PLANES

1. Relnliotis crilre lu rayon de courbure d'une courbe plane et le rayon de courbure correspondant de sa dcvc-

Soifiit AlK’ ( fig. 4) une courbe plane, A'B'C' sa développée , P un rayon de courbure AA' de la première , p' le rayon de courbure correspondant A'P de la seconde; sî l'on considère un rayon infiniment voisin lîli', faisant avec AA' un angle d <^ , on sait que l’arc A'B' de la développée est égal à

loppcc

la diirérenlielle ^/p, et que p' est la limite de ; donc

' Si l’équation de la courbe AB est donnée en coordonnées restangulaircs x et j, on tirera aisément de l’équalioii (i)

l’expression du rapport — i en fonction des dérivées de y par rapport à ,t. Kn elî’et, on a

lift lift

p f ifs

/Is désignant la dillérenliellede l’arc de la courbe AB, Or, si l’on dill’ércnli»’ par rapport à x l’expression

Digilized

ESF-nCICKS IJ ANALYSE.

OÙ r

on a

Il vient

>lr'

d^Y fU' '

dp 3pq’ — r(i 4-/jJ)

dx

D’ailleurs

«loue

-Y-fr, on [Misant r~

ds ;

p' + 'ipq' — rji-h/,') P q‘

2. Au lieu de délinir la roiirbe AB par une iVfiialion entre les deux variables x et j, on peut se préposer de la définir par une équation entre les deux variables pelp'.

En effet, /j, q, r sont des fonctions de jr déterminées par l’équation de la courbe = u; si l'on conçoit qu’on

ait remplacé ces fonctions par leurs valeurs dans les équations

q P Ip ’

il ne restera jilus qu’.i éliminer x entre ces deux équations’. Ou bien , s’il n’est pas possible d’exprimer q, r en fonction explicite de x, on éliminera x et y entre les deux équations ci-dessus, associées à <p[x,j) = o.

. Par exemple , s’il s’agit d’une ellipse , dont l’équation est

on aura

— bx

— ab

— 3fihx

Digitizfld by Googlc

DEVXIÈMF. PAmiE.

Ut , par suite ,

{(•/' — c'j:^y p' c‘‘x\jti' — J.’ ^

Ou lire de la première

en posant

t'eiie valeur de r*, substituée dans la seconde é<jualion, donne

ou Lien, en rétablissant la valeur de z, ,

Telle est 1 équation qui lie, dans l'ellipse, les deux rayons p. p'. Kilo montre que la plus grande valeur de p

estyi et la plus petite — ; et, qu’à ces deux limites, le

rayon de la développée, p' = o. Le maximum dep a lieu au sommet du petit axe, et le minimum au sommet du grand axe.

f.es calculs précédents s’appliquent à l’hyperbole, en changeant b en b\^ — i. Dans le cas du cercle, n — by et i’<H|ualion précédente devient

elle se partage en deux , p ^ a , p' = o,

^ 'EXERCICES d'a.NALVSE. G3

J. Dcternnner la courba dont la rayon dc-courbura est proportionnel à celui de sa dèecloppéa.

Soit y = A ; l’équation dillérentielle de la courbe elicrchée sera, d’après la relation ( 2 ) ,

’ip — r

Cette équation ne eontenant pas explicitement .r , ou lui * appliquera la méthode du changement de variable indépendante; prenons /J» pour variable indépendante,, il vient

^ dq dq dp dq

4 dx dp dx dp'^ ‘ - '

L’équation prend la forme

ndp