CHAPITRE IV

nÉVÉI.ül>PF..ME»TS SUR l.E CALCUL DES

VARIATIOKS.

i . Sur la recherche des nuixima ou minima de l’intégrale I \dx, dans le cas oit les deux fonctions incon-

nues y et z que V renferme, sont assujetties à satisfaire à une équation différentielle

Rappelons d'abord la méthode que l'on suit, lorsque l’équation, à laquelle les fonctions y‘et z doivent satisfaire, est une équation finie

c est-à-dire, lorsque la ligne qui doit jouir de la propriété du maximum ou du minimum, est assujettie à être située sur la surface représentée par cette équation. On en conclut, entre les variations âx, ây, àz, la relation

fA) — — 5a: H- —— 0 r H —Szz=o,

dx dy ' dz

d’où l’on peut tirer $ z en fonction de dx et ày, et substituei-

sous le signe f dans l’expression | à{\ dx), (|ui ne ren-

fermera plus alors que les deux ^variations indépendantes dx, èy\ mais comme la quantité sous le signe /qui doit être égalée à zéro est de la forme Aw -f- A'w', il est préférable de remplacer dans l’équation (A), à y etds par leurs valeurs

tî r = /dx -f- w, dz =r z'Jx -J- m';

TIIÉORIKS GÉKÉIUI.KS.

Cl, en ajanl égard à réqiialioii

rf F = O, ou

fTx "^f/f

rétjiialioii (A) se réduit à

Tirant île là le rapport —, et le substiluaiil dans l’équa- I ion

il vient

Kn posant

f/V=Mf/x4-Nf/»--4-Pf/v'+Qf//' -(-N'f/z+P'f/z'-i-Q'f/3"-f-..., on a

à rétpiaiion précédente il faut associer F{x, J, l)=ro.

Ces deux équations déterminent y cl z en fonction de x'.

Celle méthode doit être inodihéc, lorsque l’équation qui a lieu entre J' et z n’est pas finie, mais différentielle, tell(' que réfjualion (i). Voici le procédé général à suivre.

Puisque l'équation ^i) doit être satisfaite par les valeurs <lex, Z qui répondent à tous les éléments de l’intégrale

I \ f/x, on aura, pour chacun de ces éléments,

11 en jésuite entre les variations d.r, dj , oz, de ces divers

40 PKKMIÈHE l‘AllTlE.

élémeuls, une iiitinitë cl’éqiia lions de condilioii , qu’il faut associer à

J' 5 ( V (Ix) — O.

Pour employer la méthode des multiplicateurs, concevons chacune des équations ( 2 ) multipliées par un coefficient indéterminé, variant de l’une à l’autre, et qu’on peut représenter par une fonction [Irlx) de x-, ajoutons la somme de ces produits

Àô F tJx — i>

à l’équation (3), ce qui donnera

(4) J' s [\ ilx) + kS V il.r = O ;

puis, considérant toutes les variations comme indépendantes, nous égalerons à zéro tous leurs coefficients.

A cet cllét, il faut développer l’équation (4). En edectuant la différentiation indiquée par â dans le terme \ dx, et intégrant par parties, "on a d’abord

dxSV — <iy Sx d.v = O.

Le binôme dxo\ — d V d x prend , comme on sait, la forme suivante :

rfrrJV-rfV5,r=:N«-t-P^-+-Q'^“-t-. . . -I

dx dx

dx"‘

Soit

</F= mdx-\-ndy-\^pdy' qdy" -y . . . -\-n’ dzy-p' tlz' q’ d-i ' .... On aura

S F=xmSx-ynSy-‘rpSy' -\-qSy" . . . -\-n' Sz-\-p' 3 z'-yq'Sz"-i-,,.

da> d^ U

=ox(w-(-«r'-Fp/"-F<7,r"-t-. «w • •

, du' d^b>'

' -y /I Ijj P — \-q - -5

dx dx'

THÉOniES GÉNÉKALKS. 4*

Le coefficient de 6x est nul, en vertu de l’équation

rlF = 0-,

il reste donc

du d’ta * ! , t .d^u

L’équation (5) devient

HN'+xV)«'H-(P'+â/)^'+(Q'+>7')S+-

dx—o.

Conformément à la théorie des variations, on intègre par parties pour faire disparaître, sous le signe les indices de différentiation auxquels sont soumises les fonctions arbitraires fl) , (i)'; et l’on trouve

wh;

( B w -H W u')dx — O,

en posant

ll = V(îx-+- |^(PH-'*;))— -f-.

B= (N -H kn)

f/(P -4- \p) d^q + Aïf)

dx <lx^

Actuellement on égalera à zéro les coefficients de toutes les variations , ce qui donnera , pour un point quelconque de la ligne représentée par les équations cherchées,

et pour les points limites ,

l'IlEMlKRt lUHTIE.

Knlrc les équations ((>) 011 éliminera l’indéteniiiiiée A; et l’équation résullaute, ronibinée avec l’équalioii (t), fournira la solution du problème. L’crpation aux limites (7) -servira à déterminer les constantes arbitraires introduites par l intéfyation.

Il est aisé de s’assurer <juc cette oiétbode, appliquée au cas où l’équation qui lie y et z est une équation linie,

«■onduira à l’équation déjà trouvée. En Hl’et , il faut faire, dans les résultats précédents,

Mors les équations (()) se réduisent à

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