CHAPITRE III

INTÉGRATION d’oN SYSTÈME d’éQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

DU premier ordre, d’après M. JACOBI. APPLICATION

AUX ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT o’uN POINT MATÉRIEL.

1. On propose d’intégrer un système d’équations différentielles du premier ordre, de la forme suivante :

‘ dt dx"' dt dx ’ dt dy’’’ dt dy' '

V étant une fonction connue des variables .r, x\j,y\ qui ne renferme pas la variable t explicitement.il suffira, pour l’exposition de la méthode, de considérer le cas de quatre équations différentielles.

On sait que les intégrales renfermeront quatre constantes arbitraires a, jS, (2'j en sorte que, si on- les suppose résolues par rapport aux constantes, elles prendront la forme

y,(f, x,x', 7, /) = a', ■Sf,{t,x,x',y,

De plus, chacune des fonctions ç, ip,... satisfait identiquement à l’équation aux différences partielles.

dt^ d'^ d\

dx dx'

d^ d\ dx' dx

do dV dtf d\

dy dy dy' dy

Et réciproquement, si une fonction x, x', y,y'), dans laquelle t, x., x'., j, j' sont considérées comme des lettres indépendantes , est telle , qu’elle satisfasse identiquement à l’équation ( 2 ), on aura une intégrale des équa-

PKEMIERE PARTIE.

lions (i), en posant x, x',j, y') = a , où a désigne une constante arbitraire, et a:, y'des fonctions de la

variable indépendante t , qui satisfont, aux mêmes équations dillérentielles.

Cela posé, si l’on prend pour y la fonction V, il est visible que l’équation (a) sera identiquement satisfaite; car V

ne contenant pas t , le terme ~ est nul , et il reste l’identité

d\ d\ d\ dV dV dV dVdV__

dx dx' ilx' dx dr dy' dy' dy ^

Donc V = a est une intégrale première des équations (i), et cela, quelle que soit la fonction V, pourvu que t n’v entre pas.

Supposons maintenant que le problème , qui a eonduit à des équations différentielles de la forme (i), soit de telle nature , qu’on sache trouver une seconde Intégrale

la fonction F ne contenant pas la variable t.

C’est ce qui a lieu, par exemple, dans la dynamique, lorsqu’on étudie le mouvement d’un point attiré vers un centre fixe ; le principe des aires fournit cette seconde intégrale. Nous développerons plus loin cette application.

Le théorème de M. .Tacobi consiste en ce que , la seconde intégrale une fois connue, on pourra toujours déterminer, à l’aide d’une simple quadrature , les deux autres intégrales qui complètent la résolution du problème.

En effet, çonccvoiis qu’on ait tiré des deux intégrales V = «, F =T^es valeurs de x' ci y' en fonction de oc, y, a et/3, et qu’on les ait substituées dans la première et la

, , , V , r • dV d\

troisième équation du système (i); les lonctions — ? —,

ne coiilicndronl plus, après cette substitution, que les va-

THÉORIES GÉ»ÉKAI.ES

l'iables x et j', et nous les désignerons, sous cette nouvelle

forme, par

(iX

\rfx‘

La question sera ainsi ramenée à intégrer le système des équations

' ^ .lit V-r'/’ lit \rf/

et tout se réduit à trouver deux fonctions II de t, .r et y, ijui satisfassent à l’équation aux difTérences partielles '/n dn/dV\ dn fdv\

A cet dl’et, nous allons démontrer que x' et y', étant considérées comme des fonctions de x,jy, oc , /3, déduites des deux premières intégrales, x'dx-t-y'dy est la dilïéren-^ tielle exacte d’une fonction 0 de x^y, a et |3. 11 suffit, pour

cela , de prouver que

Or, si l’on diflérentie, par rapport à a:, les équations V = a, F = jS , en y regardant x' . y' comme fonctions des variables indépendantes x et y^ il viendra d\ dV dx’ dV dy'

dx dx' dx dy' dx '

d F d F dx' d F dy'

dx dx' dx dy' dx

• . . dx'

Rliininant —■> on en tire dx

dy,