B' X '= + C' X -H 2 D' X X' 4 - 2 K' XX" -H 2 F' X ' X

Soit encore V ce que devient le polynôme du deuxième ordre de la fonction des forces , c’est-à-dire ^ quand on y remplace p, e' respectivement par h , A', A", en sorte que

V = |( A X’ 4- B X'’ -t- C X"’ 4 - 2 D XX' 4- 2 E XX" 4- 2E X'X").

Il suit des remarques que nous avons faites sur la composition des équations (4)5 que les coefficients de p dans ces équations ne sont autres que les dérivées partielles de T relatives à A, A', A", et que les groupes indépendants de 0 ne sont autres que les dérivées partielles de V relatives aux mêmes quantités. Les équations (4) peuvent donc s’é< rire

3 I rx Cl •

ainsi :

dT ^ dp ■ di

“ dk" '

■ dk ''

dk' ''

dk" ''

et si on les ajoute, après les avoir multipliées respectivement par A, A', A",..., on aura, vu que 'I' <‘l V sont des fonctions homogènes du deuxième degré ,

f/r 4- V = o, d’où

PnEMIERE PARTIE.

Celle formule renferme la démonstration de la proposition énoncée. En elfet , remarquons que les valeurs réelles de p doivent correspondre à des valeurs réelles de A, A', k" •, et qu’en supposant A‘, A', k" réelles , les fonctions T et V sont essentiellement positives, savoir ; la fonction T, par sa délinition meme, puisqu’elle provient d’une somme de carrés de quantités réelles, et la fonction V parce que tp (a, /3, y) est un minimum. Donc les valeurs réelles de p sont négatives.

Il nous a sulli, pour établir l’instabilité de l’équilibre, de démontrer que l’équation finale en p ne saurait admettre de racines réelles positives.

M. Sturm a soumis les racines de cette équation à une diseussion approfondie. Après avoir établi que toutes ces racines sont récllas et inégales (ce qu’avait déjà fait Laplace, d’une manière moins simple, dans un chapitre de la Mécanique céleste ) , M. Sturm a fourni le moyen de les séparer, et a fait eonnaitre plusieurs propriétés remarquables qu’elles possèdent. Un extrait seulement de ce Mémoire important a été inséré dans le Bulletin de Férussac {octobre iSap).

THÉOniES GÉNÉRALES.