COS
-, il
‘ ' dm*
' I -H cos ^
Le premier facteur égalé à zéro donnerait
tangiip =
ce qui exigerait que (p fiit constamment nul; alors la ligue AH serait droite, et l’arc Am pourrait être regardé comme apparteftant à un terele de rayon infini. Fx'artons cette so-
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EXERCICES I) ANALYSE
lution, qui sera d’ailleurs comprise dans la solution générale. T.e .second facteur, égalé à zéro, donne
a cl è sont deux constantes arbitraires.
On conclut de là le rayon de courbure de la courbe cherchée
ds
0 = -— = 4- ti,
rfy
et le rayon de courbure de la développée
p' étant constant, la développée est un cercle. Donc la courbe cherchée est une rîéueloppante de cercle. I.e rayon de ce cercle e.st égal à a , et comme on a pour (p = o, p = i, la constante représente le rayon de courbure AC du point . ■ A. Si l’on supposait a = o, la développée se réduirait à un point, et la développante deviendrait elle-même un cercle.
En effet, le cercle satisfait évidemment à l’énoncé du problème.
La tangente en m fait avec l’axe des x un angle complémentaire de (p y on a donc
dx . rfr
= smy, ;^ = cosy,
et, remplaçant ds par sa valeur -f- h) i/ip,
rfx = ( <7y 4- è) sin yrfy, rfjr=(ay4-à) cos <p rfy.
Intégrant, et déterminant les constantes par la condition que pour pi = o on ait
il vient
X — è = asiny — («y 4- é)cosy,
)^4-n = acosy4-(ûy4- è)siny.
UEUXIÈME PARTIE.
Pour éliminer f , on remplace le système de ces équations par le suivant :
(x — (/ -(- rt)* — fl’= (fl^ hy,
(x — 6) sin I]) -t- ( J -I- a) cos y = a.
Ces deux équations expriment deux propriétés caractéristiques d’une développante de cercle de rayon a, et l’on aurait pu les écrire immédiatement ; la première signifie, en efi’et, que la longueur de la normale c'm est égale à l’arc CC'(aç) augmenté du rayon de courbure AC = i; et la seconde apprend que la projection du contour polygonal mP PI, sur le rayon IC', est égale à ce rayon. Ti’élimination de (f se fait sans difficulté , et l’on a
— b \J [x — by + {y ay — a’ j
, , f— b -H \l{x — by + {y + ay —
-(-{/-(-«) cos I — = ^i.
Telle est, en coordonnées rectangles, l’équation de la courbe demandée.
On a
Im = (x — by + {x
soit Ito = R, on en tire
RrfR = (x — b)dx-h{x -i- ajefy = (a^ -X h)adt}.
Or
ds = (fl<p -f- b)d<f ;
donc
RrfR = arfj, d’où an.t = R’ — RJ,
en désignant par R, le rayon vecteur IA. Ainsi on a la proportion
2 fl ^ R — R, ^ I R R, r r J
c’est-à-dire que l’arc Am est une quatrième proportionnelle au diamètre de la développée circulaire, à la diffé-
EXERCICES d’aNALYSR. ^9
rence des rayons vecteurs menés du centre du cercle aux extrémités de l’arc et à la somme de ces mêmes rayons.'
Remarque. — Le problème que nous venons de résoudre a mis en évidence une propriété remarquable , qui n’appartient qu’à une développante de cercle , c’est que la longueur d’un arc de cette courbe est égale à l’arc de cercle qu’on décrirait du point d’intersection des deux normales extrêmes avec un rayon égal à la demi-somme de ces normales.
Il est facile de démontrer directement ce théorème.
Soient '•
AC = 6 , otC'=p, arcA/ii = j, CI = n;
on a
P AC arc CC^ ^3 b 01 ^ y
rf.f = p</^ = ( A -f-
d’où
s — — ^ b ^ ^ y “i" b b ) “ -J ^ ( AC -f- fn C^ ) .
Or
- AC = AO — CO, mC' = md-t-C'0 et C0 = C'0; ”
donc
I = i ip( AO -f- wO). ' ■
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