IS
R = s cos a -t- consl.
On conclut de là que la courbe cherchée est rectifiable ., et que l’arc croit proportionnellement au rayon vecteur. Si la courbe doit passer par un point A, dont le rayon O A = R„, et que l’on prenne ce point pour origine des arcs , on aura pour la longueur de l’arc Am
cos «
Pour calculer la portion de surface coniijue AmBo, on la décompose en éléments triangulaires iuliniment petil.s
^ KXÿRCtces ll'AJiAl.VSF.. • *87
morn', dont cliiicuii a pour mesure la moitié du produit de sa base par sa liaut,eur ol, qui est Usina. Ainsi
„ /''^•Rd.vsina H f/R . tanea Rî — R!
«0= / -= I — îtanL'a.
A ’■ Ja. ’ 4
aire A/«
La transformée de la courbe dans le développement du, cône sur un plan est une spirale logari/liinique, puisque l’angle a demeure le même, et qu’ainsi la transformée est une courbe qui coupe tous ses rayons vecteurs sous un angle, constant. L’équation de cette spirale se déduit immédiatement de l'équation (2). En cllet , quand on développe la surface conique, R et s ne cbangent pas de longueurs : donc, sur le plan du développement, ^on a encore
'/R = cosar//;
mais
on en conclut
tanga
et
R = Ac
La courbe primitive, tracée sur le cône, présentera donc la forme d’une spirale qui s’approche de plus en plus du sommet, lequel est un point asymptotique de la courbe.
Rien (|ue cette courbe fasse une infinité de circonvolutions sur la surface conique sans jamais arriver au sommet , la longueur de l’arc compris depuis le point donné A jus-
(ju’.à ce point asymptote , est finie et égale à •
Le cas où a = - donne R = coust. La transformée est
alors un cercle, et la courbe primitive, sur le cône, est une courbe spliérü/uc , c’est-à-dire celle qui résulterait de l’intersection de la surface conique avec une sphère ayant le sommet pour centre.
DELXIKMF. 1-AUTlE.
Considérons en particulier un cône de révolution autour de l’axe des z. Pour achever de déterminer la courbe, on est naturellement conduit à chercher sa projection sur le . plan des xy ^ perpendiculaire à l’axe du cône ; et comme il s’agit d’une spirale, on aura recours aux coordonnées polaires. Soit P la projection du point
oP = R, Pox=0, P«o = p,
(5 est un angle constant.
On a
sin ^ sin P
Z ■= r cot p, eh= dr cot p
(Js = ^ dr‘‘ -t- r’ f/ fl ’ -I- dr'‘ cot’ 9.
Par suite, l’équation (a) donne
rfr’ = sin’ P cos’a (rfr’ /•* rfO’ -+- dr^ cot’ p),
d’où
dr
— = Sin Bcota f/fl.
équation d’une spirale logarithmique qui coupe ses rayons
vecteurs sous un angle dont la tangente est- ^"^ - ” •
® ® sin P
On pouvait obtenir ces résultats, sans calcul intégral , en considérant l’angle trièdre dont le sommet est en in, et qui a pour arêtes la tangente mT , la génératrice otn, et la parallèle /n P à l’axe. Cet angle trièdre a trois éléments constants, savoir ; le dièdre droit, dont l'arète est om, et les faces adjacentes T mo — a , P/;/o = /3 ; il est donc complément déterminé dans ses autres cléments. Donc, le dièdre suivant ntP, ou bien sa mesure oPT, est un angle constant. I.e lieu des points P est donc une .spirale logarithmi-
EXEUCIC.KS d'analysf,. • 89
que 5 de plus, oT, inlersectiou de deux plans perpendiculaires au plan Pmo, est perpendiculaire à ce plan; donc l’angle PoT est droit, et l’on a
oT R tanga tanga
tang oPT = — =
^ O P Rsin^ sin^
La troisième face PmT de l’angle trièdre est aussi constante. En sorte que la courbe qui coupe toutes les génératrices d’un cône droit sous un angle constant est telle, que ses tangentes font aussi un angle constant avec l’axe du cône. Ceci n’a lieu que dans le cône droit; car si l’on a à la fois
dz
ds
= const 1
ds
= const ,
Il en resu
Ite
— — = const, dz
R = kz
équation d’un cône droit.
On peut se proposer de déterminer le plan osculateur de la courbe A m B , son rayon de courbure , le lieu des centres de courbure, etc. Tous ces calculs sont simples et n’offrent pas de difficultés.
3. Nous terminerons cette étude en signalant une propriété remarquable de la courbe dont il s’agit.
Tandis que le point m décrit la courbe Am B, le point T où la tangente rencontre le plan perpendiculaire à Vaxe mené par le .sommet du cône, trace une développante de cette courbe.
La démonstration est fort simple. Le triangle rectangle wPT donne
ffc 2 „ . ds
-r = — - s n ou m r “ Z — ,
nS m I nz
et diHëieiulahl
DEliXlKMK I-AUTIE.
il . m T = <ls -h zil .
Or ou a vu plus haut cjue <*sl une (juaulité ronstantt;; (loue on a siinplemeiit
d.niT = ds.
Ainsi, (piaïuJ on passe du point /«à un point infiniment voisin lit' , l’accroissement inünimenl petit de la tangente inT est égal à rélémcut imn' : donc, si l’on suppose un fil Üexible et inextensible enroulé sur la courbe n/w'-lî, et ijui s’en sépare tangenticlleinent suivant 7/*T, et cpie l’on développe ce fil en le tenant tendu, son extrémité T ne sortira pas du plan xoy , et tracera sur ce plan une développante de la courbe Atii 15.
Cette développante est elle-même une spirale logariltimii/iwj car on a ,
oT=rtang7,PT=i^^'^“c^^'.
sin 8
KXEISCICES n ANAl.YSE.
