Un -H m la -t-TO ècosfo— 9)^ — /« 6 sin(® — ô)-/ 1 / ri

' ' dt^ dO 'dt\dt dtl •

Il ■ \ * I

— //I t> sin {;p — 9) I — j — («I -(-m ) gsm 9 = 0 ,

rf’o / /-\d6 j dm dO\

b — ■ -f- a cos (m — 9) asinfe — 9)-—( — ^ |

dr. ' dr ’dl\dt dt]

H- asm (9 — 9)— ( -(-gsm<),=o.

On aurait pu remplacer l’une d’elles par l’é^irntiow des forces vives, qui n’est que du premier ordre \ mais nous ne l’avons pas fait, parce que cette dernière équation sc prête moins bien à la détermination des petites oscillations dont nous devons nous occuper.

Si les oscillations sont supposées très-petites , on néglige les carrés de 0, (j>, et les produits de ces variables;

les équations se réduisent ainsi aux deux suivantes :

(m -I- m') a — + ni b —J -(- 1/11 + ai')g9 = o,

dr

i.a première peut eneore se simplilier, eu égard à la se-

EXERCICES DE Méc.AMQUE.

condf, et l'oii a linaleinent le système déjà trouvé

rf’O , ilH

sm « == O.

Ces équations sont linéaires et à coefficients constants, tandis que si l’on avait employé l’équation des forces vives, on aurait obtenu une équation, du premier ordre à la vérité, mais non linéaire, puisqu’elle eût évidemment ren-

fermé les carrés de ^ et

dt dt

La méthode ordinaire conduit aux intégrales générales

S r= A, cosf y/r, 4- A, cos t \/r, B, sin t yV, B,sin t ^r,,

f= A, fl, cosr y^r, -+- A,ji,cos B, (x, sin t \fr, B,(x, sint \^r. .

A,, A,, U,, Bj sont quatre constantes arbitraires; r, , r, sont des quantités réelles et positives, racines de l’équation du deuxième degré en r,

(9) [("'-I- m')g — mar][g — br)— m' agr = o ,

et [X , , fx, sont les valeurs correspondantes de fx, tirées de l’équation

(lOl . U — - ;

• g— br

[X, et fx, sont de signes contraires, car l’une des racines de l’équation (9) est plus petite que et l’autre plus grande

Vf * P

que|, puisque l’hypothèse | le premier niembr(;

négatif. Comme on suppose qu’il n’y a pas de vitesses initiales , on doit avoir, pour / = o ,