THÉORÈMES SIR LES E.X V ELOP TES

M. .Vlagmis a démontré de Gergoiine, I. XVl)')

par une analyse assez romplifjuéo , plusieurs théorèmes intéressants sur les enveloppes des cordes d'une courbe plane assujetties à certaines conditions.

’ La Géométrie pure Iburnit de ces théorèmes des démons- I trations fort simples. <|uc nous présenterons comme exercices de synthèse inlînitésimale.

■Les trois j)remières j)roposiiions sont conformes à celles de M. Maguus ; la ([uatrièmé manifeste une propriété nouvelle de l’enveloppe des cordes de contact d'un angle circonscrit à une courbe plane.

1 . L’enveloppe des cordes qui soiis-tendent des arcs de meme longueur d une courbe plane quelconque , touche chacune de ces cordes en un point qui est le symétrique , par rapport au milieu de la corde , du point où elle est coupée parla bissectrice de l’angle des tangentes menées aux extrémités de l’arc.

Considérons deux cordes infiniment voisines AB, A' B', qui se coupent en I {fig- i3). Puisque les arcs AB, A'B' ont même longueur, l’arc AA' sera égal à l'arc BB'; or les ' deux triangles AVI, BB'I, qui ont un angle égal en I, donnent

AI AA' sinSA'l AA' H' S ïïr~ÎÏÏf ' sinSB'I~ BB' ' A's‘

.Si l'on passe à la limite, on a

,VA' B'S BT AI A« i

lu,. — =., ''"'b1=ÏÏ7.’

Io4 r>EL\IÉME fAtîTlE. ’

T étaiii le point de concours des laiigeiites en A et 15, et w la limite encore inconnue des ])Ositions du point I, c’est-àdire le point où l’enveloppe touche la corde; donc

îû

ât'

Mais si H est le point où la bissectrice ’l'H coupe la coi'de AB,

Bï BH .

" Xt = âh ’

iü

BH

ÂH’

j A w = BH , f Bw = AH ;

ce qui démontre que le point w est symétnquc du point H par rapport an milieu de AB. c. g. f. d.

' Dans le cercle, ces deux points se conl'ondent avec le milieu de la corde.

2. L'enveloppe des cordes de même longueur, dans une courbe plane 'quelconque, •touche chacune de ces cordes en un point qui est le symétrique , par rapport au milieu de la corde , du pied de la perpendiculaire abaissée, sur sa direction, du point de concours des tangentes à ses extrémités.

Soient AB, A'B' deux cordes inliniment voisines et égales ; de leur point de concours I comme centre, décrivons les deux arcs Ma, W b ; on aura

A« = B/,, et ^ = 577;-

ab :

A'B'=AB, d’où

Lorsque A'B' se rapproche indéfiniment de AB, les directions des cordes Ma, B' A tendent à devenir perpendiculaires à AB; donc

Ma .. Aa.taneSAl lane SAI

—TT = hiii — - = Iim — ” •

B b . tane SBl

tans; SBI

Soit H le pied de la perpendiculaire abaissée du point .v

ÏXERCICKS l>'\NALYSF,.

BU

âh’

sur AH : on a

tanifSAl BH , A'«

= — — ; ' (lom- lim— — - = lii:

tanj; SBI AH B

Pt, par suite,