M BD
ainsi , le poin^ D divise la base AB en deux segments proportionnels aux masses du corps et dü prisme.
Si M est très-grand par rapport à m, le point D sera trèsvoisin de B , et la route suivie par le corps ni diflérera trèspeu de l’hypoténuse BC; elle se confondrait avec celte droite si la masse M était inüiiie, auquel cas le prisme se comporterait comme un plan incliné fixe. Quant à la force qui produit le mouvement rétrograde du prisme, on a , pour la déterminer,
IM
Mais
donc
M g tang a
( M 4- m) tang’ a ■+■ .M
f/’ X, mg tang a ' ,
dt^ i M -f- /n ) tang’ a 4- M .
Le niouvement rétrograde du pnsnie est donc aussi tiniforraémeiu accéléré . '
TIIOISIEMK PABTIE.
La valeur de
dO
si l’on fait varier a maximum pour
est nulle pour a = o ei pour a =
. r/'jr,
eulre ces limiles, —, — alleiul son ’ dt'
telle est rinclitiaison pour laquelle le mouvement de recul du prisme sera le plus grand possible, toutes choses égales d’ailleurs. Cet angle sera toujours moindre que 45“ : en particulier, si M = m , on aura tang a = 1 y^, d’où
b h \J q. \ \, et a = 35“ — i5' — 4^" •
•Le mouvement du centre de gravité du système dans la verticale est aussi uniformément accéléré, car on a, en désignant par Y l’ordonnée de ce point,
(M Y = my -1-
et, comme y, est constante ,
' ’ df‘ dO
mais
(M + m) g tang’ x
donc
( M -h m) tang’ a -t- M ’
//Ig tang ’ a
( M /« ) tang’ a -t- M
La pression P exercée par le corps m contre la face BC n'est autre que la quantité ; on a donc
cos a
m Mg cos a
sin a dt ‘
m sin’ a
quantité constante cl inférieure à ntg'cosa, c’est-à-dire à la pression que le corps m exercerait sur le plan incliné BC supposé fixe.
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EXERCrCKS DF- Mf.CANiyi E. 38 1
2 . Les memes choses étant posées <pie dans le proidènie précédent , on suppose qiion incline le plan d’appuH^Vé d’un angle a à l'horizon , en sorte que l’hypoténuse lîC devienne horizontale , et Von demande les mouvements que prendront simultanément le corps m et le prisme [dont la pesanteur n’est plus complètement détruite parla résistance du plan fixe RR') (fig. 90).
En prenant toujours pour axes la pcrperKliculaîre CA y et la parallèle C x au plan fixe, et conservant les mêmes notations, le principe ded’Alcmbcrt fournira rtxjuation
/ . (i‘x\ ^ / fi’yX
m [gsm 7 .--^ J OX + /H Ingres a-—- )
gsina, J 5 J, = O ;
et , d'après les liaisons du système, on a
=: const. ,
(j:, — X — a) tang a — y = 0.
DilTércntiant par ô cette dernière équation , et combinant , comme dans le calcul précédent , l’équation résultante avec l’équation (8), on trouve
tl’X
m — - =: mg sin a — X tang a ,
dr ^ ’
M = M g sin a -f- X tang 3 . .
FJiminant / entre (10) et (1 1) , il vient
rf’x rf’r
__tanga— = 0,
l’t en intégrant deux fois ,
x=y tanga.
!i8a • THOISIKMK PARTIE. •'
-Nous supposoïkj (ju’à l’origine le corps m ait été placé en C, sans A'itesse initiale. Ce corps décrit donc une ligne droite, qui n’est autre que la verticale CS. Pour avoir la loi de son mouvement suivant cette droite, il faut associer à l’équation (i 3 ) celle qui résultera de l’élimination de À et de a", entre les équations (9) , (10) et (12) , savoir,
On en tire d’où
■ ni ) sm a — ^ — t- M cos a = ( M m ) g- sin’ a .
at^ /r/l
dr
{ M -i- m-'ig sin’ a cos a
m sin’ a
dy ( M + /« ) g sin’ a cos a dt m sin’ a -f- M
Soit e la vitesse du corps ni ,
dy (M.
ni ) g sin’ a
dt. cos a.
m sm’ a ■
Ainsi, le corps m descend verticalement d’un mouvement nnifonnément accéléré; et l’on voit quel est le retard causé dans sa chute par la présence du prisme.
L’espace Cm, parcouru au bout du temps t par le
point m, sur l’hypoténuse, est égal à ^7^ ; il croît donc proportionnellement au carré du temps. On a ensuite
rf’x,
'Tt?
= — rr ■+■ cos * ■ —, — =
~dt
dv Sin a cos a.
d‘x, ^ (M. -t- /n) g sin a
d'y dt' ’
dt'
m sin’ a ■
Telle est la force accélératrice qui détermine le mouvement uniformément accéléré du prismi-.
Enfin, le mouvement du centre de gravité (X, Y) du
DigitizeO bÿ CoQgJe
système se déduit sans difficulté des deux équations
~dF
dr ’
rf- Y ~dP>'
d’’ y lït^'
