SURFACE SOLS UN ANGLE CONSTANT

1 . Théorème. — Si l’on trace sur une surface conique quelconque une ligne géodèsique (ou ligne la plus courte entre deux de ses points), chacune de ses développantes sera située sur la surface d’une sphère, ayant pour centre le sommet du colley chacune de ses tangentes fera un angle constant avec le rayon de la sphère aboutissant au point d'incidence, et les plans tangents de la surface conique et de la sphère, en deux points correspondants, seront perpendiculaires entre eux.

L’équation aux ditl'érences partielles d’une surface conique , dont le sommet est à l’origine o des coordonnées, est .

en posant

dz dz

Considérons sur cette surface une ligne géodésique A m H ( l') - En désignant par i l’arc B «I , compté à partir d’un

certain point B, et terminé au point m(x,y, z), les équations dlll'érentielles de cette ligne sont, comme on sait ,

EXERCICES d'axalyse. ' 8i

Si l’on substitue, dans l’équation (i), ces valeurs de p et de <7, on a

,dx J dr ,dz -J- -hyd + zd = O.

as as ds

(iCtto équation, qui a lieu pour toute ligne géodésique appartenant à toute surface conique dont le sommet est en O, va nous fournir la propriété dont il s’agit.

Soit m' y' , z') un point de la développante, en sorte que rnrn' = j -|- a , a étant une constante ; comme mm' est tangente à la courbe Ab, on aura

d’où

dj:

, dj^