U. XX
dx dx'
dx' dx
d¥ d\ (IF d\ dx’ lïÿ' “ dÿ dl'
Kn changeant x enj', x' en y' et vice versa, on a dF d\ dF d\ dx' dy dy' dy' dy
■ dF dy' dx'
dF d\ dx' dy'
PnEMIERE PARTIE.
Les dénominateurs sont égaux et de signes contraires : il reste à faire voir que la somme des numérateurs est nulle, ou que
— '/FrfV rfFrfV
<Lr dx' dx’ dx dy dy' dy' dy
Eflectivement, cette équation exprime que la fonction F satisfait à l’équation ( 2 ), et c’est ce qui a lieu, puisque F est une intégrale des équations ( 1 ).
On peut donc poser
, de -^~dl'
de dy ’
et la fonction 0 sera connue par l'intégration directe de la différentielle x'dx -Fy'dy^ réduite aux deux variables x et y.
Maintenant je dis que deux valeurs de la fonction O , propres à satisfaire à l’équation (4), sont
de de
En elfet , puisque l’équation \ — a — o deviendrait identique par la substitution des valeurs de x' et y' en fonction de x,y, a, /3, on pourrait, après la substitution, égaler à zéro sa différentielle par rapport à j3, oc étant considérée comme constante; ou, ce qui revient au même, on peut dilférentier d’abord l’équation, par rapport à (3 , en y regardant x' et y' comme des fonctions implicites de j3 , et lie substituer leurs valeurs qu’après la différentiation. On a ainsi
/yvxdx'
\ dx' J '/p \'iy] 'fp
Remplaçons dans cette identité x' par ‘^1 y' par ^5 et Mitervcrtissons l’ordre des diflërcntiations; nous aurons en-
Diyi* cod by GoOi'jK
THÉORIES GÉNÉRALES
core identiquement
'rfV\ ‘’d^
\dx' ) dx \dy' j dy
donc ^ satisfait à l’équation (4), puisque d’ailleurs celle fonction ne contient pas t; par suite,
rfp P
(/3' désignant une constante arbitraire) , sera une troisième intégrale des équations (i).
En dirt'érentiant l’équation V — a = o par rapport à «, ou trouvera de même l’identité
Ce qui prouve que la fonction — 1 satisfait à l’équa-
tion (4) ; donc la quatrième intégrale sera
A la rigueur, on aurait pu s’arrêter à la troisième intégrale ~ = Gt regarder le problème d’intégration des
équations (i) comme résolu, puisqu’il était réduit aux quadratures : en efl’et, les trois premières intégrales fournissant les valeurs des trois variables x', y',j en fonction de x; si l’on substituait ces valeurs dans l’équation
dx d\
7i~dP'
on aurait
■=/(-r, ît. [C P')
d’où
IMÎEMIKIIK l-Al\TIF..
/ ' (Jx
Mais ce calcül est moins simple que le précédent , pari'c «pi’il exige une quadrature de plus.
Nota. Les équations V = a, F = | 3 , ne cesseraient pas d’être les intégrales des équations (i), si l’on introduisait dans celles-ci un facteur X fonction de t et de V, en sorte que les étjuations devinssent
<lx ^
dt dx' ’ dt dx * dt dy' ’ dt * dy ’
car d’abord le facteur \ disparaîtra de l’équation (2), i|uand on y remplacera par V ou par F, et cela , qutd que soit ce fadeur, fonction de V ou non ; puis , si X est fonction de t et de V, il deviendra , en vertu de V = « , une simple fonction de t qu’on pourra faire passer en diviseur avec dt, dans les équations dillérentielles ; en posant \dt = dt , T sera une fonction de t connue par la quadrature fldt-, dz remplacera dt dans les calculs précédents, et l’on trouvera pour quatrième intégrale
2. y/pjdica lions. — ^fous ferons d’abord , eu peu de mots, l’application de cette méthode d’intégration au problème du mouvement d’un point matériel sollicité par une force dirigée vers un centre fixe et fonction de la distance.
(ies équations sont
éc
tlt '* y '
en prenant le plan de la trajectoire pour plan des x) , le centre fixe pour origine, <'t désignant par r le rayon vec-
ruÉOKiES r.ÉNÉn Ai.E.s. ac>
leur du mobile, et par R la fonction de r tpii représente la force. Soit
= V=/Rdr + j(.r'’+/»).
Au lieu des deux équations du second ordre, ou aura le système équivalent des quatre équations du premier ordre ;
dt dx' ' dt d.r ’ dt dr' ’ dt d)
Ainsi, le problème pourra être résolu pai- la méthode développée plus haut.
\ = a, c’est-à-dire
/Rr/r= a
est une première intégrale. On y reconnaît Vèquation d(‘s forces vives.
Le principe des aires fournit la deuxième équation xr' -yx'= ji.
Ces deux intégrales ne sont, relativement au problème de dynamique qui nous occupe, que des équations différentielles du premier ordre, ou , suivant l’expression de .M . Hamilton, des intégrales intermédiaires propres seulement à faire coniiaitre les composantes de la vitesse du mobile, lorsque a: et J' seront déterminées en fonction du temps. Pour avoir les deux autres équations qui sont les véritables intégrales en quantités finies du problème, on tirera des deux premières les valeurs de x' et y’ en fonction de or, J, a et (5; puis on formera la différentielle x' dx-y-y' dy . On trouve ainsi
r' d.v -t- y' dy ~
8 (xdv — ydr)
En posant, pour abréger.
± - ya (U •+-«)/■’ — ./ Adr = — l'.
PllEMIEIlE PARTIE.
l'onlormémeiil a la théorie, cette dilVéroniielle est imiué-
diatemeiit intégrable et donne
H = ^ arc tang -h
ou bien, en désignant par 6 l’angle du rayon vecteur avec l’axe des x,
0= p6 + J'-^{r)dr.
Il ne reste plus qu’à différentier la fonction © successivement par rapport à |3 et a [/3 et « entrent dans (^‘)], puis ou posera
rfe f/0
La solution complète du problème est ainsi réduite à ne dépendre que d’une seule quadrature (/■) dr.
Au lieu d’intégrer (/■) dr, pour dillérentier ensuite l’intégrale par rapport à /3 et a, il sera, dans certains cas, préférable de dillérentier d’abord sous le signe / et de n’intégrer qu’après. Les deux intégrales se présenteront alors sous la forme suivante ,
J ^2 (U a)r’— ji’
Supposons, par exemple, que la force centrale soit eu raison inverse du carré de la distance
R=^^) d’où U=:-5
et l’on aura, par ces formules,
- fi' := H I ~r==
r\J 2 -xr^
-t- 2 ur —
THÉOIUES GÉMÉRALF.S.
d’où l’on lire
y/ 1 -I- — “Ë cos (0 — P')
OU r
e cos (9 — P' )
en posant
^ I H !— = c’ et — = « { I — c’ ) ;
rt et e sont des constantes arbitraires qui remplacent a. et |3. Cette équation détermine la trajectoire, section conique dont le centre fixe est un foyer. Enfin, la position du mobile au bout du temps t est connue par la dernière inlégrale
J y 2 ar’ -i- 2 pr -
Si l’on y l’cmplacc 2 a par — et /i’ par ftn (i — e’), il vient
rdr
— — [fl — r)’
Pour simplifier, on pose et l’on a
na[t
-f- ît ) — I
mais l’expression de t en r, sous forme finie, n’étant pas d’un usage commode, on préfère introduire la variable n ou V anomalie excentrique , en posant
r = a ( 1 — c cos U ) ,
^2 Pr.EMfklIK PARTIE.
et l'inttigi-alo pnicédcnic sc rtkiuit à Ht z= U — c sin U ,
«>ii comptant le temps à partir de l’époque où u = o.
INousne poursuivrons pas plus loin la solution bien connue de ce problème.
Revenons à la fonction 0 , dont l’expression , dans le cas d’une force centrale quelconque, a été trouvée
» = fl arc tang
<lr
D’après la manière dont cette fonction 0 a été calculée, on a
f/s , f/j; dx fit
dS
dÇ'
dy
fit
On peut donc remplacer dans l’équation des forces vîtes fis . ds
di' y d7'
.r' par y' par ~i et l’on a identiquement
Ainsi la fonction 0 vérifie identiquement cette équation aux différences partielles du premier ordre.
Réciproquement, si l’on trouve une fonction 0 de.r et 7 , contenant deux constantes arbitraires a , fit, autres que celle qu’on peut y introduire par simple addition, et vérifiant idciitiqucmeiit l’équation (5), les intégrales complètes des équations difrérontielles
dr=-^7'
flf‘ r
seront
fis
df!
ds
dit
ot! et ( 3 ' étant deux nouvelles constantes arbitraires.
dette proposition remarquable, qui permet d’exprimer
Digiîized by Googl
THÉOlllES CÉIvtlUI.ES. 3;^
les intégrales finies du mouvement par les dérivées partielles d’une seule fonction ô, satisfaisant à une équation aux différences partielles du premier ordre, n’a pas seulement lieu dans le cas d’un point sollicité par une force dirigée vers un centre fixe; elle s’étend <à tout système libre de points matériels , dans lequel la fonction des forces U ne contient pas le temps t explicitement.
L’idée première de ce théorème est due à M. Hamilton [Transactions philosophiques, i83'4 et i835). Mais ce savant avait cru que la fonction 0 devait être assujettie à satisfaire en même temps à deux équations aux différences partielles, tandis qu’«/ie seule équation suffit, ainsi que l’a fait voir M. Jaeobi [Journal de Mathématiques de M. Liouville, i838, page 6b).
Il ne sera pas inutile de rapporter ici la démonstration fie iM. Jaeobi, en nous bornant, pour simplifier, au cas d’un seul point matériel , ce qui n’altérera en rien le fond de la démonstration.
Continuons à désigner par Ü la fonction de x,y, z sans t , dont les dérivées partielles représentent les composantes de la force accélératrice appliquée au mobile; les éf|uations dilVérentielles du mouvement sont :
' f/.r ’ dfi ft) <lt' flz ’
et le théorème à démontrer peut s’énoncer ainsi ;
Soit 0 une fonction de x,y, z contenant trois constantes arbitraires (autres que celle qu’on peut tou-
jours introduire dans cette fonction par simple addition) et vérifiant identiquement l’équation aux différences partielles
2(lM-a).
•Î4 VllF.Mli.Rli VAIlTfK.
Les équations ((>) auront pour intégrales roin/>lètes
ria , fl B lie
-jâ = P’
da. ' ’ rff
/5', y' étant trois nouvelles constantes arbitraires ; et les trois intégrales intermédiaires
dz
dx
de
dl'
dt
de
dy' Ut
de dz '
jeront connaître les composantes de la vitesse suivant les axes des coordonnées.
Démons! ration . — Si nous diHerciilions les équations ( 8 ) par rapport à / , les ronstantes a', j3', y' disparaissent, et il vient
d'e dx d'e dr
d a dx dt d'e dx d 6 d.r dt d^e dx
dadr dt d‘‘e dr d 8 dy dt iPe dr
d’e dz __ Uadz dt d^e dz
d^dz dt
iPe dz
dy dx ,dt . dydy dt dydz dt
Ces équations délcrmiricni les valeurs de Or
‘ dt dt dt
si on les compare aux trois identités qu’on dé<luit de l’é-
(juation ( 7 ), en la diflerenliant partiellement par rapport à
a, /3, y, savoir,
de
dHf* de
de
dadx dx
d a dy dr
dadz
riz
fin
d’e de
de
d^dx
dx
d^dy dy
7lfd'z
de
d^e de
de
dy d.r
dy dy dy
dy dz
on reconnaît immédiatement que les valeurs de —5
^ dt dt
^5 tirées du premier système, sont respectivement les
THÉOlUES GÉNÉKAI.ES.
,, , fU-} de d& . , . ,
nieiiies que colles de — ? — j ^ ■> tirees du second système.
Donc on a déjà
dx de djr d e dz d 0
dl dx ' dt rly dt dz
Difl’érentiaiit de nouveau ces dernières expr<;ssions , par rapport à il vient
di")
d'e de
~dF~
dx'
dx
dxdy dy*
dxdz dz
tl'e
dS
d'e de
dt'^
dxdy dx
dy' dy
d^dz
lïz'
de
d'e de 1 1
de
dF~
dxdz
dydz dy
dz'
liF'
Or les seconds membres sont précisément les dérivées partielles de la fonction U, qu’on tirerait de l’équation (7); donc on a
d^x dV d'y d\i d'z dH fit' dx ’ dt' dy ^ dt' dz
Les équations (6) sont donc satisfaites par les valeurs de Z , en fonction du temps , tirées des équations (8) ;
ce qu’il fallait démontrer.
Nota. Puisque la fouction des forces U ne renferme pas./ explicitement, le principe des forces vives a lieu, c’est-àdire que , '
c étant une constante, ou bien, d’après ce qui précède,
(de\' (de\' ide\' ,
11 résulte de là que la constante a de l’équation (7) n’est autre que la constante c qui entre dans l’équation de.s forces vives,
l'RRMIEKK HAftTlK.
IVous avons supposé ^ dans tout ce qui précède, (jue la f’onclioii des forces D ne renfermait pas le temps ; si le contraire avait lieu, comme, par exemple, dans le cas d’un point attiré par des centres mobiles, ladbnction 0 ne serait plus indépendante du temps , elle serait remplacée par une fonction $, vérifiant identiquement l’équation aux diflél’cnces partielles
On démontrerait, par des calculs semblables aux précédents, que les trois intégrales complètes du mouvement seraient
et l’on aurait toujours les intégrales intermédiaires
ilx rfS dy- d?i dz dS
dt dx ’ de d y * dt dz
Ce cas doit comprendre celui que nous avons ti’ailé plus haut; et, en effet, lorsque U est indépendante de t, le principe des forces vives, combiné avec les intégrales intermédiaires , donne
on en conclut
dS
dt~~ •’
et si l’on pose
0 sera une fonction de (,r , )■ , z , a , , y,) sans t . , vérifiant
l’équation (y). La première des intégrales ci-dessus — = a ,
U;s autres seront composées en 0 comme en S. On retrouvera ainsi les intégrales ( 8 ).
La première partie de ce travail a été rédigée d’après une Leçon de M. Liouville au Collège «le France.
Le lecteur, curieux d’approfondir cetlé importante théorie et de connaître les applications dont elle est susceptible, |)ourra consulter le Mémoire, déjà cité, de 1\I. .Tacobi , et le secoiid Mémoire de M. Liouville, sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d’un point matériel peuvent s'intégrer [Journal de Mathématiques . page 4 to; 1847 ).
deviendra
rnèoiiiEs oÉNènvLF.s.
Digüi^wj ijy Guo^Ic
PRKMltKE VAirriE.
