CHAPITRE PREMIER
DE LA KEVRÉSEMTATION d'l'NE SURFACE SPHÉRIQUE SUR UN PLAN.
La position d’un point sur une surface est en général définie par deux coordonnées. Si l’on désigne par (t, u) les coordonnées d’un point quelconque d'une première surface, par [x, y) les coordonnées d’un point d’une autre surface, et qu’on pose arbitrairement deux équations entre
à chaque couple de valeurs de ï et «, c’est-à-dire à chaque point de la première surface, correspondra un couple de valeurs pour x et y, c’est-à-dire un point de la seconde; surface. 11 existera entre les éléments géométriques corrélatifs des deux figures , certains rapports de grandeur et de forme qui dépendront du choix des fonctions / et F. Nous nous proposons de rechercher quels sont ces rapports, en supposant que la première surface soit une sphère, et l’autre un plan.
1 . Théorème. — Une portion de surface sphérique ne saurait être exactement représentée sur un plan par une surface égale et superposable à la première.
La position d’un point p surla surface de la sphère (yi'^. 2 )
DEUXIEME PAIITIE.
est déterminée par sa longiinilc \/i = t, comptée à partir d’un méridien convemi I 5 AC, et par sa latitude np = u.
^ Soit pqrs un élément de surface compris entre deux parallèles et deux méridiens infiniment voisins , on aura
1»! — du et pr = cos « . dt (le rayon de la sphère étant pris pour unité).
On peut considérer cet élément eommeun rectangle, dont l'aire sera mesurée par
p(l .pr = cos U . du dt .
Soit P un -point du plan que nous regarderons ccimme correspondant au point /> , et dont les coordonnées x et y seront des fonctions, prises à volonté, des deux variabh's / et U. Au point <7, qui naît du point p par le changement de « en n -f- du , correspondra sur le plan un point Q, dont les coordonnées seront , „ . dx , dy ,
de même , les coordonnées du point R , correspondant de /> seront
dx
dy
dt
df.
enfin les coordonnées de S, correspondant de s, seront
dx , flx
