I . \dy t , . dz

, dy

dx' = — (s-ya.)d'^, dx'=—{s-Jrxld~, dz' = -{s-!rOi)d^, et, par suite,

diW -Jry'dy’ -f- z’dz’ = — (^ + a) ( xd^ -y yd + zd^

\ ds ds ds

V. ds ds ds ds ds ds j Or, en vertu de l’équation (2) et de la relation

le second membre de l’équation précédente est nul ; donc • x'dx' 4 - y’dy ' 4 - z'dz' = o ,

et intégrant ,

équation d’une sphère, dont le point o est le centre. La développante A' B' est donc située tout entière sur cette

J ni

UEIXIEME l’AItTlE.

sphère, ceqiril fallait démonirer. Pour délermiucr la eonstaiite U, il suliira que l’on donne la distance à l’origine, du point décrivant ut' , dans rnne de ses positions.

Soit O l’angle mm' o-^ on a

dx tir dz -i-z —

coso;

' ds

I / ,dx dr dz\ I

Or, en intégrant par parties l’équation ( 2 ), on a

dx dy dz

dx ds ils

donc coso=const, ce qui est la seconde partie du théorème.

La distance de l’origine o à la tangente mm' est aussi conslanté, puisqu’elle est égale à rtsiny; donc la tangente mui' reste constatmneiU tang«;nle à tiue seconde sphère concentrique à la première.

On a aussi

dx , dy xd— y d — as fis

dx ' ^"‘d;

fis

^’^Tx

ou cosij/ = o, tfi désignant l'aiigh; que le rayon <Je courbure P de la ligne géodésique au point m , fait avec le rayon correspondant (oui'). Ainsi, le rayon ile conrhui'e tic la ligne géodésique {^lequel est perpendiculaire au plan tangent de la surface conique), est perpendiculaire au rayon correspondant ont de la sphère qui contient la développante; ou, ce qui revient au même, les plans tangents de la surface conique et de la sphère en deux points correspondants sont perpendiculaires entre eux; ce qui est la troisième partie du théorème.

Remarque. — L’équation (3) manifeste d autres pro-

F.XERCICES d’analyse. 83

priétés de la ligne géodésiqiie. En désignant par R le rayon • Vecteur om = \l , cette équation peut s’écrire (4) RrfR — uts = cils,

cl intégrant , '

Ro désigne le rayon vecléur o 15 correspondant à 5 = o , et la constante <; est égale à la projection de ce rayon sur la tangente en 15. 11 suit de là que la longueur de l’arc l5/« sera constructible par la règle et le compas, quand on counaitra les rayons vecteurs des deux extrémités de l’arc. La courhè est donc rectifiable.

Considérons deux éléments consécutifs mm', m' m" de la ligne géodésique; on a [Jig- 8)

X flx y fl y 3 dz f/R

cos Lfim, ^

,ei, en vertu de l’équation (4),

R cos C mm’ = s c ■.

au point m', on aura de même

, R'cosC'w'/«"=r.»' + r, et , par suite , romme s' — s — d.c = mm',

Pi' cos C'm'm" — R cos C mm' = mm'.

Or, si l’on projette le rayon R sur la langenle mm', et ([ue mP soit cette projection , on aura

mm' •— m P — Vm' — — R cos C mm' -f- R' cos Cm' P ; par suite, l’équation précédente se réduit à cos Cm'm" = cos Cm' P .

Les deux angles C'm'm", C'm'P sont donc égaux : c’està-dire fjue deux tangentes consécutives de la ligne géodé-

fi.

84 DEUXIÈME l'AlVTIE.

siquc sont également inclinées sur l’aréte inlerinérliaire du

cône.

Cette propriété résulte d’ailleurs immédiatement de cette considération , que la ligne la plus courte sur une surface conique doit avoir une transformée rectiligne dans le développement de la surface. Sur un cylindre, la ligne géodésique, ou l'hélice, a la forme d’une spirale qui coupe toutes les arêtes sous un angle constant. On voit que dans le cône il n’en est plus ainsi. L’angle w'mO, que l’élément mm' fait avec l’arête correspondante, et que nous supposons aigu , est plus petit que l’angle m "w' O correspondant à l'élément suivant, puisque ce dernierégale Pm'O ; il y aura donc, dans l’étendue de l’are 15mA, un élément qui fera un angle droit avec l’arête, et sa distance au sommet du cône sera minimum; de part et d’autre, la courbe s’éloignera du sommet jusqu’à l’infini.

Dans tout ce qui précède , nous n’avons particularisé en rien la surface conique. Si on la suppose de révolution autour de l’axe des z , il sera facile, en partant de l’équation

(où la constante A désigne la tangente de l’angle que l’arête fait avec l’axe) , d’obtenir l'équation de la projection de la ligne géodésique sur le plan des xq'. En elfet, en divisant l’une par l’autre les valeurs des dérivées partielles /> , r/ , on a une équation immédiatement intégrable

dx dy

d’où

xdy — yd.r — cds ou r‘‘ d^ — cils ,

6 désignant l’angle de la projection r du rayon vecteur om avec l’axe des x. Cette équation exprime que Vaire décrite parla projection du rayon vecteur sur le plan des xy croit

EXF.r.CICES d’analyse. 83

proportionneUamcnt à l'arc décrit sur la ligne gêodésiquo.

Si l’on remplace dans l'équalion précédente ds par sa valeur

+• /•’ rfô>.

il vient

ilH =z

dont l’intégrale est

edr

en posant = m.

On déterminera les constantes c et w, en assujettissant la courbe à passer par deux points donnés sur la surface conique. Supposons, pour simplifier, que les deux points soient situés sur un même parallèle de rayon b ; faisons passer le plan des zx par l’un d’eux, et soitO, la valeur de ô qui correspond à l’autre ; on aura les deux relations

COSOT (0,

C — h COS m ~ •

Pour 6 = — ) la valeur de /'atteint son minimum// cos//i — ;

en ce point, la tangente est perpendiculaire au rayon vecteur. Le point correspondant de la ligne géodésique est le plus rapproché du sommet du cône, puisque le minimum de R a lieu en même temps que celui de r, et la tangente fait pareillement un angle droit avec l’arête du cône. Ce point, qui est ii égale distance des deux points donnés, est un .sommet de la ligne géodésique.

DKIXIKME PARTIE.

Pour 0 — ~± — ^ î OU a /• = 00 , ce qui iléleimine sur

le cône deux arêtes asymptotes de la ligue géodesiquc , symétriquement placées par rapport à l’arèle miniraa.

2 . Déterminer sur la surface d’un cône la courbe qui coupe les arêtes sous un angle constant, et qui passe par deux points de cette surface. — Longueur d'un arc de cette courbe^ mesure de la portion de surface conique, comprise entre cet arc et les arêtes qui passent par ses extrémités. — Transformée de la courbe dans le déi’cloppetnent de la surface conique sur un plan .

Soit AmB {fig. 9) une courbe dont la tangente wT fait un angle constant a avec l’arête om d’une surface conique; nous ne supposerons pas d’abord que cette surface soit de révolution. L’énoncé fournit immédiatement une équation dUrérentielle de la courbe

xêx yily zdz

où R = \/x’ -H.r’-t- z’-

Cette équation prend aussi la (orme

I 2 ) cos a = -- — »