DEUXIEME PARTIE

seulement l’équation diflérentiellc des courbes données

Dans ce cas, il n’y a plus d’élimination à faire; il suffit, pour obtenir l’équation des trajectoires orthogonales, de

remplacer dans l’équation (3), — par — — •

dx

Quand l’équation (3) sera de la forme

le changement de ~ en — —5 ne modifiera en rien cette dx dy

équation dilîëi'cntielle. L’intégrale générale des trajectoires orthogonales sera donc la même que l’équation finie des courbes données. Ceci s’explique en remarquant que la constante c entre alors au carré dans cette équation,laquelle représente ainsi deux courbes appartenant à l’un et à l’autre système.

Nous allons appliquer cette théorie à divers exemples.

f. Étant donnée une suite iC ellipses (ou hyperboles) homoj'ocales , déterminer la courbe qui les coupe à angle droit (fig. 10 ).

L’équation des ellipses de mêmes foyers F, F', rapportées à leur centre O et à leurs axes de direction commune , est

c désignant l’excentricité constante, et b le paramètre variable, qu’il s’agira d’abonl d’éliminer entre cette équation et la suivante :

dy h'' X , ilx { ê ■' -t-. c’ ) >■

M*îl. ' ."JBJl .l'J J!

EXERCICES I) ANALYSE

L’équation résultante est

Elle convient également aux trajectoires orthogonales d’une suite d’hyperboles homofocales, puisqu’on changeant en — b^ dans le calcul précédent, on n’altère en rien l’équation (4)-

Pour l’intégrer, on la multiplie par^> et il vient

(.rdrV ^ / ’r’ i:^\yriy ^

\xdxj \ x‘‘ x‘‘ ) xdx x‘ ’ "

Par celte transformation , on a introduit dans tous les tcrmesjy’, x*, et les différentielles yJy , xdx ; on est donc conduit à poser

et l’équation prend la forme

du

~di

lû

Elle ne renferme les variables qu’au premier degré.

Si on la dill'érentie , comme on le fait d’ordinaire en pareil cas, on sera conduit à une équation renfermant en facteur

"•, d’où l’on conclut que l’on aura une intégrale particulière (au moins), en posant

du 1 . >

— ■ = const = a , U ou u— ut ü.

dt

D’ailleurs, sans difléreiitier, on voit à priori que l’hypothèse U = -f- |3 transformera l’équation (5) en une équa-

tion du premier degré en / , et comme on a deux constantes a , (3 , on pourra en disposer pour annuler le terme en t et le terme indépendant. Or il arrive que le terme en f disparaît

Ditjiîi-'»: <) by Gi>ogk

94 IJEL’XlkME' PAKllE.

de lul-inème, el l'o» a entre a. et (3 la seule relation

donc U —

-fl/

est l’intégrale générale de l’équation (5) , et, par suite, l’équation des trajectoires orthogonales est

(6) (p-4-c»)jr’-4- ^.r’ = p(p-t-c’).

Cette i-quation représente, pour des valeurs négatwes do )3 , une suite d'hyperboles ayant mêmes foyers que les ellipses proposées et qui les couperont à angle droit. Ce résultat est facile à vérifier d’après les propriétés de.s coniques.

Pour des valeurs positives de/3 , l’équation représente une série d’ellipses liomofocales qui ne sont autres que les ellipses proposées, et-qui répondraient au problème dans lequel on supposerait donné un système d’hyperboles homofoeales.

Nota. L’équation (4) , divisée par ]>rend la forme

d’où l'on voit que si l’on y changeait -

ly

tir

en

-î-» elle ne tlx

changerait pas; par conséquent, elle ne dillère pas de l'équation dillérentielle qu’on eût obtenue en éliminant lê entre ré([uation des ellipses proposées et sa dilférenti'elle immédiate. La remarque qui a été faite plus haut dans la théorie était donc applicable, et pouvait dispenser des calculs d’intégration auxquels nous avons eu recours , puisque l’intégrale était connue d’avance.

2. Étant donnée une suite de paraboles ayant meme axe et même foyer, déterminer la courbe qui lés coupe à angle droit .

J..’équalion des paraboles données, rapportées à l’axe et

Digilized by Gpôglc

K'CEUCn.F.S r> AîiAl-YSE.

au foyer coiiiinuii , est

jr'=

‘ly P

L’élimination do p entre cette équation et • donne

i dy\' 7.x dr

"■ T-Tr~ * ~

d’où

ou bien

<iy.

dx

xdx -t- vdy

y x' -f- jr’

Le premier membre étant une diHérentielle exacte, on a pour l’intégrale cherchée

Elle ne did’çre pas de l’équation des paraboles données. Selon qu’on attribuera à c des valeurs positives ou néga-‘' lives, celte équation représentera deux séries de paraboles de même foyer, et chaque parabole du premier syslènn; coupera .à angle droit toutes celles de l’autre système.

Ici encore, l’équation dilléreniieile étant du deuxième

degré en ^ et ayant pour dernier terme — i, ou pouvait

se dispenser de chercher l’intégrale qui était connue d’a- \ance.

3. Déterminer les trajectoires orthogonales d'une suite d'hyperboles ayant un meme centre et les mêmes sommets réels.

En parlant de l’équation a* y' — Id x’ = — •’ a' IP, où b est le paramètre variable, on trouvera sans dilliculté l’intégrale

q 6’ DEIXIKMK l’AIlTIE.

A est une constante arbitraire dont la valeur absolue ne doit pas dépasser le demi-axe iransverse a. Si l’on donne à A des valeurs positives, on aura une suite de courbes que l’axe des X divisera en deux parties symétriques, et dont tous les points seront situés du côté des x positifs : ces courbes correspondront aux branches d’hyperboles qui s’étendent dans le même sens. L’inverse aura lieu pour des valeurs négativesde A-, et comme en cbangeantAen — A, etxen — x, l’équation reste la même, il suffira de construire les trajectoires qui répondent aux valeurs positives de A. >

(iomme cas particulier , soit A = l’équation des tra-

jectoires orthogonales devient

Pour X = a , on a

'if

on a ainsi deux points de la courbe où l’ordonnée est maximum.

Si l’on pose x = a ( i -f- r ) , il vient

On voit immédiatement que, dès que la valeur absolue de Z atteint ou dépasse l’unité , y est imaginaire.

Entre les limites des valeurs de z , on pourra développer / (1 -H z) en série convergente et calculer approximativement les valeurs de l’ordonnée dans le voisinage du sommet. Cette courbe fermée est divisée symétriquement par l’axe des .r, et coupe cet axe en deux points situés de part et d’autre du sommet. En ces points, la tangente est perpendiculaire .à l’axe des x.

Nous nous bornerons à énoncer les solutions des problèmes suivants :

Oigiti'zed'by

ne

leà

jue

oui

bcs

ent

né-

jec-

tra-

fSl

nlnc

aper

ive-

nei-

;des

utre

ire à

pn>'

KXERC(CES n ANALYSE.

i. Détenniner les trajectoires orthogonales d'une suite d hyperboles équdalcres ayant les mêmes asymptotes.

On trouve des hyperboles t’quilatères ayant pour axes les asymptotes des premières.

5. Déterminer les trajectoires orthogonales d’une suite de logarithmiques ayant un point commun et une même asymptote ii).

L’équation des courbes données peut s’écrire

y = al —, m

a étant le paramètre variable, et m la distance du point donnérà l’asymptote.

L’équation des'trajcctoires orthogonales est

l> étant la constaiite^arbitraire. Si on la suppose nulle , on a

y = -±ixJ ~~l±-

Pour X = O , on a y = o , lim <

Pourx = m — o\, ona y = rt 7 w \/2 =dr AB, — = o,

l’ordonnée est maximum; x ne peut dépasser c’est-

à-dire à peu près \m — oc , et pour cette limite, J = o,

6.- Déterminer les trajectoires orthogonales d’une suite de droites qui ont pour enveloppe une parabole donnée - F.n prenant l'équation de la parabole sous la forme y'=ipx,

t)ii est conduit à une é(|ua(ion dilfénuitiellc où ) et x n’en-

OEl \I1:MK HAUTIR.

irent <]u’aii preiiiicr degré, eldoiit rinlégrale est

/J (>- -f- c)’+ 3-rj(r -H c; + = O, ,

f étant une constante arbitraire.

7. Déterminer les trajectoires orthogonales d'une suite de paraboles ayant même paramètre p et même axe.

Soit __r’ = 2 /j(x — a)

l’équation de ces paraboles. On trouve des courbes lognrithmiques

y — ce .

La sous-tangente est constante et égale à p.

8. Déterminer les trajectoires orthogonales des courbes renjèrmécs dans l’équation différentielle.

x{jê — — 2.r=)r/j = ü.

On trouve Tintégrale — axy -h x’ = o (loliuin de Descartes).

9. Tiiéouéme. — Si Von conçoit deux cj'cloïdes égales ayant leurs bases suç deux droites parallèles, et disposées de manière à se rencontrer , elles se couperont orthogonale ment.

KXF.nr.icKs k’anai.ysi;.