PREMIERE PARTIE

Ainsi , dans le cas où la lonclion f est un maximum , les variables /f, q, r ne pouiTont pas croitn* au delà de certaines limites déterminées et aussi petites que l’on voudra. Les vitesses des dillérents points du système seront également limitées, puisque 2 mV* reste toujours inlérieiire, ou au plus égale à

lm\l — </., r ,, . . .).

Passons au cas où la l’onction f est un minimum.

Le mode de démonstration que nous venons d’cxpo.ser n’est pas propre à mettre en évidence l’instabilité de l’équilibre.

Lagrange a résolu cette dernière partie de la question, dans la sixième section de la Mécanique analytique, où il étudie les oscillations très-petites d’un système de points matériels autour de leurs positions d’équilibre. 11 y démontre incidemment l’instabilité, dans le cas où la fonction o est un minimum.

Nous nous proposons de donner à cette démonstration une forme plus simple et propre à être admise dans l’enseignement. En même temps nous signalerons un cas où l’analyse de Lagrange est en défaut.

Nous partirons de l’équation générale de la dynamique.

rf’r ,

"dr'

et d’abord, il convient d’y remplacer a:, z, x',... par leurs valeurs en fonction des 3« — i variables indépendantes, tirées des i éxjuations de condition L = o, M = o,

N = o, Cliacune des coordonnées x, y, z, x',... peut

être considérée, ainsi qu’on l’a déjà dit, comme une fonction de « -t- p, (3 -I- 9 , 7 -+- /•,... sans t^a,ji, y,... désignant

THÉOniES GÉNÉRALES.

les valeurs des variables pour la position d’équilibre. jNous supposerons, pour abréger récriture, que ces variables soient au nombre de trois.

Lorsqu’on substitue les valeurs de x,j', s, x',... dans la somme

2(Xrf.r-t- Yrfr-t-Zrfz),

elle devient, par hypothèse, la difiérentielle exacte d’une fonction 9 (a -1- p, /S -t- (7 , 7 4- r) ; par conséquent , la même substitution , ellécluée dans le second membre de l’équation (i) , où les cl sont changés en d, donnera

(2) 2(XJx-t-YJj-f-Zoz) = iî.ç{a-|-/^,(5-t-7,7-(-r).

Tant que p, q, r auront de très-petites valeurs , cette fonction 9 pourra être développée, par la formule de Taylor, en série très-convergente, ordonnée suivant les puissances et les produits de p, <7, r. Comme 9 (a, | 5 , y) est un minimum, les termes de première dimension en /t, y, /• seront nuis, et l’on aura

-f- (A/?’ 4 - B<7’ 4- Ce’ -f- i\)pq 4- aE/J/' -(- 2 F 7/ ) -f- t,

en posant, pour abréger.

- B dp»

doLcly ’

d^dy

£ désigne l’ensemble des termes d’ordre supérieur au second, qu’il est inutile de développer. Nous supposons que le minimum de la fonction puisse être constaté par la considération des seuls termes du deuxième ordre ; en sorte que le polynôme ( Ap’ -)- B/7’ 4 - • . . 4 - 2 F qr) conserve con-

PllF.MIERE PARTIE.

stammenl le signe -f-, quels que soient les signes et les grandeurs de p, <7, r.

En prenant la variation de la fonction ç, et omettant les termes provenant de £ , lesquels contiendraient les carrés et les produits des variables p, 17, r, supposées très-petites, on aura simplement

P -t- <7, 7 -+- r) = (A/< 4- + Er)^/> 4 -{D/>-l-B(/-f-Fr) 57 -(-(E/)-l-F 7 -t-C/')^r.

Si l’on compare entre eux les groupes de termes qui mulliplient d/>, J<7, dedans le second membre de celte égalité, on remarquera que les coefficients des variables qui entrent dans un groupe se répètent tous une fois dans les autres groupes, à l’exception du coefficient de la variable soumise au signe d dans ce même grou|>c, lequel ne se répète pas. Par exemple , les coefficients D et E du premier groupe qui est alïccté de dp, se retrouvent une fols dans les autres groupes, savoir, I) dans le deuxième groupe et E dans le troisième, et, de plus, ils multiplient précisément la variable dans CCS groupes; mais le coefficient A n’est pas répété. Cette remarque, qui nous sera utile plus loin, subsiste évidemment quel que soit le nombre des variables indépendantes.

Considérons actuellement le premier membre de l’équation (2). On a, pour chaque coordonnée, un développement en série de la forme

X = a n, P n, 17 +- Uj r -\- Ç ,

y = b -t- è 1 P -+- è J ry -f- è, r 4- >i ,

• Z = c 4- Cl P 4- c, 7 4- Cj r 4 6,

’ j;'= n'-+-a' f/4-rtî 74-Oj C4- Ç',

», 0, désignent l’ensemble des termes du deuxième

THÉORIES GÉAÉUALES. I~

ordre et des ordres supérieurs. Les coefficients «, rtj,...,

/'i,... etc., sont des constantes données.

On en déduira les valeurs de , et aussi

dr df‘ df‘

celles de ox, d)', dz; et l’on négligera les termes qui proviendront des restes r;, G,..., parce que, dans les pro-

, . rf’x ^ d^y .

dults —-ÛX,

dt‘ ’ rln d

ces ternies introduiraient les car-

rés et les produits de ;i, </, /• et de leurs dérivées, que nous sommes convenus de négliger. On aura ainsi

•AH| Ôx-I

dr dt^ ■

dt'

dt‘

dt^ df=

en posant

ï /w (a ; -h G : -I- e ; ) = A', lmlol + h\-hr\) = W, I ni (a J -i~,h J -t- e ’ ) = C',

2»({a,a.,-+- />,(i,-hr,c,) = D', (a,a,-|- b, + c^c^) E',

2 OT (a.a, -I- bj b^ -f- c,c^) = F'.

Il y a, sur la composition des groupes qui multiplient ôp, oq, âr, d^ns le second membre de l’équation ci- dessus, une remarque analogue à celle que nous avons faite plus haut. Chaque coefficient se trouve répété deux fois, à l’exception du coefficient de la dérivée de la variable soumise au signe d dans le groupe que l’on considère. Ainsi , par exemple, les coefficients D' et F/ du premier groupé*’ en âp se retrouvent, l’un dans le deuxième groupe, l’autre dans le troisième, et ils y multiplient précisément les dérivées de la variable p. Ce fait est général , et a lieu quel que soit le nombre des variables Indépendantes.

Les deux membres de l’équation (2) étant ainsi transfor-