CHAPITRE IL
SUR LE MOUVEMENT o’uK SYSTÈME DE DEUX CORPS PESANTS, ' DONT l’un ne peut que GLISSER SUR UN PLAN FIXE, TANDIS QUE l’autre EST ASSUJETTI A GLISSER SUR LA SURFACE DU PREMIER.
l. Un prisme homogène , de masse M, dont la section droite est un triangle rectangle ABC (fig. 89) , repose par • l'une de ses faces rectangulaires sur un plan horizontal fixe ,RR' sur lequel il peut glisser : un^ corps pesant de masse m et de dimensions très-petites e'st posé sur la face hypoiènusale BC du prisme et glisse suivant la ligne de plus grande pente, de sorte que son centre de gravité et relui du prisme soient toujours compris dans le même plan vertical ABC. La pression que le corps ni exerce sur le prisme ^ J’ait reculer celui-ci dans le sens AR’. On propose de déterminer la vitesse de descente du corps m , la trajectoire réelle décrite par l’un de ses pointé la vitesse de recul du triangle ABC,, etc. (On suppose le froUcnicnt insensible. INous indiquerons , à la fin du ehapitre , ccjinraciit on tiendrait compte^ du frottement.)
Ce problème est posé dans les œuvres de Jean Bernoulli, ^ mais'Ia solution qu’on y trouve est bizarre et manque de clarté. L’auteUr décompose d’abord la pesanteur appliquée au corps m en 'deux forces , l’une parallèle au flan BC , l’autre normale à ce plan : celle-ci est à son tour décomposée en deux autres , l’une horizontale , l’autre vei’ticale ; cette dernière composante est de nouveau traitée comme la pesanteur, c’est-à-tlire /décomposée en deux forces, l’une parallèle au pjan B(i, l’aiilrc normale, et ainsi de suiti^ à
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' KXEBCICES IlE MÉCAMIQUE. 3^5
l’infini. Ces composaulos (dans lesquelles les masses des deux mobiles s’irUroduisent d’une manière peu satisfaisaulc) sont rangées en deux groupes , l’un produisant le mouvement de descente du corps m le long de BC, l’autre le mouvement de recul du triangle ABC, etc. La solution que nous allons présenter sera tirée de la formule générale de la dynamique.
Soit BCA la position initiale de la section droite du prisme, et prenons pour axes des coordonnées la verticale (iAj' et fhorizoulale C.r. Au bout du lempst, le triangle BCA a pris la position B'C^A', et le corps pesant est venu en m. Soient X, J les coordonnées d’une molécule de -ce corps : les moments virtuels des composantes de la force perdue
par cette molécule sont — “ i^S — ”7^)
formule générale de la dynamique renfermera une .somme de termes semblables pour tous les points du corps ni, savoir,
Mais, puisque ces points décrivent des lignes égales et parallèles, leurs coordonnées ne di’Hèrent les unes des autres que de quantités constantes pendant toute la durée du mouve-
nient; sont donc les mêmes pour tous les points
il eliaque instant, aussi bien que d,r , ây, de sorte que
U. 0 JT = .
dt-
et X et y peuvent représentei- les cooi-données d’un point quelconque du corps //t, par exemple de son centre de gravité. l.e eorps m n’entrera ainsi dans le calcul <}ue comme
TKOISiEME PARTIE.
un simple point inatéiiel, de masse /«, assujetti à suivre l’hypoténuse mobile lî'C.
Pareillement, la somme des moments virtuels des forces perdues par les divers points matériels du prisme se réduira, vu que les ordonnées verticales de ces points sont constantes , à
Xi pouvant désigner l’abscisse d’un point quelconque du prisme : nous choisirons de préférence le centre de gravité (V. Cela posé, le principe de d’Alcmbert fournil l’équation
m — — X ■ dt‘
Il faut maintenant traduire en équation les liaisons du système.
Déjà nous avons introduit la condition y, — const.
De plus , le triangle P m C' donne
• PC' . rang ABC = P w ; or,
P ni = y, PC' = j: -t- GG' = x — .r, -t- n , .
a désignant l’abscisse initiale ^ du centre de gravité (’».
Soit a l’angle ABC, on aura pour seconde équation de condition
( ?.) (x — X, -4-«)tang« — y=(i,
d’où
tang a . >îx — $ y — tang a . iJ x, = o .
Multiplions cette dernière é<|uation par l’indéterminée /, cl ajoutous a l’tHjuation (t); puis égalons à zéro, selon la méthode ^ les coeHicicnts de toutes les variations, nous
aurons
EXF.HCICKS DE MfxA.MQUE.
m — — = \ tanc a , tif
//* JT
M ^ =r — A lani; a .
(It^ °
Ces équations auraieiil pu être établies en introduisant la pression qui a lieu au eontaet du corps ni et du prisme , normalement à la face HC, ce qui eût permis de traiter/» comme un point libre. Cette pression n’est autre que le
facteur —
cos a
A ces trois équations il faut associer l’équation ( 2 ); si l’on élimine?., il restera trois équations propres à déterminer X ,y bl Xt en fonction dti temps.
En ajoutant (ii) et (î>) membre à membre, on a
et, intégrant,
tP X d‘‘x,
tir dr
, dx , , dx,
dt dt
Nous n’ajoutons pas de constante arbitraire, parce que nous supposons qu’à l’origine le mobile ni a été abandonné à luimême, sans recevoir de vitesse. Une seconde intégration donne
mx -)- M ar, =: const.
.Soit X l’abscisse du centre de gravité du système des deux masses ni et M , on a
donc
coiist.
3^8 TROfSlKME l-ARTIE.
c’est-à-dIre quu le centre tic gravité du système ne sort pas de la verticale qui passe par sa position initiale. Ce résuhal est d’ailleurs une conséquence du principe relatif au mouvement du centre de gravité d’un système libre; on peut, en ellèt , remplacer l’action du plan fixe RR' par une force normale à ce plan, et si l’on conçoit que cette force verticale, ainsi que la pesanteur appliquée au corps m, soient transportées au centre de gravité du système , ce point n’étant soumis qu’à l’action de forces verticales, se mouvra dans la verticale qui le contient à l’origine, puisque d’ailleurs il part du repos.
Cherchons les valeurs de y et x en fonction de /. En éliminant X entre (3) et (4), on a d’abord
(lO
puis, si l’on élimine .r, entre (a) et (5), il vient d'‘ X ,.tl'‘y
Mtanea. ■. M “7^ — t-Atang’a = o,
. ® dt' dO
et, remplaçant À tang a par sa valeur tirée de (3),
X ft ^ y
( M m ) tàng a — M — — ’= (
^ dt^ dt'
, , c/* X tl^ y*
Les équations ( 6 ) et ( 7 ) fourniront pour,-^^ et des
valeurs constantes ; par conséquent, la force accélératrice du corps m est constante en grandeur et en direction ; et comme ce corps part du repos , il décrit une ligne droite d’un mouvement uniformément accéléré. Pour avoir la direction de «•ette droite, il suflit de tirer de l’équation (y) le rapport
dt'
~dF
tang u;
EXERCICES DE MÉCAMQCE. 379
ce rapport est le coefiîcient angulaire de la direciioii de la force, c’csl-à-dire de la droite que décrit le corps m. Supposons, pour plus de simplicté, que ce corps parte du sommet C; l’équation de sa trajectoire sera
j = -^tanga.x. ^
Soient h la hauteur AC et h la base AB du triangle ACB; on a
tang « = ^-5 et, par suite, y —
Pour Y — h, on en tire x = — Soit AD cette distance ;
quand le mobile est parvenu en D, le triangle a rétrogradé
M b nib
1 et, par suite.
de la quantité BD ou i — Al)
