OU A

ou A-+-A— dz

(Ix

(Ix^

Ici riudéterminée À n'est soumise à aucun indice de ditférentiation, en .sorte que réliminalion se fait immédiatement, et fournit l’équation

(^uatit à l'éipiation aux limites, elle est Indépendante de X.

2. INous allons appliquer la méthode des variations à la rcchercbe de certaines relations générales tjui existent entre les coeHicients /.», //, d’une expression dillerentielle pdx -+- (jdy -t- vdz^ assujettie à diverses conditions, et dans laquelle y, z sont des fonctions indéterminées d’une variable indépendante l. ('.es relations se présentent dans plusieurs théories importantes de la dynamique, telles que le principe des forces vives et celui de la moindre action.

THÉORIES GÉIVÉIIALES. * 4^

Proposons-iiojas d’abord de dctermiiner quelles condiliv>is doivent remplir les fonctions p, <7, r des variables x^y^z pour que l'intégrale définie

f ptljc H- y (/y rdz)

conserve une valeur constante^ quelles que soient les fonctions de t que X ^y et z représentent.

(Les fouclious y et z sont seulement assujetties à prendre des valeurs fixes [j„, (jj'j, z,) pour les limites Xo , Xj. ) D’après l’énoncé, on doit avoir

j 3 [ptl.T ■+■ ffdy + /■rfz) = O.

Jx,

On développera cette condition par la méthode des variations; et, pour abréger, on pourra ne pas attribuer de variations à X, attendu que les limites de l’intégrale sont fixes. 11 vient

\ -y f/dny -y rdSz '

en désignant, comme à l'ordinaire, par y' et z' les déri-

, dr dz vees Tdx il.v

On intègre par parties les deux derniers termes afi'ectés de la double caractéristique dâ,

jT

Substituant dans la première équation, et omettant les

l-KEMIKRE EAIITIE.

tenues dégagés du signe’ J\ <jui sont nuis aux deux limites, il vient

Tl faut maintenant égaler à zéro, séparément, les groupes de termes multipliés par ây clâz :

dp d(j idr dq\

Tj-T.-^\Ty-dzY=^' l ‘^1 d'~ \ ,

in.

dz

dr

dx

et comme ees deux équations doivent subsister, quelles que soient y' et z', on en conclut

dp. dq ttq dr dr dp

dy dx dz dy dx dz

Ces équations expriment (jue la quantité pdx + qdy y- rdz doit être une différentielle exacte relativement aux trois variables x,y, z, considérées comme indépendantes.

l'elles sont les conditions cherchées. IVous n’avons considéré que trois variables; mais il est évident (jue pour tout autre nombre, on arriverait, à l’aide des mêmes calculs , à la même conclusion .

. Réciproquement, si l’on a

pdx y- qdy y- rdz = d.q (x, y, z),

et qu'on imagine deux relations arbitraires entre y, z et x, telles que pour r = Xo on ait

et pour X — .fl ,

yz=y,, z=z„

l’intégrale définie

J f ( pd.r y- qdy -+- rdz )

TMÉOUIF.S GÉNÉRALES. .-{5

conservera une valeur constante, quelles que soient les fonctions de x que y et z représentent.

. En elfet , puisque l’on a , en considérant les variables x , y, Z comme indépendantes ,

f{pdx + qdy -t- rdz) = t({x, y, z) + const.,

cette équation subsistera encore, lorsqu’on établira entre ces variables telles liaisons qu’on voudra. Si donc l’on conçoit que J et Z soient des fonctions de x qui , pour x = Xo , prennent les valeurs ^o) et pour x = a?,, les valeurs y,, onaura

/ (pdx-hqdy-hrdz) = q{x,,y,,z,) — f [x,, y., z,) ,

résultat constant , quelles que soient les fonctions de x qu’on choisira pour y et z.

C’est ainsi qu’en mécanique , lorsqu’il existe une fonction des forces , c’est-à-dire quand on a

l(H.dx-t- Y dy -y Zdz)z= d.<f[x , y, z. .

l’accroissement de la somme des forces vives de tous les points du système passant d’une position à une autre, est représenté par

2/wV; — ÏAnVJ = 2 [œ(x,,y,, z, — y (r„, y,, z,,...)],

et cet accroisscîment ne dépend que des coordonnées des mobiles à ces deux limites , et nullement des courbes qu’ils ont pu décrire pour passer de la première position à la seconde. Mais il résulte de ce qui précède, que l’accroissement de force vive dépendra, au contraire, des chemins parcourus dans l’intervalle des deux positions, toutes les fois qu’il n’existera pas de fonction des forces.

3. On suppose que la différentielle d'une fonction T de la variable indépendante t soit

rfT = pd.r -P qdy 4- rdz,

VKEMIEKK PARTIE.

où J', J , Z sont des fonctions (fuc/confjiies rte t, et p, g, r des fonctions de x,j', z, ponçant contenir t\ et l'on propose de dètcnnincr-gueUes conditions p, g, r doicent remplir, pour gu en attribuant à x,j, z des variations arbitraires ôx, âj, dz, l'expression correspondante de oT se déduise de d'Y par le simple changement des d en S, en sorte gue l’on ait

JT =: pSx -H r/S r -\-zSz.

Puistjue 'T z:: fpdx -i- t/dj ■+■ rds ,

on aura

JT = / J'(pd.v -+- t/dr -t- rdz)

— fSp.dx -Jr nq -dr -i- S r dz + pSdx -‘r qSdy rS dz,

Pt iutpgrant par parties les termes où les caractéristiques d, (î sont superposées,

JT = p$x-\- t/oy -f- rSz

— J [Sx dp — dxS p) ( J )■ d.) — dy S q) -y[5zdr — dzSr).

Remplaçons sous le signe y, r/p, èp^ dg, 6g, dr, or patleurs valeurs, savoir,

dp dp

dii = -t dt H — l-dx dt dx

’ip~-~ox-\- — 0 Y dx dy ~

dp , dp -j-dy -y- -.-dz, dy dz

(on ne doit pas faire varier t dans le calcul de 6p ) , il vient

TIIÉoniES C.ÉNÉKAI.ES. 4"

l)’aj>rès Véiioiu-t‘, la ijuantité soumise au sigue ./ «luit être nulle; et comme âx, dj, a z sont des variations arbitraires, on aura les trois étjuations,

.dp

(lq\

dr'\

L dz

dp

\dy

dx j

1 dt ^

dx j

dt '

idq

dx idq

df,

\dx

dyj

dt \dz

~Ty)

' dt ~

dt ’

/dr

dp'

dq\

dr

dz .

[dr

dz]

^ dt

dt

.Mais le dénominateur commun des valeurs de — » H-» --

fit fit- >k

qu on tirerait de ces étjuaticms étant nul, il faut, pour qu’elles ne soient pas impossibles, que les seconds membres soient nuis aussi. On aura donc

ce qui prouve déjà que les fonctions /?, q, r ne doiwnt pas contenir tt Cela posé, l’une des trois équations précédentes sera une conséquence des deux autres; mais, comme cellesci doivent subsister indépendamment de toute valeur particulière attribuée aux rapports on detra égalei'

* *■ flx ai: "

séparément à zéro les coefficients des différentielles dx, dy^ dz , ce qui fournira les trois équations

fip fit/ tUj dr dr dp

dr dx ’ dz dr ’ dx dz

Ce sont , comme dans la question précédente , les conditions nécessaires et suffisantes pour que pdx -I- qdy H- rdz soit une différentielle exacte par rapport à x, y ^ z considérées comme 'variables indépendantes .

•4. Kxaminojis maintenant si les conditions précédentes

VUEMlEllK PARTIE.

subsisteraient dans riivpotlièse où x-, y, z seraient liées par nue étpiation (inie,

11 en résulte, entre les variations ox, ây, âz, la relation

(Î2=;p^x + QSr,

oi^’on désigne par P et Q les dérivées partielles

dz dz d.T dy

Dans ce cas, on devra plus égaler à zéro, sous le signe J’, les coeflicicnts des trois variations dx, d)', dû, puisqu’elles ne sont plus indépendantes ; mais si l’on commence par y remplacer rune d’elles , ds, par sa valeur

Pdjr - 1 - Qo r,

la quantité sous le signe J prendra la forme ( A ~i- CP) 'ix -4- [ lî -h CQ )

en désignant, pour abréger, par A , B, C les coefficients primitifs de dx, dy, d s.

Pour que l’expression de dT garde la forme V Sx -4- 'j S y rS Z ,

on devra poser

A -I- CP = O , B -t- CQ = O,

Ces deux txjuations rentrent l’une dans l’autre , eu égard à la relation

dz — Prf.r H- Qr^ , et l’on a ainsi l’unique condition

flx fir

On y satisfait en posant les équations (i) , c’est-à-dire que si pdx + qdy -h rdz est une dill'érenticllc exacte par rapport aux trois variables .r, y, z, considérées comme indépendantes , l'expression de d'P se déduira de c/T en changeant

THÉORIES GÉNÉRALES

les d eu d; mais ceita 'coridilion ti ’cst plus nécessaire. L’é- <|uatioii (a) exprime seulement que la quantité

pdx -4- (jdy + rdz

^ doit devenir une différentielle exacte après qu’on en aura éliminé une variable à l'aide de l’équation

En cUbt , on a

pdx + qdy -y- rdz = {p ■+- rV)dx (<•/ -H rÇ^)dy, et si l’on développe la condition

d.{p + cP) </(</ -4- rQ )

dy dx ’ '

en y legardanl z comme égale à F (,r, y), et ayant égard à •la condition .

li! — r '

. dy dx ’

on retrouve réquatioii (a).

Les raisonneiiients et les conclusions précédentes s’éleudraieiit sans modilicalion au cas d'une expression dillériMitielle renfermant plus de trois variables x, y, z,..., liées ou non par des étpialious de condition.

En mécanique, lorscpi’on veut établir le principe de lu moindre action , ou consitlère un .système de points matériels, assujettis à certaines liaisons exprimées par des équations entre leurs coordonnées .a’, y, r, x',..., où le temps r u’eiUre pas explicitement, (ies points sont soumis à l’action de foices (X, Y, Z,) telles que l’on ait

ï ( X dx y- \ dy V.dz)x= d ,q[x , y , z, .r', . . ),

et, en désignant par \ la vitesse du point tient la masse est III . on a

d 1 m\‘ ~ i ( X dx T- Y dt * ’Ldz'].

5o PREMIÈRE PARTIE.

La démonslratiuii du principe de la moindre action (2^/nVdi = ininimuin) '

exige qu’on prenne la variation de Z et, à cet effet,

on tire immédiatement de l’équation précédente,

^ iSX mV'=X(XSj: -hYSx + ZSz).

Ou voit, par ce qui précède, que cette conclusion ne serait plus admissible si l'expression

2(Xrfx-t-Y<^ -t- Zrfz)

n’était pas une dillérentielle exacte, par rapport à toutes les variables x,jr, z, considérées comme indépen-

dantes , ou du moins si elle n’était pas susceptible de devenir dillérentielle exacte, après qu’on aurait éliminé un nombre de variables égal au nombre dos équations qui les lient.

EXERCICES d'analyse.