PQ PR

— = — > angle QPR = -5

pq pr ^ ^ I •

dx dx ■ dy dy

dt du dt du

Posons, comme dans le premier cas, tang® = -^i et c<"s

dx:

deux équations seront remplacées par les trois suivantes ;

d\ dx cos M ,

du dt

dy . dx eos -f- = sin »

s.n^ ^ = -cüs;,-;

ici, comme nous avons trois fonctions inconnues x, 15) et le même nombre d’équations à satisfaire, on comprend <[ue le problème sera possible, en général. iSous nous bornerons à discuter un cas, qui ne laissera aucun doute sur celte possibilité; c est celui où l’on ajoute à la similitude une nouvelle condition de nature à simplifier la représen-

nEUXIÉME PAETIE.

talion graphique de la sphère, à savoir que l’élément PQ du méridien soit perpendiculaire à l’axe des jr. ^

Alors on a o =^, et les trois équations précédentes se réduisent à

cos M — = du

on conclut des deux premières que x sera indépendant de M, et y indépendant de t : par suite, la troisième équa-

. , dx . . dx

tiott apprend que — sera une constante, puisque si —

fêtait fonction de dépendrait aussi de celte variable.

. . dx J, . . . ■

ïioit — = 71 , d ou X = nt -h const. ; x croissant proportionnellement à la longitude t , /es méridiens seront representèssur le jdan par des droites perpcrn/icidaires à ox , dont les distances miilucllcs seront proportionnelles aux unifies que ces méridiens font entre eux. A des méridiens équidistants aiigulainuneiit , corréspondronl des droites parallèles équidistantes.

Oiiant aux parallèles sphériques, puisque l’élément PR est à angle droit sur PQ , il prendra une direction constamment parallèle à l’axe des x; par consé([uent , les parallèles spliériqiu-s seront aitssi représentées par des droites J perpendiculaires aux premières, mais inéf^alemenl {listantes. La loi de ces distances sera fournie par l’équation

cos « ; .

d’où l’on lire, en intégrant,

^ = 77 1 tang

-t- const.

Nous conviendrons que l’axe ox représente l’équateur, cl que l’origine des coordonnées corresponde au [Kiim A ,

EXERCICKS n ANALYSE.

pour lequel on a ? = o, « = o. Alors nous aiuons

SI l'on eonsidère sur la sphère {Jig- 3) un élémeul /m> appartenant à une eourbe quelconque, et (jue P\ soit l’éléinentde la ligne plane correspondante, on a

tang vpr :

cos U lit ’

VR dy

tang VPR = — = — - •

® PR n Ht

Or = — : donc tang ypr = tang M^R. Ainsi on vécos un ' ^

rifie qu’une eourbe quelconque fait, avec chaque méridien,

le même angle sur la sphère et sur le plan.

La ligne à double courbure, qui sur la sphère coupe tous les méridiens sous le même angle, et qu’on nomme loxodromie f sera représentée sur le plan par une ligne droite. C’est cette propriété qui a fait adopter le mode de représentation graphique que nous venons d’étudier, dans les caries marines dites de Mercalor. En mer, le pilote ne s’attache pas à suivre la ligne la plus courte d’un point à un autre, c’est-à-dire l’arc de grand cercle «qui joint ces deux points, parce que cet arc fait avec les méridiens successifs des angles dilléreiits , et qu’il serait très -compliqué de diriger à chaque instant sous ces divers angles la route du vaisseau par rapport’ aux méritliens. Déplus, si l’on s’engageait dans cette voie, les déviations inévitables causées par les courants ne tarderaient pas à faire sortir le ralsseau de l’arc de grand cercle qui joint le point de départ au point d'arrivée , et dès lors totU le calcul des angles sous h'squels on doit rencontrer les méridiens successifs serait à recomiuencer. Au contraire, pour suivre la loxo-

DEUXIEME PAllTIE.

drotnie, il ii csl pas besoin de calculs; on joint par une droite, sur la carte marine, le point de départ au point d’arrivée; on mesure l’angle que cette droite fait avec l’une des parallèles qui représentent les méridiens , et le pilote n’a qu’à maintenir, à l’aide de la boussole, la direction du navire sous cet angle constant.

Toutefois, on conçoit que cet angle peut lui-mème devenir fautif par suite des déviations auxquelles le vaisseau est exposé, et qui peuvent nécessiter le tracé d’une nouvelle loxodromie : on a soin, dans le cours du voyage, de déterminer de temps en temps la vraie position du lieu oit l'on se trouve, afin de corriger l’angle sous lequel on se dirige. "

Tandis que les courbes loxodromiques sont représentées, sur le plan, par des lignes droites, les arcs de grand cercle sont représentés par des courbes transcendantes.

En ellét, soit hp un arc de grand cercle, incliné à l’érjuateur de l’angle;) An = 9; l’équation de cet arc en coordonnées sphériques est

tang U ~ tang 6 sin t.

(On passerait au cas d’un cercle, situé d'une manière quell'onque, par un simple déplacement d’origine sur l'équateur, ce qui reviendrait à remplacer t par l -f-const). I.a courbe EP, ((ul répond à cet arc sur le plan, sera définie par les équations

associées à la précédente.

Pour avoir l'équation de cette courbe en coordonnées rec-

r = " I tang ^

(*) D’après mie propriété connue des projections stércograpbiqiios, In projection stèrcographiqiic de la loxodromie sur le plan de rèqnateiir sera une courbe l'aisaiit un angle constant avec ses rayons vecteurs, c’est à-dire une spirale logarithmique.

EXEUCiCES D A^ALYSE. fjy

langles, il reslo à éliminer / et u enlrt; ces trois éejuations;

on a

.'■=tang(j+^) =