DEUXIÈME PARTIE
eu divisant les deux membres par x'-hy ', ils deviennent intégrables, et l’on a
* arc Uni; -
I •’i AS
Ae = Ac ,
résultat conforme aux précédents.
4. Etant donnée une courbe AB, si l’on forme sa développée A' B', puis la développée A" B" de A' B', courbe qu’on peut appeler développée du second ordre de la courbe primitive, puis la développée A'^'B'" de A"B", ou développée du troisième ordre , et ainsi de suite, on aura, en désignant par p, p', p'\ p'",..' les rayons de courbure correspondants de la courbe AB et de ses développées successives ,
Le problème que nous venons de traiter n’est qu’un cas particulier de celui où l’on proposerait de déterminer une courbe telle , que son rayon de courbure eût un rapport constant avec celui de la développée du n’'"' ordre.
On aurait à intégrer une équation linéaire de l’ordre n ,
L’intégrale est
A, désignant l’uiie des racines n'*"'" de A, et c, une constante arbitraire. L’indice i prend successivement les valeurs I, 2, ... , n.
On en conclut, comme précédemment, deux équations tinies entre x,, y et(p, savoir:
y— p = 2 (.<,sinif — cosy)
• Di. ■:
EXERCICES d’aMALTSE.
L élimination de f entre ces deux équations n’est plus possible en général. On peut remplacer leur système par le suivant : r-
(t — a) sin <p — ( r — P ) cos.^ = y° A,e ,
(x— a) coS(p + (;<• — p)sin f = y A, r*’’’.
La seconde équation étant la dérivée de la première par rapport à y, la courbe cherchée est l’enveloppe des droites cpe représenté la première équation quand on y fait varier y; et ces droites sont tangentes à la courbe.
5. Déterminer la courbe dont le rayon de courbure en chaque point est une fonction donnée du rayon secteur mene d’un point fixe à ce même point.
Soient om = r (fig. 5) le rayon vecteur, cm = p le rayon de courbure correspondant ,
mTxi=(p, moT=e, omT=\.
P d^-d9 + dv' = 7/ =
A l’aide des deux dernières relations, on peut élimii de J expression àc.p.ds et dO, et il vient
Cette formule, qui convient à toute courbe plane est propre à résoudre tous les problèmes dans lesquels le rayon ^ de courbure P sera donné en fonction du rayon vecteur/ ou du produit r sin V ( projection du rayon vecteur sur là normale) ; car elle permettra d’exprimer V en fonction de /
par une quadrature , et comme on a d’ailleurs tang V =
nKlXlKMK PARTIK.
conclura r eu fonclion de 6 par «ne nouvelle in.é-
înéral p =/(' )• L’équation (i) donnera rdr
on
gration
Ainsi , soit en géii
d’où
rf(rsinV) = y^^^-
r rdr
, sinV = c-Hj c étant une constante arbitraire.
