DEUXIÈME PARTIE
(lirecle de l’expression de d9 donne , en changeant c en — c ,
ou bien
arc cos
^0 4- arc cos ^ ^ ^ ^ ^
La constante remplace ’ù. L’hypothèse c = o donne r = const. , comme on l’a déjà vu.
D’après ce qui précède , on voit que la propriété d’avoir le rayon de courbure proportionnel au rayon vecteur issu d’un point flxe , n’est pas caractéristique de la spirale logarithmique, mais qu’elle appartient à une classe de courbes transcendantes assez étendue.
Nous avons indiqué plus haut que la formule (i) convient aussi aux problèmes dans lesquels on demande une courbe dont le rayon de courbure est une Jonction donnée de la projection (r sin V ) dit rayon vecteur sur la normale.
En effet, soit
P=/{rsln,V),
et posons
/•sin V = z;
l’équation (i) donne
rdr=f[z)dz,
dont l’intégrale est
r’4-c = //(z)rfz = F(z),
Pt remplaçant z par sa valeur en r et 0, r’ 4- c = F
Si l’on peut la résoudre, soit par rapport à soit par rapport à r, l’intogralion s’achèvera par des quadratures.
EXERCICES D ANALYSE
Par exemple, soit
P = nr sin V ;
cm aura
r’ — a’ = «r’sin’V,
n étant une constante arbitraire, d’où
— a’ dr
/ yr’ — a’ dr r v^(/i —
Si l’on suppose a = o, cette intégrale se réduit à
on retrouve la spirale logarithmique , résultat conforme aux propriétés bien connues de cette courbe ; et pour n = i , la spirale dégénère en un cercle.
Autres solutions. — Comme exercices d’analyse, nous indiquerons l’usage qu’on aurait pu faire, dans les problêmes précédents, des' formules ordinaires du rayon de courbure en coordonnées polaires et en coordonnées rectilignes.
En l’égalant à — i on a ,
Cette équaûon ne contenant pas 6 explicitement , on l’a<* baisse au premier ordre , en posant
nÉl.'XlÈMF, PARTIE.
et l’équation devient
N(r' + p^f = -ip‘—r^y
On la simplifie en posant
d’où il vient
P = ru,
dp du
Tr^'^^'~Tr'
i . ru du
Comme = - // (i4- u’), on est conduit à prendre pour
inconnue la fonction i 4 -«*.
Soit
il vient
Les variables se séparent, el Ton a
dr dt .
dont Tintégrale est
r t{i — nt)
et
nt
elle coïncide avec réquation (a) obtenue dans le précédent
calcul, car là variable t n est autre que etc.
2°. L’expression de p aurait pu encoi-e s’écrire :
~de'
\rd0j
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EXERCICES D AJNALYSE.
fl celte forme conduirait à prendre pour inconnue
L’équalion du problème serait ainsi
Elle ne dillère pas de l’équation (3), car
du ru du
— = , etc.
dr '
3”. Si l’on part de l’expression de p en coordonnéi^s rectilignes,
dx
l’équation du problème est
En multipliant les deux membres par le facteur
X py ou
le second membre devient
xdx ■+■ ydy
n {xdx ydy)
différentielle exacte, et le premier membre devient (x y-py)dp
dont on n’aperçoit pas immédiatement l’intégrale; cepen-
DEirXIEME PARTIE.
dani l’intcgralion par parties donne
'* xdp
px
r dy
■* pydp
Jst^+y
et, en ajoutant,
py)dp jjx — jr
L’équation ( 4 ) s’intégre donc une première fols par cette méthode , et donne
Or
! px — Y
P^— y — ydx r»r/9
^ i-\- p' \Jdx^ -f- dy'‘ d*
L’intégrale précédente équivaut donc à r sin V ;=. «r c ;
c’est l’équation (2) de la première solution , etc.
6. Déterminer une courbe dont le rayon de courbure, en chaque point , est égal à une longueur donnée multipliée par le sinus de l’angle Cf que Jdit la tangente en ce point avec une droite fixe.
On a l’équation
f = a sin tp. , ^
En partant de la relation p = ^ 4 et choisissant la droite
fixe pour axe des x, on trouve , par une intégration bien simple ,
•ï’ — ïax\
d’où l’on conclut (jue la courbe est une cycloïde dont le
EXERCICES d'analyse. 78
cercle générateur a pour rayon On peut aussi chercher
directement l’équation de la courbe en coordonnées rectangulaires, etc.
7. Déterminer une courbe plane telle, que l’arc compris entre deux de ses points, soit égal à l’arc de cercle décrit du point d'intersection des normales menées par ces points, comme centre, avec un rayon égal à la moyenne arithmétique entre ces normales [*).
Soient {fig. 6)
AO = p, mO = q,
deux normales à la courbe cherchée, ip l’angle AOm, s l’arc Am; on doit avoir
Soit m' un point infiniment voisin de m; m'O' la normale correspondante. Menons OH perpendiculaire et Op parallèle à cette normale; nous aurons
Or Donc
On a aussi
</s ~ m[t -i- lifn',
m^ — qdq, pn«'= OH = OO'sinç = rfp.siixp.
ds = qdq -H dp . sin q.
O'H — dq — dp. cosq.
Ainsi, entre les quatre variables .v, p, q, on a les trois équations
-—=p-yq,
dq =.dp.cOiq,
ds = qdq -(- sin f . <ÿi.
( •) Commentaires de Sainl-Pétci shoarg, 1749' Mémoire d’Eulef.
UEUXIKME PABTIF..
Si l’on élimine p et </, il lesleia une équation diflérenllelle entre s et ip. Pour l’obtenir plus eommodéinent , posons
d’où
ds = O du udif.
Les équations précédentes deviennent
111 = P q, dq = COS 0) . dp,
<fdu=[q — n)dq iÀnq.dp.
La première donne
q = 1 U — p, dq = 2 du — dp,
et, substituant dans les deux autres, il vient 1 du = [ \ ->t- cos q) dp, qdii = {u — />) dç + sin Ÿ dp,
entre lesquelles il reste à éliminer p.
Substituant dans la seconde la valeur de dp, tirée de la première, on a
( 2 sin ç \
I + COS(p
du
dm
Didérentiant et remplaçant ^ par sa valeur
vient, toutes réductions faites,
. / 2 sin q \ d' U
du,
dq
