PREMIÈRE PARTIE
L’équalion ( 7 ) devient donc Elle est intégrable , et donne
. — T — V = const.
Mais , par le tbéorème des fonctions homogènes ,
dù'
,dT
on a donc définitivement
(8) T' — V = const.
Cette intégrale, d’une grande importance dans la solution des problèmes de mécanique , contient le principe des forces vives.
Il est utile de remarquer la forme que prend la fonction T dans divers cas.
Si l’on définit la position d’un point m {fig- i), par l’ordonnée parallèle à l’axe oz , m P = z , la projection o P = r de son rayon vecteur sur le plan xoj, et l’angle Poo: = i|», on aura
dx' -f- rfy’ = rfr* -tet , par conséquent ,
On passera ensuite de ce système de coordonnées mixtes, à celtii des coordonnées polaires ordinaires
[ om = R , l’angle zom — 0, et l’angle P ox = i|/ ] ,
en substituant aux variables z ci r les variables R et 0 qui sont liées aux premières, absolument de même que r et l’étaient à x et r- On aura donc
dz‘ -(- rfr’ = f/R’ -f- R’ tlO' -,
THÉORIES GÉNÉRALES
ajoutant membre à membre avec fÉr’ djr'‘ = dr' -f-
il viendra
<£e’ -f- dy^-\- dz‘ = rf R’ -f- R’ 0’ -H ; et comme r = R sin 0 ,
dx' ^ dy' dz' = rfR’-HR‘{t/6’-+-sin' 0rf<{-’),
enfin
rfR’
df
dO'
sin’ 0
Remarquons encore que les transformations précédentes ne sont pas seulement applicables au cas où les variables 0, y , . sont réduites au plus petit nombre possible , c’est-à-
dire ne dépendent d’aucune équation de condition. Il peut arriver que des difficultés d’élimination conduisent à conserver, dans le calcul, un nombre de variables 0, plus grand qu’il n’est nécessaire pour définir à chaque instant la position du système; alors on pourra toujours écrire l’équation (4) sous la forme
dd
Sif -j- ,,, = O ;
mais il ne serait plus exact d’égaler séparément à zéro le coefficient de chaque variation o9, puisqu’elles ne
sont pas indépendantes. On devra associer à cette équation les équations do condition qui lient encore les variables 0, et qu'on diflérentiera par d. Puis on appliquera à ce système, soit la méthode des multiplicateurs, soit telle autre méthoded’élimination qu’on jugera convenable , ainsi qu’on l’explique dans les Trai tés de mécanique pour l’éqnalion (4 ) , prise sous sa forme primitive et associée aux équations de condition L = o , M = o.
IMIEMU-IUE PARTIE,
ghapitrp: il
SUR LES COJVDITIONS DE STABILITÉ ET d’iINSTABILITÉ DE
l’équilibre d’un système de points matériels.
Considérons un système de n points matériels en équilibre et liés entre eux d'une manière quelconque. Ces liai- -sons sont, en général, exprimées par des équations L = o, M = O, ]N' = o,...,
entre les coordonnées X, z, x\. . . des divers points du système. Si nous désignons par île nombre de ces équations, il y aura 3 « — i variables indépendantes, et l’on peut concevoir ipi'on exprime toutes les coordonnées en fonction do ces variables.
ISous supposerons, comme dans le chapitre précédent, que les forces (X, Y, Z) satisfassent à la condition que la somme
ï(Xd.c-|- Yrf/ + Zrfz),
étendue à tous les points du système, soit la dilférentielle immédiate d’une fonction ç des coordonnées x, y, z, x ', . . . , ou , du moins . nous supposerons que la somme ci-dessus devienne intégrable après qu’on l’a réduite à ne plus contenir que les seules variables indépendantes. Les forces de la nature , attractives ou répulsives, qui émanent de centres fixes, ou des actions mutuelles entre deux masses, et qui ne ilépeudent que des distances, remplissent, comme on sait, cette condition.
Si ce, (3, y,... désignent un système de valeurs des variables indépendantes qui déterminent une position d’équilibre, et qu’on vienne à leur attribuer des variations infiniment petites da, d|3,. . ., on a, en vertu du principe des
THÉORIES GÉNÉRALES. ' 1
vitesses virtuelles, {5, y) =o; d’où l’on conclut que,
pour chaque position d’équilibre , la fonction (j> est , en général, un maximum ou un minimum. Il y a entre le maximum et le minimum de la fonction ç une dilférence fondamentale. Quand le maximum a lieu réellement, l’équilibre est stable, c’est-à-dire que si l’on écarte extrêmement peu le système de sa position d’équilibre, et qu’on imprime à chacun des points qui le composent de très-petites vitesses initiab;s , les déplacements de ces points resteront très-petits pendant toute la durée du mouvement, et ne dépasseront Jamais certaines limites très-rapproebées de la position d’équilibre; au contraire, si la fonction ç est minimum, l’équilibre est instable, c’est-à-dire que le système, une fois écarté de la position d’équilibre, tendra à s’en éloigner de plus en plus, quel que soit l’ébranlement initial.
^'ous allons démontrer ces deux théorèmes importants.
La démontration du premier est fondée sur le principe des forces vives. Elle suppose, par conséquent, que les équations de liaisons L = o , M = o , IN = o ne renferment pas le temps t.
jVous avons déjà désigné par « , |3 , y, . . . les valeurs des variables qui déterminent une position d’équilibre. Soient /I, < 7 , r,... les accroissements que prennent, au bout du temps É, ces variables, par suite d’un déplacement trèspetit imprimé au système; p, < 7 , r sont des fonctions inconnues du temps f , dont les valeurs initiales po, fo commencent par être très-petites. Désignons par Vp la vitesse initiale, pareillement très-petite, communiquée à la masse w; chacune des coordonnées jy, z, est une
fonction connue de a -I- /r, |3 -|- < 7 , y -t- r, tjui ne renferme pas le temps t.
Cela posé, on a, à l’origine du mouvement,
ï/ziVJ (a (5 + v„, 7 -t- c,, . . .)-(-consl.,
IMlEMIEllE PAKTU;.
et, au bout du temps f,
2 /« V’ = <p(a -4-/;, P -I- 7 -H r) + consl. ;
d’où
2/7» V’ == 2/wV; -I- ?{a +p, fi -t- 7, 7 4- — 7(a4-//,, P 4-?,, 7 4-r,,...).
Maintenant, pour démontrer la stabilité de l’équilibre dans le cas où y (a, | 3 , y,...) est un maximum, on s’attache à faire voir que si les variables p, q, ne restaient pas toujours comprises entre des limites déterminées et trèspetites, il arriverait un instant où la somme 2 mV’ aurait une valeur négative, ce qui serait absurde.
Ici , M. Lejeune-Dirichlet a notablement perfectionné la démonstration ordinaire (^). Celle-ci laissait à désirer, non sous le rapport de la rigueur, mais de la généralité , attendu qu’elle reposait sur la considération des termes du deuxième ordre, en /», <7, r, que fournit la série de Taylor appliquée à la fonction y(a4-/?, 4- <7, termes
dont l’ensemble peut s’évanouir sans que le maximum cesse d’avoir lieu.
Voici, sauf quelques modifications de forme, le procédé de M. Dirielilet. Posons
fi 4-7, 7 7 7 > '■«
il en résulte
7(«4-p., P 4 - 7,, 74- r,,...) = 7(a, fi, 7,... ) 4 - '!<(;/. , 7,, ro,...), et
2/nV’ = 2 ///V; 4- '!<(//, 7 , r, ...) — •!(//„, 7 „, r,, .. . 1 .
On a
(•) Journal de Mathématiifucs pures cl applnpiévs ( 1847 ).
TITÉOniES tîÉNÉU\LES.
et puisque(ji(a, ( 3 , y , . . .) eslmaximum, la fonction r, . . .)
devra être constamment négative, tant que les variables q, r,... auront des valeurs numériques Inférieures à certaines limites positives p\ q\ r'. On peut supposer les valeurs absolues de ^o, q^, /05 plus petites que p', q\ r', et alors il est certain que, pendant un certain temps , les variables P, q, r seront aussi numériquement plus petites que ces limites. .Te dis maintenant que cet état de choses se maintiendra pendant toute la durée du mouvement, c’està-dire que chacime de ces variables restera constamment inférieure à la limite qui lui correspond.
En effet, soit A la plus petite valeur absolue que puisse prendre la fonction <p(p, q, t",...) , lorsqu’on attribue divers systèmes de valeurs très-petites à p, r,..., tels que l’une, au moins, de ces variables soit égale en valeur absolue à sa limite p', q', r' (A n’est pas nulle) ; et supposons que l’écart initial satisfasse à la condition
S/nV; — 7 o, c,, .. .)<A,
ce qui est toujours possible.
Cela posé, si les variables p, q, r ne restaient pas constamment au-dessous de p', q\ r',... ; comme ce sont des fonctions continues du temps, il faudrait qu’à un certain instant une ou plusieurs de ces variables devinssent numériquement égales à leurs limites respectives, sans qu’aucune des autres variables eût dépassé la sienne : à cet instant on aurait
et ajoutant cette inégalité à la précédente.,
lin\'l -t- if(p, 7, r, . . .) — iHp., 7,, .)<0;
par conséquent, 2mA ’ aurait une valeur négative.
