OU

3/J — k dff

r dp ^ = O .

Les variables étant séparées, on intègre, et l’on a

Y 1 (i -h/i’) — ^ arc tang p — I ci; = o ,

c étant une constante arbitraire, et 1 la caractéristique d<;s logarithmes népériens. , .

Si 1 on remplace q par et qu’on résolve par lapporl

à dx , il vient

^ nre lariiT;; , dp

dx =

ii+ipÿ

ou, -en posant p = tang(p, par suite,

dx = C6' * ^ cos q dq ;

dy = cc sin

4 DKLXlkjlE PAIITIK.

Avani il alli'r plus loin, rrmarqiions.. qu(‘ fetle ileniièii! uxprc’ssion de t/x aiiraîL pu être obleuue j)lus siiupleiiient, en partant de l’équation (i). L’ille donne, en diél,

et puisque - = / ,

intégrant, il vient

Or, ® étant l’angle de la tangente avee l’axe des.r, on a '

(le '

COSfp = — - et . (h = Çirlrf-,

«loue

par suite

ros <f ■

(Ir

kti

(le ~ 0 ros ^ (I O ~ rc • ros lyf/œ ,

eoniiue oi-tlessus. ,

Intégrons maintenant les expressions de dx et d) ; il viendra '

,r — X = c ’’ ( siii * n- /< ros ») , '

■’ ~ P = iî ' é '' y — ros ?) .

a et jü sont deux ronstantes arbitraires, qu’on peut toujours faire disparaitre en transportant les axes coordonnés jiarallèlement à eux-mêmes, aux points x~<x^ y = ce qni d’ailleurs ne cbange pas l’angle ij-. C’est potirquoi nous omettrons ces deux lonstantes dans les calculs* qui vont sniivre.

l/éliinination de (jp, entre les deux étjuations précédentes, fournirait résjuation de la courbe cliercliée; mais il vaut

D;-; ■ by Googic

EXERCICES d’analyse. 65

mieux employer les coordonnées polaires. On lire, par division , .

y /■ tang f — i

X /■ + tang f

tang — j

H--tangii)

ou, en désignant par 6 l’angle mox {fig- 4)» dont la tan-

gente est par w l’angle dont la tangente est j.»

tang & = tang (ç — w) et <y — 9 — u.

Mais f — 0 n’est autre que l’angle omT que fait la tangente avec le rayon vecteur om ; cet angle est donc constant, propriété qui caractérise une spiVa/e 7og'ant//mt(^Me. . .

Si , aulieude diviser y par x , on avait ajouté les carrés de ces variables , on aurait eu l’expression du rayon vectéur'oui.

et puisque (p = 6 -I- w ,

c’est bien l’équation polaire d’une spirale logarithmique, dans laquelle l’angle de la tangente avec le rayon vecteur

a pour tangente trigonométriqüe ^ . Dans l’hypothèse 4^ = i',

cet angle est de 45 degrés.

On aurait pu achever l’intégration, sans recourir aux coordonnées polaires, en remplaçant tangip par ^ dans la

valeur précédente de"^? ce qui, eût donné l’équation diflerentielle du premier ordrè ■ '

xdxr^ ydy — k(xdy — X^x)-,