REMlkHE PARTIE
mes, ou devra égaler respectivement les coeHicienUs de cliacune des variations indépendantes dp, dfj, ùr, que cesdtmx membres renferment. Il en résultera des équations linéaires à eoefHcients constants, en même nombre que les variables indépendantes p, q, r, et pmpres à déterminer, par approximation, ces variables en fonction du temps, du moins tant qu’elles resteront très-petites.
(ies équations sont ici au nombre de trois, savoir ;
(if
, f/ ’ 7 , fl ‘ r
fit ’ fit ’
ft’i
3) in' 7F + B' 7,; + Ti77 - n/'- B'/ - Fc = o
(It
fit’
fit' fit' fit' ‘
V fj — G c = O .
En rapprochant les deux remarques que nous avons faites ci-dessus, on peut dire que tout coedicient de l’une de ces équations se retrouve dans rune des autres, à l’cxceptioti des deux cocllicients relatifs à la variable p dans la première équation, .à la variable q dans la deuxième , à la variable r dans la troisième, lesquels ne sont pas répétés. De plus, les coefficients relatifs à une variable, et susceptibles de répétition , dans l’une des équations (par exemple I) et D'dans la première) , deviennent , dans l’une des autres équations, coefficients relatifs à la variable pour laquelle il n’y avait pas répétition dans l’équation d’où l’on est parti.
Nous allons maintenant démontrer que, dans le cas où la fonction (j> est un minimum, les valeurs de p , q , r, qui vérifient ces équations , ne sauraient demeurer toujou rs trèspetites, quelle qu’ait été leur petitesse dans l’origine. 11 en faudra conclure que l’hypothèse d’un mouvement oscillatoire dans lequel les points du système resteraient toujours
TIIÉt)niES GÉNÉRALES.
très-voisins de leurs positions d’équilibre , est inadmissible, et, par conséquent, que l’équilibre est instable.
On sait qu’on satisfait aux équations (3) par des valeurs de la forme
P = /■ H sin ( f \/p — h), q =z A' Il s\n {t — h), r — h" H sin ( r — /<) ,
H et A étant des constantes arbitraires ; et l’on a , pour dé-
terminer p et les rapports — ? — > les trois équations
(4) |p(D'/--t-B'y^'-|-F'r) -h(DX -(-B<'-HFr) = o,
( P (E' -I- F' k' -+- Ck" ) -f. (E X 4- F /?■' -H C k" ) = o .
De deux d’entre elles, on dt*duira les valeurs des rapports k' k"
7 “» -r 1 sous forme de fractions rationnelles contenant la k k
deuxième puissance de p, et la substitution de ces valeurs dans la troisième équation fournira une équation en p du troisième degré. En général, cette équation en p sera d un degré marqué par le nombre des variables qui servent à déterminer la position du système. A chacune des racines de cette équation correspondra un système de valeurs des rap- /■' k"
ports — ? — 5 on pourra prendre, pour la symétrie, k égal
au dénominateur commun de ces rapports. De cette manière, on aura trois systèmes de valeurs particulières pour p , q et il ne restera qu’à en faire la somme (en afl’ectant dans chaque système les constantes arbitraires H et h d’un caractère différent) pour avoir les intégrales générales des équations (3). Quant aux six constantes arbitraires, on les
déterminera au moyen des valeurs données de p , <y , r,
dq dr ■ • . , ,
— t ^ pour t = O-, comme ces dernières sont supposées tres-
20 I J-lîliMlkRE PARTIE.
petiles, il est visible ijue les valeurs de li le seront aussi; et, par suite, les valeurs de />, q, / seront très-petites, du moins au romineiicement du mouvement, ainsi que cela devait être.
Or, sans prendre la peine de composer réquation en p , on peut s’assurer aisément qu’elle n’aura pas de racines réelles et jMsitwes-, et cela suffira pour prouver l’instabilité de l’équilibre. Car alors les valeurs de Vp étant toutes imaginaires, les sinus qui entrent dans les expressions de p, q, r se transformeront tous en exponentielles réelles, et, par suite, les valeurs générales de//, q,r se composeront de termes de la forme
(Rc'" + Sc-“'),
où nous désignons par w l’une des valeurs de \ — p, et par R et S des constantes qui dépendent du déplacement initial du système. Si 11 n’est pas nul, le terme ci-dessus finira par croître indéfiniment avec t. Ainsi , à moins qu’on ne suppose le cas tout à fait exceptionnel d’un déplacement initial , présentant cette circonstance singulière que tous les coefficients, tels que R, des termes à exposants positifs, soient nuis, on sera certain que les valeurs des variables p, q, r cesseront d’être très-petites au bout d’un certain temps. Le système tendra donc toujours à s’éloigner davantage de sa position d'équilibre, quel que soit l’ébranlement initial: sauf toutefois le cas unique que nous venons de signaler, et où l’analyse précédente ne permet pas d'affirmer qu’il y ail instabilité.
La question .est ramenée à prouver que l’équation en p n’a pas de racines réelles et positives ; à cet effet , nous allons mettre les équations (4) sous une autre forme : désignons par T ce que devient la demi-somme des forces vives des points du système, e’est-.à-dirc la fonction
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